Если каждой точке
M
{\displaystyle M}
заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число
u
{\displaystyle u}
, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
в
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(скалярная функция точки пространства).
Чаще других в приложениях встречаются:
Функция трёх переменных:
u
=
u
(
r
)
=
u
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y,z)}
(скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда пространственным полем).
Функция двух переменных:
u
=
u
(
r
)
=
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y)}
(скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда плоским полем).
В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени:
u
=
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle u=u(x,y,z,t)}
,
при этом операции над полем (такие, как градиент) используются по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит, кроме пространственных координат, ещё от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что, однако, не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле.
В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным, а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырехмерное пространство (называемое пространством-временем). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырехмерном пространстве или многообразии, т. е. функцию, зависимую от четырех формально равноправных координат:
u
=
u
(
x
i
)
=
u
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}
(одна из этих четырех координат
x
i
{\displaystyle x_{i}}
равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что
u
{\displaystyle u}
- лоренц-инвариантно. Все операции над полем (такие, как градиент) при этом используются в их четырехмерном виде.
Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}
).
Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:
температура (подразумевается, что она
M
{\displaystyle M}
заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число
u
{\displaystyle u}
, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
в
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(скалярная функция точки пространства).
Чаще других в приложениях встречаются:
Функция трёх переменных:
u
=
u
(
r
)
=
u
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y,z)}
(скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда пространственным полем).
Функция двух переменных:
u
=
u
(
r
)
=
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y)}
(скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда плоским полем).
В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени:
u
=
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle u=u(x,y,z,t)}
,
при этом операции над полем (такие, как градиент) используются по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит, кроме пространственных координат, ещё от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что, однако, не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле.
В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным, а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырехмерное пространство (называемое пространством-временем). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырехмерном пространстве или многообразии, т. е. функцию, зависимую от четырех формально равноправных координат:
u
=
u
(
x
i
)
=
u
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}
(одна из этих четырех координат
x
i
{\displaystyle x_{i}}
равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что
u
{\displaystyle u}
- лоренц-инвариантно. Все операции над полем (такие, как градиент) при этом используются в их четырехмерном виде.
Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}
).
Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:
температура (подразумевается, что она
Источник: Wipedia.org