Прошу покорнейше (разг. устар.) — 1) вежливая форма приглашения; 2) вводное слово, употр. для выражения удивления, недоумения. Она воображала ее так-себе теткой: пожилой, нехорошей, как большая часть теток, а тут, прошу покорнейше, женщина лет двадцати шести, семи, и красавица! Гончаров.
См. также просить.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940);