По горячим следам (охот.) — 1) по свежему, недавнему следу зверя; 2) перен. тотчас же, не теряя времени (о расследовании какого-н. дела, преступления).
См. также горячий.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940);
по горячим следам
1. разг. сразу же, непосредственно после случившегося, не теряя времени, немедленно, без промедления, задержки
Источник: Wiktionary.org