Самые большие числа в природе
От малых чисел к большим
Никто точно не знает, как появились числа в первобытные, доисторические времена. Но можно с полной уверенностью утверждать, что первыми открытыми человеком числами стали не один и не два. Люди не могли считать единицами и двойками. Два одинаковых предмета человек воспринимал как пару. Для того чтобы сосчитать эти предметы, человеку не надо было тыкать в них пальцами со словами: «Один, два». Вероятно, «три» было первым и поначалу единственным числом. Первобытный человек видит пару предметов и еще один присоединенный к ней предмет. Таким образом, «три» – это «пара плюс один». Судя по всему, человеку, стоявшему лишь на пороге мышления, стоило большого труда умственно постичь суть этой операции. Три было для него очень много; недаром во французском языке родственны между собой слова très, обозначающее «очень», и trois, обозначающее «три». Четвертый предмет превосходил воображение человека каменного века. Такое количество уже обозначали словом «много». С такой точки зрения можно думать, что три в те незапамятные времена было не только первым, но и самым большим числом. Первобытный человек считал так: «одна пара и еще один: три». Потом он считал, как в известной песенке: «Один, два, три». По ритмике эта фраза, наверное, напоминала спортивную команду: «На старт, внимание, марш!» С выражением «один, два, три» наряду с древним словом «три» родились числа один и два.
Однако самое позднее в неолите, когда человек обзавелся домашними животными, он был уже вынужден считать за пределами тройки. Тот, кто не умел считать, рисковал не заметить убыль овечьей отары или пропустить приплод. У таких ротозеев прятавшиеся в соседнем лесу воры могли невозбранно воровать скот до тех пор, пока у несчастного не оставалось всего три овцы. Это была уже настоящая экономическая катастрофа, и, чтобы ее избежать – и просто выжить, – надо было уметь считать.
Люди, по крайней мере пастухи, должны были уметь сравнить число овец в стаде с числом промежутков между пальцами кистей. Такому пастуху можно было доверить стадо численностью до восьми голов. Новым открытием стало то обстоятельство, что, как выяснилось, считать можно и дальше восьми. Новое число после восьми так и назвали[6]. То же самое мы видим и в латинском языке: novem и novum. Во французском языке словом neuf обозначают и «новый» и «девять». С тех пор первобытные люди начали считать не промежутки между пальцами, а кончики пальцев. Самым большим числом стало число 10.
Но дело на этом не закончилось. Для счета стали применять и другие части тела, помимо пальцев рук. Похоже, что в некоторых племенах наряду с пальцами рук стали использовать при счете и пальцы ног, и таким образом люди добрались до числа 20. Отзвуки такого счета мы находим во французском языке: обозначение числа 80, quatre-vingt, буквально означает «четыре-двадцать», то есть четыре свертка по двадцать предметов. Число 99 во французском языке обозначают так: quatre-vingt-dix-neuf, то есть буквально «четыре-двадцать-десять-девять».
Состоятельные люди считали даже за пределами сотни:
Кто из вас, имея сто овец и потеряв одну из них, не оставит девяноста девяти в пустыне и не пойдет за пропавшею, пока не найдет ее?
А найдя, возьмет ее на плечи свои с радостью и, придя домой, созовет друзей и соседей и скажет им: порадуйтесь со мною, я нашел мою пропавшую овцу[7].
Рассказывая эту притчу, Иисус, вероятно, представлял себе весьма сведущего в счете пастуха, ибо, глядя на стадо, трудно решить, сто в нем овец или только девяносто девять. Но Иисус, конечно, говорил не о точном числе овец. История потеряла бы свою остроту, если бы Иисус, допустим, сказал, что у кого-то было 42 овцы и одна из них потерялась. Число 42 – почему же Он выбрал именно его? – отвлекло бы слушателей от смысла, который намеревался поведать им даровитый автор притч. Число же 100 было синонимом понятия «очень много».
