Только ноль делает числа большими
Тайна четвертого года
Тутанхамона лишил жизни укус комара. Комар заразил его – великого фараона, властителя Египта – малярией, болезнью, сопровождающейся высокой лихорадкой, от которой может умереть человек с ослабленным здоровьем. Тутанхамон же был очень слаб. С самого рождения у него были больные кости, и передвигаться он мог только на костылях. С детства же у Тутанхамона был сильно искривлен позвоночник. Возбудитель малярии шутя справился с хрупким молодым человеком, ставшим фараоном в девятилетнем возрасте и царствовавшим на протяжении всего лишь десяти лет.
Когда в 1922 г. английский археолог Говард Картер и его коллеги обнаружили гробницу несчастного фараона, они были изрядно воодушевлены и обрадованы: в отличие от гробниц многих других фараонов, эта оказалась практически нетронутой. Сокровища других гробниц были тысячи лет назад присвоены грабителями могил. Грабители хотели обчистить и гробницу Тутанхамона – украсть оттуда все золото и драгоценные украшения, – но что-то помешало их намерениям. Они побросали награбленное и в спешке бежали от гробницы. Таким образом, Картер открыл практически нетронутым внутреннее убранство захоронения. В свете факелов и фонарей во тьме склепа сверкнуло золото, ожидавшее своего открытия 3244 года – столько лет к тому времени прошло после смерти фараона.
Что побуждало египтян воздавать такие немыслимые почести своему повелителю, который на деле был лишь чахлым смертным? Это почитание продолжилось и после его преждевременной кончины – последнее пристанище фараона было обставлено с невиданной роскошью и убрано сокровищами и богатыми загробными дарами. Почему? Большинство египтян никогда в жизни не видели своего фараона. Эти египтяне до изнеможения работали в полях и мастерских на берегах Нила, великой реки, которая течет к Средиземному морю, рассекая надвое великую пустыню, давая возможность людям жить среди негостеприимных и бесплодных песков. Нил дарит людям необходимую им воду и, сверх того, регулярно разливается, затапливая и орошая долину. Во время этих разливов Нил приносит из своих верховьев на далеком юге плодородный ил, который осаждается на землю и остается на ней, когда воды реки отступают. Этот ил настолько плодороден, что позволяет снимать с полей богатейший урожай. Для крестьян и ремесленников фараон был далеким, неведомым, но могущественным существом. Люди слышали чудесные рассказы об этом таинственном царе, который – если верить слухам – и сам был сыном богов, пришедшим с неба, чтобы властвовать над Египтом. Простому народу внушали мысль о всемогуществе властителя. Именно он приказывал Нилу разливаться и отступать.
Собственно, даже немногие придворные, удостоенные чести видеть лицо фараона, встречались с ним лишь в определенные священные дни. Облаченный в позолоченные, украшенные драгоценностями одежды, скрывавшие болезненное изуродованное тело, держа в руке, как скипетр, анх – увенчанный кольцом крест, он торжественно возглашал с трона: да наступят снова дни, когда Нил выйдет из берегов, оплодотворит иссохшую землю и дарует нам пищу и жизнь. Вероятно, существовала лишь немногочисленная горстка избранных, прекрасно осведомленных об истинном состоянии хрупкого здоровья фараона. Но это знание ни при каких обстоятельствах не должно было выходить за пределы узкого круга ближайших советников – только им было дозволено знать, что фараон отнюдь не могучий отпрыск богов, а обычный, тяжело больной смертный. Если бы подданные узнали правду, то вера египтян в своего владыку немедленно пошатнулась бы, а это угрожало распадом всему великому царству. Советники фараона были убеждены в том, что должен существовать некто, управляющий и руководящий всеми работами подданных, человек, который должен повелевать, когда сеять, а когда жать. Этим человеком был фараон, сын своего отца и наследник всех своих предков, которые тоже были фараонами, независимо от того, насколько жалкое зрелище они могли собою представлять.
