Забажать забажить что, чего, вологодск. костр. захотеть, сильно пожелать. Ему забажилось клюквы безлично, захотелось. Забажаный вологодск. милый, дорогой, желанный.

Источник: Толковый словарь живого великорусского языка В.И. Даля 1863-1882г.