Однако намного больше ста раз должен прощать человек своего ближнего:
Тогда Петр приступил к Нему и сказал: Господи! сколько раз прощать брату моему, согрешающему против меня? до семи ли раз?
Иисус говорит ему: не говорю тебе: до семи раз, но до седмижды семидесяти раз[8].
Спаситель наверняка отлично знал, что Петру было трудно умножить семь на семьдесят. Но допустим, что Петру это удалось. Любой человек может легко представить себе семь актов прощения, и, простив брата семь раз, он мог бы с чувством выполненного долга решить, что теперь с прощением покончено. Но только умалишенный будет носить с собой список из семижды семидесяти актов прощения и ставить галочку после каждого до тех пор, пока не кончится список из четырехсот девяноста прощений.
Библия изобилует большими числами, которые во времена, когда писались ее книги, скорее всего, едва умещались в воображении читателей и слушателей:
Иаред жил сто шестьдесят два года и родил Еноха.
По рождении Еноха Иаред жил восемьсот лет и родил сынов и дочерей.
Всех же дней Иареда было девятьсот шестьдесят два года; и он умер.
Енох жил шестьдесят пять лет и родил Мафусала.
И ходил Енох пред Богом, по рождении Мафусала, триста лет, и родил сынов и дочерей.
Всех же дней Еноха было триста шестьдесят пять лет.
И ходил Енох пред Богом; и не стало его, потому что Бог взял его.
Мафусал жил сто восемьдесят семь лет и родил Ламеха.
По рождении Ламеха Мафусал жил семьсот восемьдесят два года и родил сынов и дочерей.
Всех же дней Мафусала было девятьсот шестьдесят девять лет; и он умер[9].
Енох жил на Земле 365 лет. Число 365 здесь, несомненно, связано с числом дней в году по египетскому календарю. Автор библейского отрывка хотел этим сказать, что Енох был «человеком всех времен года», и всю свою жизнь – от весны молодости до зимы старости – был угоден Богу. Среди всех праотцев от Адама до Ноя Енох был единственным, о котором не сказано, что он умер, а сказано, что «Бог взял его». Библейский возраст пресловутого Мафусаила, которого Мартин Бубер и Франц Розенцвейг называют Метушелахом, от рождения до смерти составил 969 лет, а продолжительность жизни его деда Иареда была всего на семь лет меньше, что, вообще говоря, превосходит границы всякого воображения.
Измерение Земли
Как только люди перешли к оседлому образу жизни, они очень быстро выучились основам геометрии. Людям хотелось знать, насколько велики участки земли, которые они обрабатывали: земледелец видит перед собой участок земли; для того чтобы его измерить, он сравнивает его длину и ширину с некой мерой длины, например с маховой саженью, которая представляет собой расстояние между кончиками пальцев обеих рук при их разведении в стороны. Если его прямоугольная грядка имеет в ширину одну сажень, а в длину – семь, то земледелец понимает, что он так же богат, как и его сосед, у которого есть квадратная грядка четыре на четыре сажени. Периметр обеих грядок составляет 16 саженей, и оба крестьянина думают, что их грядки одинаковы. Поначалу древний земледелец не понимает, что его сосед при этом снимает со своей грядки вдвое больший урожай. По прошествии некоторого времени человек начинает понимать, что дело не в периметре, а в площади грядок, и находит разрешение загадки: на его узкой прямоугольной грядке умещается семь квадратов со стороной в одну сажень, а на грядке соседа можно уложить аж шестнадцать таких квадратов, то есть результат умножения четырех на четыре.
То, что было важно для крестьян с их грядками и полями, было еще важнее для властителей и царей, желавших знать, насколько были велики принадлежавшие им земли. В походах царей сопровождали землемеры (по-гречески геометры), которые после выигранных битв измеряли площадь покоренных стран.
