Разбор слова "проэкзаменовать" по составу

С сомнением оглядев мою заново обмундированную личность, майор довольно жёстко проэкзаменовал меня по поводу того, что я сегодня увидел в батальоне и что понял.

— Нет, — без тени шутки или игривости сказал преподаватель, — в мою задачу входит не только понравиться вам, но и познакомить вас с основами исторического источниковедения, а в конце семестра ещё и проэкзаменовать.

— А весною я вас проэкзаменую, — прибавил он, выпуская мою руку и не глядя на меня.

Проэкзаменовав их в присутствии его, я нашёл в них хорошие способности и некоторые познания, почему сказал старику, что с удовольствием дам им несколько уроков, дабы приготовить их к настоящему экзамену.

Но я должен сперва проэкзаменовать вас, мадонна. Отвечайте мне...