Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
называют такую
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
, производная которой (на всей области определения) равна
f
{\displaystyle f}
, то есть
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция
F
(
x
)
=
x
3
3
{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}
является первообразной
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
.
Если
F
{\displaystyle F}
— первообразная
f
{\displaystyle f}
, то любая функция, полученная из
F
{\displaystyle F}
добавлением константы:
G
(
x
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle G(x)=F(x)+C}
тоже является первообразной
f
{\displaystyle f}
. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет целое семейство первообразных
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)+C}
. Верно и обратное: если
F
{\displaystyle F}
— первообразная
f
{\displaystyle f}
, и функция
f
{\displaystyle f}
определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная
G
{\displaystyle G}
отличается от
F
{\displaystyle F}
на константу: всегда существует число
C
{\displaystyle C}
, такое что
G
(
x
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle G(x)=F(x)+C}
для всех
x
{\displaystyle x}
. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения
C
{\displaystyle C}
. Число
C
{\displaystyle C}
называют постоянной интегрирования.
Например, семейство первообразных функции
x
2
{\displaystyle x^{2}}
является
F
(
x
)
=
x
3
/
3
+
C
{\displaystyle F(x)=x^{3}/3+C}
, где
C
{\displaystyle C}
— любое число.
Если область определения функции
f
{\displaystyle f}
не является интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу. Так, например, семейством первообразных функции
1
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}
являются функции
−
1
x
+
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
называют такую
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
, производная которой (на всей области определения) равна
f
{\displaystyle f}
, то есть
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция
F
(
x
)
=
x
3
3
{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}
является первообразной
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
.
Если
F
{\displaystyle F}
— первообразная
f
{\displaystyle f}
, то любая функция, полученная из
F
{\displaystyle F}
добавлением константы:
G
(
x
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle G(x)=F(x)+C}
тоже является первообразной
f
{\displaystyle f}
. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет целое семейство первообразных
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)+C}
. Верно и обратное: если
F
{\displaystyle F}
— первообразная
f
{\displaystyle f}
, и функция
f
{\displaystyle f}
определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная
G
{\displaystyle G}
отличается от
F
{\displaystyle F}
на константу: всегда существует число
C
{\displaystyle C}
, такое что
G
(
x
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle G(x)=F(x)+C}
для всех
x
{\displaystyle x}
. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения
C
{\displaystyle C}
. Число
C
{\displaystyle C}
называют постоянной интегрирования.
Например, семейство первообразных функции
x
2
{\displaystyle x^{2}}
является
F
(
x
)
=
x
3
/
3
+
C
{\displaystyle F(x)=x^{3}/3+C}
, где
C
{\displaystyle C}
— любое число.
Если область определения функции
f
{\displaystyle f}
не является интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу. Так, например, семейством первообразных функции
1
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}
являются функции
−
1
x
+
Источник: Wipedia.org