Всего за несколько лет Александр Македонский завоевал множество земель и создал крупнейшую по тем временам мировую империю площадью 6,2 миллиона квадратных километров. Эта империя простиралась от Македонии до Индии и от Каспийского моря до верхнего течения Нила. При императоре Траяне Римская империя имела бо́льшую площадь, составлявшую 8,3 миллиона квадратных километров, и это тоже было достижение Античности. Для сравнения можно сказать, что Европейский союз, хотя он простирается от Скандинавии до Средиземного моря и от Атлантики до Черного моря, имеет меньшую площадь – всего каких-то 5 миллионов квадратных километров. Не важно, насколько большими владениями обладали прежние властители, – всех их интересовал вопрос о том, какая доля всего мира находится под их господством.
Спустя одно поколение после Александра Македонского Эратосфену, смотрителю Александрийской библиотеки, удалось измерить величину земного шара. В полдень 21 июня каждого года, когда Солнце находится в своей высшей точке на небосводе, Александрийский обелиск отбрасывает на землю самую короткую тень. Эратосфен точно измерил длину тени и на основании полученных данных установил, что по отношению к столпу солнечные лучи падают на землю под углом 7 градусов и 12 минут, или, выражаясь современным языком, 7,2 градуса. Помимо того, Эратосфен вспомнил, что в тот же день, 21 июня, в Сиене, в 800 километрах к югу от Александрии, Солнце находится в зените. Солнечные лучи в Сиене падают на Землю отвесно, и Солнце отражается в воде глубокого сиенского колодца. Эратосфен заключил, что тень от Александрийского обелиска возникает в результате кривизны земной поверхности. То, что Земля – шар, было известно каждому образованному греку еще со времен Аристотеля. Длина дуги большой окружности, соответствующей 7,2 градуса, равна 800 километрам. Полный угол, то есть 360 градусов, можно получить, если умножить 7,2 градуса на число 50. Именно таким способом Эратосфен узнал длину большой окружности. Умножив 800 километров на 50, он получил число 40 тысяч километров, соответствующее длине окружности Земли.
При всей своей простоте расчет все же представляется несколько эфемерным.
Первый вопрос: откуда мог Эратосфен знать, что солнечные лучи в Александрии и Сиене идут параллельно друг другу? Они не могут быть строго параллельными, потому что Солнце находится не на бесконечном расстоянии от Земли. Но даже во времена Эратосфена ученые были убеждены в том, что это расстояние огромно – настолько огромно, что его лучи можно было без колебаний считать параллельными.
Второй вопрос: действительно ли Сиена находится точно на юге от Александрии? Ответ отрицательный. Сиена находится на несколько градусов восточнее Александрии. Следовательно, Эратосфен на деле получил несколько большую величину, чем 40 тысяч километров, но ошибка составила не больше 1–2 процентов.
Третий вопрос: каким образом Эратосфен мог вычислить длину окружности Земли в километрах? Естественно, Эратосфен этого сделать не мог, так как ему была неизвестна такая единица длины, как километр. В своих расчетах Эратосфен пользовался стадиями. Действительно, надо честно признать, никто в современном мире не знает точно, в каком соотношении находятся современный километр и античный стадий. Но зато мы доподлинно знаем, что Эратосфен умножил на 50 расстояние от Александрии до Сиены, а это самое главное в его расчетах.
Глядя на современную карту, любой человек может быстро удостовериться в том, что Сиена, на месте которой находится современный Асуан, находится не точно на северном тропике. В полдень 21 июня Солнце там не находится в зените. Но и здесь ошибка так мала, что она не могла повлиять на принципиальную верность расчетов Эратосфена, и ею в данном случае тоже можно пренебречь.
