Обмышковать говор. о лисе, которая мышкует, обегать известное пространство. Идти с кем обмышку нареч. об руку, под руку, под ручку. Лошадь обмышатела, стала мышастой масти, выцвела, перешерстилась.

Источник: Толковый словарь живого великорусского языка В.И. Даля 1863-1882г.