Деление c остатком (деление по модулю) — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел и алгебре. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом. Пусть
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
— целые числа, причём
b
≠
0.
{\displaystyle b\neq 0.}
Деление с остатком
a
{\displaystyle a}
(«делимого») на
b
{\displaystyle b}
(«делитель») означает нахождение таких целых чисел
q
{\displaystyle q}
и
r
{\displaystyle r}
, что выполняется равенство:
a
=
b
⋅
q
+
r
{\displaystyle a=b\cdot q+r}
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа:
q
{\displaystyle q}
называется неполным частным от деления, а
r
{\displaystyle r}
— остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие:
0
⩽
r
<
b
,
{\displaystyle 0\leqslant r< b ,}
то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что
a
{\displaystyle a}
нацело делится на
b
.
{\displaystyle b.}
Примеры
При делении с остатком положительного числа
a
=
78
{\displaystyle a=78}
на
b
=
33
{\displaystyle b=33}
получаем неполное частное
q
=
2
{\displaystyle q=2}
и остаток
r
=
12
{\displaystyle r=12}
.
Проверка:
78
=
33
⋅
2
+
12.
{\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}
При делении с остатком отрицательного числа
a
=
−
78
{\displaystyle a=-78}
на
b
=
33
{\displaystyle b=33}
получаем неполное частное
q
=
−
3
{\displaystyle q=-3}
и остаток
r
=
21
{\displaystyle r=21}
.
Проверка:
−
78
=
33
⋅
(
−
3
)
+
21.
{\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}
При делении с остатком числа
a
=
78
{\displaystyle a=78}
на
b
=
26
{\displaystyle b=26}
получаем неполное частное
q
=
3
{\displaystyle q=3}
и остаток
r
=
0
{\displaystyle r=0}
, то есть деление выполняется нацело..
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
— целые числа, причём
b
≠
0.
{\displaystyle b\neq 0.}
Деление с остатком
a
{\displaystyle a}
(«делимого») на
b
{\displaystyle b}
(«делитель») означает нахождение таких целых чисел
q
{\displaystyle q}
и
r
{\displaystyle r}
, что выполняется равенство:
a
=
b
⋅
q
+
r
{\displaystyle a=b\cdot q+r}
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа:
q
{\displaystyle q}
называется неполным частным от деления, а
r
{\displaystyle r}
— остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие:
0
⩽
r
<
b
,
{\displaystyle 0\leqslant r< b ,}
то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что
a
{\displaystyle a}
нацело делится на
b
.
{\displaystyle b.}
Примеры
При делении с остатком положительного числа
a
=
78
{\displaystyle a=78}
на
b
=
33
{\displaystyle b=33}
получаем неполное частное
q
=
2
{\displaystyle q=2}
и остаток
r
=
12
{\displaystyle r=12}
.
Проверка:
78
=
33
⋅
2
+
12.
{\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}
При делении с остатком отрицательного числа
a
=
−
78
{\displaystyle a=-78}
на
b
=
33
{\displaystyle b=33}
получаем неполное частное
q
=
−
3
{\displaystyle q=-3}
и остаток
r
=
21
{\displaystyle r=21}
.
Проверка:
−
78
=
33
⋅
(
−
3
)
+
21.
{\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}
При делении с остатком числа
a
=
78
{\displaystyle a=78}
на
b
=
26
{\displaystyle b=26}
получаем неполное частное
q
=
3
{\displaystyle q=3}
и остаток
r
=
0
{\displaystyle r=0}
, то есть деление выполняется нацело..
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Источник: Wipedia.org
деление с остатком
1. матем. арифметическая операция над двумя аргументами, результатом которого является целое частное и остаток
Источник: Wiktionary.org