Рис. 2. Принцип измерения размеров Земли, использованный Эратосфеном: 21 июня каждого года, в полдень, Солнце освещает воду сиенского колодца. Если солнечный луч продолжить в глубь Земли, то он пройдет через ее центр. Луч света в Александрии, расположенной севернее Сиены, если его продолжить кверху, в направлении неба, упирается не в зенит, так как вертикально стоящий столп отбрасывает на землю тень под углом 7,2 градуса. Эти 7,2 градуса соответствуют длине дуги, соединяющей Александрию с Сиеной. Длина этой дуги равна 800 километрам. Это расстояние составляет ровно одну пятидесятую часть окружности Земли
Если известна длина экватора, охватывающего земной шар, то с помощью выведенной Архимедом формулы можно вычислить площадь поверхности Земли. К тому времени эта формула была уже известна. Архимед не только был современником Эратосфена; они были знакомы лично. Результат вычисления: площадь поверхности Земли равна приблизительно 510 миллионам квадратных километров. Не более одного процента из них приходится на современный Европейский союз, но и империя Александра Македонского, и Римская империя не дотягивали даже до двух процентов!
Разумеется, этот результат неприятно удивил владык и царей и после Эратосфена нашлись другие геометры, попытавшиеся заново измерить величину Земли. Уже тогда процветал феномен, хорошо известный и нам, современным людям: как только представляется политическая возможность, множество приспособленцев и лизоблюдов из числа интеллектуалов и специалистов начинают смотреть в рот властителям, стараясь по губам читать их сокровенные желания. Словно по мановению волшебной палочки, Земля внезапно уменьшилась в размерах. Ко времени императора Траяна окружность Земли по экватору составляла уже всего 27 тысяч километров – согласно расчетам авторитетных геометров того времени. Таким образом, площадь поверхности Земли, которая по расчетам Эратосфена составляла 510 миллионов квадратных километров, съежилась до 230 миллионов квадратных километров. Мировые империи стали больше соответствовать такому названию.
Еще Христофор Колумб мог исходить из допущения о том, что окружность Земли по экватору составляет всего 27 тысяч километров. Следовательно, континент Европы и Азии, согласно таким данным, составлял большую часть суши Северного полушария. Расстояние от Лиссабона до китайского города Гуаньчжоу, согласно сообщениям путешественника XIII в. Марко Поло, составляло около 11 тысяч километров. При таком допущении Колумб мог рискнуть и попытаться западным морским путем через Атлантику достичь Китая или Индии. Советники португальского короля отговаривали от финансирования этого предприятия – они доверяли старым расчетам Эратосфена. Испанский королевский двор после долгих и мучительных переговоров поддержал Колумба, и 3 августа 1492 г. он смог выйти в море. До конца своей жизни Колумб был убежден в том, что 12 октября 1492 г. он открыл «другую сторону» Индии.
Фальсифицированные измерения, таким образом, сделали возможным открытие Америки.
Астрономически большие числа
Окружность длиной 40 тысяч километров уже трудно представить себе наглядно{4}, и воображение совершенно нам отказывает, если мы оставим Землю и обратимся к расстояниям космического масштаба. Вскоре после того, как Эратосфен совершил свой научный подвиг, астроном Гиппарх измерил расстояние от Земли до Луны. Это измерение было основано на оценке следующих наблюдений: во время лунного затмения тень Земли покрывает диск луны. Край тени Земли на диске имеет форму окружности – кстати говоря, именно этот факт послужил для Аристотеля доказательством шарообразной формы Земли, ибо только шар во всех своих проекциях отбрасывает на предметы круглую тень. Если во время лунного затмения взять монету достоинством 1 евро и начать рассматривать ее на расстоянии вытянутой руки (то есть на расстоянии приблизительно 75 сантиметров), очертания края монеты точно совпадут по размеру с краем земной тени на диске Луны. Длина окружности монеты равна приблизительно 75 миллиметрам, а монета удалена от глаза на расстояние, превышающее длину окружности в десять раз, то есть из этого можно заключить, что Луна удалена от Земли на расстояние, приблизительно в десять раз превышающее окружность Земли, что соответствует 400 тысячам километров. В сравнении с точно вычисленным средним расстоянием Луны от Земли, равным 384 тысячам километров, это не такой уж плохой результат. Сам Гиппарх впоследствии придумал более совершенный способ{5}, с помощью которого определил расстояние от Земли до Луны с ошибкой всего в несколько процентов.
