В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.
Если процесс
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
Функция
S
x
(
f
)
=
X
(
f
)
2
{\displaystyle S_{x}(f)= X(f) ^{2}}
характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
определяет
k
x
(
τ
)
{\displaystyle k_{x}(\tau )}
:
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно
f
=
0
{\displaystyle f=0}
и
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
, имеем
Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину
S
x
(
f
)
d
f
{\displaystyle S_{x}(f)df}
можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от
f
−
d
f
/
2
{\displaystyle f-df/2}
до
f
+
d
f
/
2
{\displaystyle f+df/2}
. Если понимать под
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию:
σ
x
2
{\displaystyle \sigma _{x}^{2}}
– рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или н
Если процесс
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
Функция
S
x
(
f
)
=
X
(
f
)
2
{\displaystyle S_{x}(f)= X(f) ^{2}}
характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
определяет
k
x
(
τ
)
{\displaystyle k_{x}(\tau )}
:
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно
f
=
0
{\displaystyle f=0}
и
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
, имеем
Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину
S
x
(
f
)
d
f
{\displaystyle S_{x}(f)df}
можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от
f
−
d
f
/
2
{\displaystyle f-df/2}
до
f
+
d
f
/
2
{\displaystyle f+df/2}
. Если понимать под
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_{x}(f)}
иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию:
σ
x
2
{\displaystyle \sigma _{x}^{2}}
– рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или н
Источник: Wipedia.org