Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое
m
{\displaystyle m}
, такое что
m
{\displaystyle m}
-кратное групповое умножение данного элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
на себя даёт нейтральный элемент:
g
g
…
g
⏟
m
=
g
m
=
e
{\displaystyle \underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e}
.
Иными словами,
m
{\displaystyle m}
— количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого
m
{\displaystyle m}
не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что
g
{\displaystyle g}
имеет бесконечный порядок. Обозначается как
o
r
d
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ord} (g)}
или
g
{\displaystyle g }
.
Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.
m
{\displaystyle m}
, такое что
m
{\displaystyle m}
-кратное групповое умножение данного элемента
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
на себя даёт нейтральный элемент:
g
g
…
g
⏟
m
=
g
m
=
e
{\displaystyle \underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e}
.
Иными словами,
m
{\displaystyle m}
— количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого
m
{\displaystyle m}
не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что
g
{\displaystyle g}
имеет бесконечный порядок. Обозначается как
o
r
d
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ord} (g)}
или
g
{\displaystyle g }
.
Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.
Источник: Wipedia.org