ПОСПЕВА'ТЬ, а́ю, а́ешь. Несов. к поспеть.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940);
поспевать
1. становиться спелым; созревать
2. разг. быть готовым, законченным к какому-либо сроку
3. разг. доходить до состояния готовности, быть готовым к употреблению (о пище, напитках)
4. разг. справляться с чем-либо в определенный срок, прибывать куда-либо вовремя, успевать
5. не отставая, следовать за кем-либо, чем-либо
Источник: Wiktionary.org