Рис. 3. Тень Земли так покрывает диск полной Луны, что размер округлого края тени соответствует размеру монеты достоинством 1 евро, удаленной на расстояние 75 см от глаза. Отсюда можно грубо оценить расстояние от Земли до Луны
Зная расстояние от Земли до Луны, можно – по крайней мере, так думал живший до Эратосфена астроном Аристарх – определить и расстояние от Земли до Солнца. Когда на дневном небосводе видна ровно половина Луны, достаточно, по мысли Аристарха, измерить угол между зрительным лучом, направленным на Солнце, и зрительным лучом, направленным на Луну. Дело в том, что на Луне угол между лучами зрения, направленными на Солнце и на Землю, является прямым. Зная угол треугольника, образованный двумя сторонами, в концах которых находятся Луна – Земля и Земля – Солнце соответственно, можно определить форму треугольника. Если же известна одна сторона этого прямоугольного треугольника – в нашем случае это сторона, соответствующая расстоянию от Луны до Земли, – то можно легко вычислить длины двух других сторон.
Рис. 4. Принцип измерения расстояния от Земли до Солнца по Аристарху: когда Луна освещена в точности наполовину, направление зрительного луча от Земли до Луны составляет прямой угол с направлением зрительного луча, направленного от Луны к Солнцу. Если теперь измерить угол между лучом, соединяющим Землю и Луну, и лучом, соединяющим Землю и Солнце, то можно получить углы прямоугольного треугольника. Исходя из известной длины одной стороны этого треугольника и его углов, можно посчитать, во сколько раз расстояние от Земли до Солнца превышает расстояние от Земли до Луны. Правда, измеренный угол между направлениями от Земли до Луны и от Земли до Солнца настолько близок к прямому, что Аристарх не смог получить достоверные данные
Теоретически метод Аристарха безупречен. Но при попытке его практического применения он оказывается невыполнимым. Угол между направлением зрительной оси от Земли до Луны и направлением зрительной оси от Земли до Солнца очень мало отличается от прямого. Аристарх не мог измерить эту разницу с помощью доступных ему методов измерения углов. Направления лучей от Солнца до Луны и от глаза до Солнца оказывались практически параллельными. Таким образом, ясно, что Солнце находится от Земли на расстоянии, многократно превышающем расстояние от Земли до Луны. Аристарх считал, что в девятнадцать раз. Однако он сильно ошибся. Солнце располагается от Земли дальше, чем Луна, приблизительно в 400 раз.
Это расстояние приблизительно равно 150 миллионам километров. Произнести число 150 миллионов легко, но едва ли нам удастся вообразить себе такое расстояние наглядно. Достаточно ли сказать, что надо обогнуть Землю 3750 раз, чтобы преодолеть это немыслимо огромное расстояние? Или вспомнить о том, что свету, который каждую секунду преодолевает 300 тысяч километров, требуется около восьми минут для того, чтобы преодолеть расстояние от Солнца до Земли? Все это соответствует действительности, но превосходит силу нашего воображения.
Но с удаления от Земли до Солнца астрономические расстояния только начинаются. Самые близкие к нам звезды расположены от нас в 250 тысяч раз дальше, чем Солнце. Это приблизительно 40 триллионов километров. Свет в течение одного года преодолевает расстояние, равное девяти с половиной триллионам километров, и именно это расстояние для краткости очень мило называют «световым годом». Это необходимое сокращение, ибо, например, Млечный Путь, этот звездный остров, составленный из миллиардов звезд, одной из которых является наше Солнце, имеет диаметр около ста тысяч световых лет. Этот звездный остров называется галактикой. Ближайшая следующая галактика – туманность Андромеды. Она удалена от нас на расстояние около двух миллионов световых лет, но в ясную звездную ночь ее можно различить на небосводе невооруженным глазом в виде расплывчатой светящейся точки. В привычных единицах измерения это расстояние соответствует более чем 18 квинтиллионам километров – числу, напоминающему число зернышек риса из рассказа о мудреце и магарадже.
