Значение слова "избыточные числа"

Избы́точное число́ — положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n.



Любое натуральное число относится к одному из трёх классов:







избыточные числа,



совершенные числа,



недостаточные числа.







Избыточные числа (последовательность A005101 в OEIS):



12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …



Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.



Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.



Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.



Индексом избыточности называется величина















I



(



N



)



=



σ



(



N



)







/







N











{\displaystyle I(N)=\sigma (N)/N}



, где















σ



(



N



)











{\displaystyle \sigma (N)}



— сумма делителей числа (для совершенных чисел















I



(



N



)



=



2











{\displaystyle I(N)=2}



.



Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность















{







a







k











}











{\displaystyle \{a_{k}\}}



минимальных чисел















N











{\displaystyle N}



, таких что















I



(



N



)



>



k











{\displaystyle I(N)>k}



— последовательность A134716 в OEIS.



Советский математик Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

Источник: Wipedia.org