В математике, решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Например, уравнение
x
+
y
=
2
x
−
1
{\displaystyle x+y=2x-1}
решается для неизвестного
x
{\displaystyle x}
с помощью замены
x
=
y
+
1
{\displaystyle x=y+1}
, так как замена переменной
x
{\displaystyle x}
на выражение
y
+
1
{\displaystyle y+1}
превращает уравнение в тождество:
(
y
+
1
)
+
y
=
2
(
y
+
1
)
−
1
{\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1}
. Кроме того, если положить неизвестной переменную
y
{\displaystyle y}
, тогда уравнение решается с помощью замены
y
=
x
−
1
{\displaystyle y=x-1}
. Замена переменной
y
{\displaystyle y}
на выражение
x
−
1
{\displaystyle x-1}
превращает уравнение в тождество:
x
+
(
x
−
1
)
=
2
x
−
1
{\displaystyle x+(x-1)=2x-1}
. Также
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например,
(
x
,
y
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle (x,y)=(1,0)}
— то есть,
x
=
1
{\displaystyle x=1}
и
y
=
0
{\displaystyle y=0}
, а в общем,
(
x
,
y
)
=
(
a
+
1
,
a
)
{\displaystyle (x,y)=(a+1,a)}
для всех возможных значений.
В зависимости от задачи может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».
Например, уравнение
x
+
y
=
2
x
−
1
{\displaystyle x+y=2x-1}
решается для неизвестного
x
{\displaystyle x}
с помощью замены
x
=
y
+
1
{\displaystyle x=y+1}
, так как замена переменной
x
{\displaystyle x}
на выражение
y
+
1
{\displaystyle y+1}
превращает уравнение в тождество:
(
y
+
1
)
+
y
=
2
(
y
+
1
)
−
1
{\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1}
. Кроме того, если положить неизвестной переменную
y
{\displaystyle y}
, тогда уравнение решается с помощью замены
y
=
x
−
1
{\displaystyle y=x-1}
. Замена переменной
y
{\displaystyle y}
на выражение
x
−
1
{\displaystyle x-1}
превращает уравнение в тождество:
x
+
(
x
−
1
)
=
2
x
−
1
{\displaystyle x+(x-1)=2x-1}
. Также
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например,
(
x
,
y
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle (x,y)=(1,0)}
— то есть,
x
=
1
{\displaystyle x=1}
и
y
=
0
{\displaystyle y=0}
, а в общем,
(
x
,
y
)
=
(
a
+
1
,
a
)
{\displaystyle (x,y)=(a+1,a)}
для всех возможных значений.
В зависимости от задачи может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».
Источник: Wipedia.org