Но и это всего лишь начало рассказа космологов о величине мирового пространства. В нем таких галактик, таких звездных островов, как Млечный Путь или туманность Андромеды, насчитывается больше 100 миллиардов. С помощью мощнейших наземных телескопов и телескопов, установленных на искусственных спутниках Земли, астрономы наблюдают немыслимые бездны мироздания. Теоретически с помощью этих устройств можно проникнуть взором на расстояние почти 50 миллиардов световых лет, а дальше начинается «горизонт событий Вселенной», за который, если верить общей теории относительности Эйнштейна, мы не можем заглянуть даже с помощью самой совершенной аппаратуры. Если выразить 50 миллиардов световых лет в километрах, то получается число 450 секстиллионов километров.
Опять-таки произнести это легко, но наглядно представить невозможно.
Самое большое число во Вселенной
Огромные расстояния космоса побудили Архимеда к тому, чтобы вычислить самое большое число, существующее на Земле. Архимед придерживался того мнения, что, несмотря на некоторый смысл, все же было бы бесполезно говорить о числах, больших, чем число самых мелких частиц, которые могут уместиться во всей Вселенной.
По мнению Архимеда, самая мелкая из всех частиц – песчинка. Вероятно, что все же в виду имелась пылинка, потому что Архимед исходил из мысли о том, что в маковом зернышке может поместиться не больше десяти тысяч песчинок. Если положить рядом 25 маковых зернышек, то получится ширина пальца. Для верности Архимед несколько уменьшил размер макового зернышка и сделал его таким, что сорок зернышек, положенных в ряд, составят отрезок длиной один сантиметр. Представим себе маковое зернышко в виде куба с длиной ребра четверть миллиметра. Значит, объем этого кубика будет равен 0,016 кубического миллиметра. Архимед сделал его еще меньше, приравняв к 0,01 кубического миллиметра. Это зернышко может вместить десять тысяч песчинок. Таким образом, песчинка, которая, по Архимеду, является самой мелкой частицей во Вселенной, имеет крошечный объем, равный 0,000001 кубического миллиметра. Другими словами, в одном кубическом миллиметре может уместиться миллион песчинок.
Итак, наибольшее число во Вселенной – это песчаное число, то есть число песчинок, способных уместиться во Вселенной.
Размер Вселенной Архимед, надо сказать, оценил весьма щедро – и, как мы уже знаем, ошибочно – ибо в своих расчетах опирался на данные Аристарха о расстоянии от Земли до Солнца. По мнению Аристарха, Солнце удалено от Земли на расстояние, в 19 раз превышающее расстояние от Земли до Луны. Таким образом, по Аристарху, расстояние от Земли до Солнца равно произведению расстояния до Луны – 400 тысяч километров – на двадцать, что в результате дает восемь миллионов километров. Архимед предположил, что Вселенная заведомо уместится в куб, ребро которого в миллион раз больше расстояния от Земли до Солнца. То есть длина ребра равна восьми триллионам километров. Еще больше куб с ребром длиной десять триллионов километров. Из этого числа и исходил Архимед. Объем такого куба равен одному секстиллиарду кубических километров, или 1039 кубических километров, или единице с тридцатью девятью нулями.
В одном кубическом миллиметре умещается миллион, или 106, песчинок. Поскольку в одном кубическом метре содержится один миллиард кубических миллиметров, или 109, а в кубическом километре – один миллиард, или 109, кубических метров, то песчаное число Архимеда равно 106 × 109 × 109 × 1039. Это число равно 1063, или, иными словами, одному дециллиарду.
