Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где
e
{\displaystyle e}
— иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как
ln
x
{\displaystyle \ln x}
,
log
e
x
{\displaystyle \log _{e}x}
или иногда просто
log
x
{\displaystyle \log x}
, если основание
e
{\displaystyle e}
подразумевается. Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
Примеры:
ln
e
=
1
{\displaystyle \ln e=1}
, потому что
e
1
=
e
{\displaystyle e^{1}=e}
;
ln
1
=
0
{\displaystyle \ln 1=0}
, потому что
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
на промежутке
[
1
;
a
]
{\displaystyle [1;a]}
. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный». Это определение можно расширить и на комплексные числа.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
e
ln
a
=
a
(
a
>
0
)
;
{\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);}
ln
e
a
=
a
(
a
>
0
)
.
{\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
ln
x
y
=
ln
x
+
ln
y
.
{\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}
С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет изоморфизм группы положительных вещественных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению:
ln
:
R
+
→
R
.
{\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от
1
{\displaystyle 1}
, а не только для
e
{\displaystyle e}
, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов д
e
{\displaystyle e}
— иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как
ln
x
{\displaystyle \ln x}
,
log
e
x
{\displaystyle \log _{e}x}
или иногда просто
log
x
{\displaystyle \log x}
, если основание
e
{\displaystyle e}
подразумевается. Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
Примеры:
ln
e
=
1
{\displaystyle \ln e=1}
, потому что
e
1
=
e
{\displaystyle e^{1}=e}
;
ln
1
=
0
{\displaystyle \ln 1=0}
, потому что
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
на промежутке
[
1
;
a
]
{\displaystyle [1;a]}
. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный». Это определение можно расширить и на комплексные числа.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
e
ln
a
=
a
(
a
>
0
)
;
{\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);}
ln
e
a
=
a
(
a
>
0
)
.
{\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
ln
x
y
=
ln
x
+
ln
y
.
{\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}
С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет изоморфизм группы положительных вещественных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению:
ln
:
R
+
→
R
.
{\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от
1
{\displaystyle 1}
, а не только для
e
{\displaystyle e}
, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов д
Источник: Wipedia.org