Тутанхамон сам не мог знать, когда именно в этом году благодетельный Нил выйдет из берегов, чтобы принести в долину плодородный ил. Эти сведения сообщали фараону его советники. Собственно, они-то и были истинными властителями страны, скрывавшимися за облаченным в роскошные одежды фараоном. Так советники поддерживали тысячелетнюю традицию – и делали это не только из почтения к царствующему дому, но и по собственному желанию: такая позиция позволяла им избегать множества обременительных обязанностей, которые должен был исполнять фараон: принимать царей и послов чужеземных стран, при необходимости выступать во главе армии в далекий поход и вести войну, а во время великих празднеств и торжеств присутствовать на церемониях и по многу часов стоять в тяжелой и неудобной одежде, сохраняя на лице мину показного величия. Советники же вели приятную, не обремененную лишними хлопотами жизнь в тени славного и великого фараона.
Они могли позволить себе такую спокойную жизнь, ибо знали, как рассчитывать сроки плодоносных разливов Нила. Советники ночами регулярно наблюдали звезды, освещавшие египетскую пустыню, и установили, что каждый раз, когда одна особенно яркая звезда появляется на небе непосредственно перед восходом солнца – звезда Сириус из созвездия Большого Пса, – начинается разлив Нила. Этот период называли собачьими днями, и в латинском переводе это наименование сохранилось до наших дней[2]. Но самое главное, что египетские жрецы и советники фараона умели делать то, чего не умел, кроме них, никто в Египте.
Они умели считать.
И не до восьми или двенадцати – это умели делать и крестьяне, – а до ста и дальше – до двухсот и трехсот. На такое в те времена были способны очень немногие. Дело в том, что в Древнем Египте почти никто не умел писать, а такие большие числа, как 365 или 1460, можно усвоить только в том случае, если можешь их записать.
Фактически именно эти два важнейших числа помогали ближайшим советникам фараона сохранять свою власть и могущество.
Значение числа 365 лежит на поверхности: египетские жрецы и ученые писцы знали, что от одного восхождения Сириуса до следующего проходит почти точно 365 дней. Именно это и считали продолжительностью египетского года. Советники фараона вели тщательные наблюдения звездного неба в течение многих десятилетий и сумели раскрыть еще более значимую тайну: восхождение Сириуса постепенно, год от года запаздывало, и каждые четыре года запаздывало ровно на один день. Сообщая народу о продолжительности года, они тем не менее удержали при себе знание о запаздывании восходов Сириуса. Для того чтобы сделать год более обозримым для неграмотного народа, жрецы разделили год на двенадцать месяцев, а каждый месяц – на три декады, то есть три промежутка по десять дней. Следовательно, продолжительность каждого месяца составляла тридцать дней. То есть двенадцать месяцев по тридцать дней составили период длительностью 360 дней. По окончании двенадцати месяцев жрецы добавляли к ним пять дополнительных праздничных дней. Так им удалось сделать продолжительность года равной 365 дням{1}[3].
Тем не менее жрецы сохранили в тайне истинное знание о том, когда именно каждый раз восходит Сириус. Каждый четвертый год дата восхода изменялась, и каждый раз народу заново объявляли, когда Сириус возвестит о начале разлива Нила. Это каждый раз было загадкой для крестьян, но не для жрецов и писцов. Они знали: по прошествии четырех лет восход Сириуса произойдет на день позже. Когда минует десять раз по четыре года, то есть через сорок лет, восход отодвинется на декаду. Когда пройдет 30 раз по четыре года, то есть через сто двадцать лет, – на месяц. А когда минует четыре раза по 365 лет, то есть через 1460 лет, большой цикл Сириуса подойдет к концу, дата восхода повторится и цикл начнется сначала. Этот цикл был назван жрецами циклом богини Сопдет. Каждые четыре года этого цикла один день торжественно отмечался как новый день восхода Сириуса. Однако никто, кроме жрецов и ученых писцов, даже не догадывался о цикле с такой невероятной длительностью, как 1460 лет.