На самом деле Архимеда интересовало не само точное песчаное число. Своими вычислениями он хотел достичь двоякой цели.
Первое: способ написания греками чисел, при котором буквы алфавита служили одновременно символами чисел, мешал обозначению огромных чисел. Архимед поставил себе задачу обозначить дециллиард, для чего создал собственную систему счисления. Он ввел единицу «мириада», от греческого слова μυρίος, обозначающего нечто бесчисленное. В системе счисления Архимеда это число соответствовало десяти тысячам. Возводя мириаду в разные степени, Архимед смог без использования нуля, существование которого, как ни странно, было ему неизвестно, обозначать – по крайней мере, словесно – любое сколь угодно большое число.
Второе: дециллиард, по мнению Архимеда, было самым большим числом во Вселенной. Оперировать бо́льшими числами невозможно. Однако в математике, как был убежден Архимед, существуют и намного бо́льшие числа. Сам Архимед в одном из сочинений о песчаном числе упоминает громадное число 1080 000 000 000 000 000, то есть число, выраженное единицей с восемьюдесятью квадриллионами нулей, – но даже и это немыслимое и невообразимое число является, с точки зрения математика, малым. Ибо, с математической точки зрения, малым является любое число. Начиная с единицы, до любого числа можно перечислить лишь конечное число чисел, но за достигнутым числом находится бесконечное множество следующих чисел, которые еще предстоит перечислить.
Было бы интересно и занимательно выполнить оценку, подобную той, какую выполнил Архимед; при этом мы не станем прибегать к песчинкам и не станем пользоваться заниженным Аристархом размером Солнечной системы, а будем пользоваться наименьшими и наибольшими длинами, известными современной физике. Если скомбинировать гравитационную постоянную, являющуюся со времен Ньютона и Эйнштейна мерой силы тяжести, скорость света, являющуюся со времен Максвелла и Эйнштейна мерой всех электродинамических процессов, и квант действия, который со времен Планка и Бора является точкой отсчета квантовой теории, то мы получим так называемую планковскую длину (естественную единицу длины), которая равна 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 метра. Обычно это число записывают в краткой форме: 1,6162 × 10–35 метра, ибо первая, отличная от нуля цифра, единица, стоит на тридцать пятом месте после запятой. Теперь мы подсчитаем, сколько «кубиков» с «ребром», равным 10–35 метра, может уместиться во Вселенной, горизонт событий которой удален от нас на расстояние 50 миллиардов световых лет. То есть мы можем принять, что Вселенная представляет собой «куб» с «ребром», равным 100 миллиардам световых лет. Так как 100 миллиардов световых лет чуть меньше расстояния в километрах, выраженного произведением 100 миллиардов на 10 триллионов, то есть 1011 × 1013 × 10³ метров, то его можно принять за 1011 + 13 + 3 = 1027 метров. Объем такого куба равен 1027 × 3, то есть 1081 кубическим метрам. «Кубик Планка» с «ребром», равным 10–35 метра, имеет объем 10–35 × 3, то есть 10–105 кубических метра. Таким образом, во Вселенной умещается не больше 1081 + 105, или 10186 «кубиков Планка», или один унтригинтиллион. За единицей следуют 186 нулей. Это, если угодно, современное «песчаное число».
Можно поиграть в такую же – воображаемую – игру со временем. Существует не только планковская длина, но и планковское время, наименьшая имеющая физический смысл единица измерения времени, равная приблизительно 5 × 10–44 секунды. Насколько мы знаем, Вселенная возникла 13,8 миллиарда лет назад, что в секундах соответствует величине около 5 × 1017 секунд. Таким образом, вся история Вселенной умещается во временной промежуток, равный 1017 + 44, или 1061, планковским мгновениям, или, в словесной форме, десяти дециллионам таких мгновений. Удивительно, но это число составляет лишь одну сотую часть песчаного числа Архимеда.
