Значение слова "комплексная плоскость"

Ко́мпле́ксная плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

.

Точка двумерной вещественной плоскости

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

, имеющая координаты

(

x

,

y

)

{\displaystyle (x,y)}

, изображает комплексное число

z

=

x

+

i

y

{\displaystyle z=x+iy}

, где

x

=

R

e

z

{\displaystyle x=\mathrm {Re} \,z}

— вещественная часть комплексного числа,

y

=

I

m

z

{\displaystyle y=\mathrm {Im} \,z}

— его мнимая часть.

Или же можно сказать, что комплексному числу

z

=

x

+

i

y

{\displaystyle z=x+iy}

соответствует радиус-вектор с координатами

(

x

,

y

)

.

{\displaystyle (x,y).}

Алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им точками или векторами. Различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;

умножению на комплексное число соответствует поворот и растяжение радиус-вектора;

корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость, называемая также сферой Римана — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная обычной сфере

S

2

{\displaystyle S^{2}}

(изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.[уточнить]

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Источник: Wipedia.org