Писцы и жрецы очень хотели, чтобы так продолжалось всегда. Умеющие считать и знавшие числа вельможи, жрецы и писцы держали народ в полной уверенности, что фараон каждый раз заново получает от богов сведения о дате начала разлива Нила. Когда же в 237 г. до н. э., спустя три поколения после того, как Александр Македонский со своей греческой армией завоевал Египет, был основан город, названный в его честь Александрией, а в нем была учреждена знаменитая библиотека, и в Египте стало много людей, умеющих читать и писать, и фараон Птолемей III, сам будучи образованным греком, решил своим указом добавить еще один день к каждому четвертому году, египетское жречество энергично запротестовало. После смерти Птолемея его указ был сразу же отменен. При соблюдении нового календаря получилось бы, что Нил каждый год разливался бы в одни и те же дни года и подданным стали бы не нужны предсказания фараона, а значит, жрецы и писцы утратили бы все свое влияние.
Большие числа обеспечивают большое могущество.
Могущественные числа дракона Тиамат
В Египте сведущие в числах жрецы наблюдали Сириус, а астрономы Междуречья, пустынной области, по которой протекают две животворящие реки Евфрат и Тигр, следили за движениями двух самых ярких тел небосвода – Солнца и Луны. Оба светила восходят на востоке, на юге достигают наивысшего положения на небосклоне, а затем исчезают за горизонтом в западном направлении. Сегодня мы знаем, что это кажущееся движение видится нам благодаря тому, что Земля вращается вокруг своей оси в направлении с запада на восток. Вследствие этого весь небесный свод за двадцать четыре часа совершает кажущееся движение по замкнутому кругу в направлении с востока на запад.
Помимо этого, Солнце и Луна находятся на небосклоне не в одних и тех же фиксированных местах, а движутся по небесной сфере вдоль расположенных очень близко друг к другу окружностей, которые проходят через двенадцать созвездий: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей и Рыбы. Окружность на небесной сфере, вдоль которой движется Солнце в течение года, называется эклиптикой. Слово это происходит от греческого слова ἐκλείπειν – «исчезать». Мы скоро увидим, почему так назвали эту окружность. Для того чтобы пройти по эклиптике, Солнцу требуется ровно 365 дней и еще четверть суток. Когда древневавилонский астроном определял положение Солнца на небосводе, а затем ровно через двенадцать часов направлял инструмент на то же место небосклона, он видел то созвездие, которое в тот момент противостояло Солнцу на эклиптике.
Гелиоцентрическая картина мира учит, что не Солнце движется по эклиптике, а Земля в течение года огибает по ней Солнце. Земля по ходу этого движения занимает разные положения на своей орбите, и благодаря этому мы видим, как Солнце, перемещаясь по эклиптике, попадает в разные знаки зодиака.
Луна, напротив, действительно обращается вокруг Земли, и путь Луны по небосклону представляет собой замкнутую окружность, которую ночное светило проходит за очень короткий срок – 27 суток и приблизительно восемь часов, то есть за так называемый сидерический (звездный) месяц. Так как за это время Солнце тоже перемещается на какое-то расстояние по эклиптике, то по истечении сидерического месяца Луна освещается Солнцем под несколько иным углом, нежели в начале месяца. Таким образом, для того чтобы занять относительно Солнца прежнее положение, Луне требуется немного больше времени. Это время соответствует так называемому синодическому месяцу, который длится почти точно 29 суток и двенадцать часов. По истечении синодического месяца Луна вступает в ту же фазу, в которой она была в начале синодического месяца. Месяцы, которыми астрономы пользовались для членения времени, определялись согласно этим лунным фазам: продолжительность месяца поочередно составляла 29 и 30 дней. Жители Междуречья чествовали своих богов в полнолуние, когда совершались паломничества в храмы. Люди предпочитали не пускаться в трудный путь под палящими лучами солнца, а совершали паломничества по ночам. Для того чтобы не сбиться с дороги, нужен был свет луны, и поэтому паломничества совершались в полнолуние. Круг еврейских праздников тоже ориентирован на полнолуния: Песах, когда отмечают освобождение из египетского рабства, празднуют в полнолуние первого весеннего месяца ниссана. Христианская Пасха, увязанная с иудейским Песахом, празднуется в первое воскресенье после него[4].
