Значение слова "порядок группы"

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается

G

{\displaystyle G }

или

O

r

d

(

G

)

{\displaystyle \mathbf {Ord(G)} }

.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы

G

{\displaystyle G}

равен порядку любой его подгруппы

H

⊆

G

{\displaystyle H\subseteq G}

, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

G

=

H

⋅

[

G

:

H

]

{\displaystyle G = H \cdot [G:H]}

.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы

G

{\displaystyle G}

с порядком её центра

Z

(

G

)

{\displaystyle \mathrm {Z} (G)}

и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

G

=

Z

(

G

)

+

∑

i

d

i

{\displaystyle G = Z(G) +\sum _{i}d_{i}}

,

где

d

i

{\displaystyle d_{i}}

— размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы

S

3

{\displaystyle S_{3}}

— просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента

e

{\displaystyle e}

, и уравнение превращается в

S

3

=

1

+

2

+

3

{\displaystyle S_{3} =1+2+3}

.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы

G

{\displaystyle G}

является степенью целого простого числа

p

{\displaystyle p}

в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью

p

{\displaystyle p}

.

Источник: Wipedia.org