Досниться безличн. Сон этот доснился мне через неделю. Доснуть, выспаться. Не доснешь, так и морит что-то. О рыбе, умереть, уснуть. Доснулая рыба, сонная, снулая.

Источник: Толковый словарь живого великорусского языка В.И. Даля 1863-1882г.