Синонимы для словосочетания "право опеки" не найдены.
Кстати, именно те родители, которые в обычной жизни обращают на своих чад не больше внимания, чем на мебель, в суде дерутся за право опеки над ними как львы: ещё бы, ведь главное для них — победа.