Как только человек начинает считать большими числами, он немедленно теряет скромность…
Надо учиться оценивать, а не считать
Но вернемся, однако, в обыденный мир. Конечно, с нашей повседневной жизнью астрономические величины не имеют ничего общего, но размышления о том, как Архимед и современные ему эпигоны работали с приблизительными оценками, представляют интерес и помимо забавных историй о дециллионах и унтригинтиллионах. Умные головы всегда выделялись тем, что хорошо умели прикидывать порядок величин. Волшебником таких оценок был родившийся в Риме и умерший в 1954 г. в Чикаго физик-теоретик Энрико Ферми. На его примере можно научиться тому, что искусство применения математики заключается не в том, чтобы производить безошибочные расчеты, а скорее в том, чтобы минимизировать неизбежные ошибки, держать их, так сказать, в узде.
«Сколько в Чикаго настройщиков пианино?» – спросил однажды Ферми обескураженного таким вопросом студента. Естественно, студент не имел об этом ни малейшего понятия. Однако Ферми знал, как можно приблизительно оценить их число: в Чикаго проживают четыре миллиона человек. В одном домохозяйстве проживают в среднем четыре человека, а в каждом пятом домохозяйстве есть пианино. То есть в городе насчитывается двести тысяч этих музыкальных инструментов. Если каждое пианино надо настраивать один раз в четыре года, то ежегодно надо настраивать пятьдесят тысяч инструментов. Если настройщик за один день может настроить четыре пианино, то за 250 рабочих дней он настроит 1000 пианино в течение одного года. Значит, в Чикаго приблизительно 50 настройщиков пианино.
Всемирно известный венский физик-теоретик Вальтер Тирринг в совершенстве владеет искусством подобных оценок. Когда он был школьником, ему сказали, что теория Альфреда Вегенера, согласно которой континенты перемещаются по поверхности Земли, как льдины по воде, – это сущий вздор. Мальчик ответил, что представил себе картину землетрясения, во время которого земля смещается на ширину ладони. Если такое землетрясение случается один раз в год, то, значит, земная кора сдвигается в год на 10 сантиметров. За 100 миллионов лет она сдвинется, таким образом, на миллиард сантиметров, или на десять тысяч километров, то есть на расстояние, разделяющее Европу и Америку. Учителя посоветовали юному Тиррингу оставить фантазии и игры с числами. Сегодня теория дрейфа материков стала общепринятой и превратилась в научную догму.
Самое очаровательное в этих расчетах заключается в том, что, хотя они и не точны, они тем не менее позволяют хорошо оценить порядок величин, причем при отсутствии подробной информации – только на основании разумных аргументов. Самое прекрасное – это то, что такие расчеты можно легко и непринужденно делать без всяких технических вспомогательных средств. Сколько весит вода в плавательном бассейне, сколько мусора выбрасывает одна семья в течение года, из скольких клеток состоит человеческое тело – на все эти более или менее осмысленные вопросы можно получить ответ, пользуясь методом оценок, предложенным Ферми.
Или вот еще вопрос: в каком отношении находится численность пенсионеров к численности работающих? Даже не поднимая данные статистических ведомств, можно оценить порядок ужасающе высокой доли пенсионеров в обществе. Здесь опять-таки достаточно метода Ферми. Эта оценка является настолько точной, что она сама по себе говорит о необходимости принятия политических решений в этой деликатной области.
Посчитала ли канцлер Меркель, как подобает дипломированному физику, по методу Ферми, смогут ли не выбрасывающие в атмосферу углекислый газ источники энергии компенсировать отказ от атомных электростанций, – об этом немецкие СМИ, которые обычно знают все, так и не сообщили.
Безошибочные расчеты вообще имеют лишь косвенное отношение к математике. Безошибочно считать может и компьютер. Математическая точность подразумевает умение оценивать как результат, так и возможную ошибку. «Ничто столь наглядно не указывает на непонимание математики, – утверждал Гаусс, – как преувеличенное внимание к точности численных расчетов».