В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.
Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определенной упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.
Множества
S
{\displaystyle S}
и
S
′
{\displaystyle S'}
обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию
f
{\displaystyle f}
, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому
x
{\displaystyle x}
из
S
{\displaystyle S}
соответствует единственное
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
из
S
′
{\displaystyle S'}
, а каждое
y
{\displaystyle y}
из
S
′
{\displaystyle S'}
является образом единственного
x
{\displaystyle x}
из
S
{\displaystyle S}
).
Предположим, что на множествах
S
{\displaystyle S}
и
S
′
{\displaystyle S'}
заданы частичные порядки
<
{\displaystyle <}
и
<
′
{\displaystyle <'}
соответственно. Тогда частично упорядоченные множества
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
и
(
S
′
,
<
′
)
{\displaystyle (S',<')}
называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение
f
{\displaystyle f}
, при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря,
f
(
a
)
<
′
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<'f(b)}
тогда и только тогда, когда
a
<
b
{\displaystyle a
. Любое вполне упорядоченное множество
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определенного ординала (равного порядковому типу
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
).
Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число
ω
{\displaystyle \omega }
отождествляется с кардинальным
Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определенной упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.
Множества
S
{\displaystyle S}
и
S
′
{\displaystyle S'}
обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию
f
{\displaystyle f}
, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому
x
{\displaystyle x}
из
S
{\displaystyle S}
соответствует единственное
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
из
S
′
{\displaystyle S'}
, а каждое
y
{\displaystyle y}
из
S
′
{\displaystyle S'}
является образом единственного
x
{\displaystyle x}
из
S
{\displaystyle S}
).
Предположим, что на множествах
S
{\displaystyle S}
и
S
′
{\displaystyle S'}
заданы частичные порядки
<
{\displaystyle <}
и
<
′
{\displaystyle <'}
соответственно. Тогда частично упорядоченные множества
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
и
(
S
′
,
<
′
)
{\displaystyle (S',<')}
называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение
f
{\displaystyle f}
, при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря,
f
(
a
)
<
′
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<'f(b)}
тогда и только тогда, когда
a
<
b
{\displaystyle a
. Любое вполне упорядоченное множество
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определенного ординала (равного порядковому типу
(
S
,
<
)
{\displaystyle (S,<)}
).
Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число
ω
{\displaystyle \omega }
отождествляется с кардинальным
Источник: Wipedia.org