Окружность, по которой Луна пересекает небесный свод, тоже пролегает через двенадцать созвездий зодиака. Однако траектория движения Луны не вполне, а лишь приблизительно соответствует эклиптике. Если бы орбита Луны в точности совпадала с эклиптикой, то в каждое новолуние происходило бы солнечное затмение, потому что Луна, невидимая с Земли сторона которой освещается в это время Солнцем, оказалась бы непосредственно перед Солнцем и заслонила бы собой дневное светило. При каждом же полнолунии мы наблюдали бы лунное затмение, потому что в эти моменты Земля находилась бы как раз между Солнцем и Луной и тень нашей планеты закрыла бы ночное светило. Однако орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики на угол около пяти градусов, и поэтому при новолунии редко случаются солнечные затмения, а при полнолунии – лунные.
Все это было хорошо известно вавилонским ученым, но неведомо простому народу.
Астрономы с большой точностью вычисляли траекторию движения Луны с вершин своих зиккуратов, ступенчатых храмовых башен, возвышавшихся не только над знойным городским маревом, но и над скоплениями простонародья. Одна половина пути Луны пролегает над эклиптикой, а вторая половина – под ней. В двух диаметрально противоположных точках небесной сферы орбита Луны пересекает эклиптику. Эти две точки на ней называют лунными узлами. Вавилонские ученые называли одну точку «головой дракона», а вторую – «хвостом дракона».
Дело в том, объясняли ученые вавилоняне изумленным слушателям, что на небе проживает таинственный дракон Тиамат. Там, куда смотрит его голова, начинается путь Луны над эклиптикой. Там же, где на противоположной стороне небесной сферы находится хвост дракона, путь Луны снова пересекает эклиптику, и Луна ныряет под нее. Иногда, в моменты, известные только богам, дракон заглатывает солнце или же сдавливает его своим хвостом.
Рис. 1. Для находящегося на Земле наблюдателя Солнце в течение года описывает по небесной сфере пролегающую через созвездия зодиака окружность, называемую эклиптикой. Видимая орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики приблизительно на пять градусов. Луна проходит свою орбиту за один (сидерический) месяц. Воображаемые точки пересечения орбиты Луны с эклиптикой называют лунными узлами, находящимися в точках небосклона, которые древневавилонские астрономы называли головой и хвостом дракона. Затмения происходят только тогда, когда Солнце и Луна находятся на прямой, соединяющей голову и хвост дракона. Если Солнце и Луна при этом оказываются по разные стороны от Земли, то наблюдают лунное затмение, если же по одну сторону, то солнечное
Напуганные слушатели спрашивали ученых:
– Что произойдет, если дракон захватит пастью солнце или сдавит его своим хвостом?
– Солнце исчезнет, и нам будет угрожать тьма, – отвечали ученые жрецы.
– Когда это произойдет?
– Мы должны вопросить богов, может быть, они соблаговолят дать нам ответ. Если же вы принесете приятную богам жертву, то они принудят дракона отпустить солнце, чтобы оно продолжало светить нам.
Однако, вместо того чтобы вопрошать богов, ученые с невероятной тщательностью и точностью наблюдали за движениями Луны и Солнца, со всей доступной им точностью измеряя время, необходимое Луне, чтобы дойти от головы дракона к его хвосту, а затем обратно – от хвоста к голове. Полное время прохождения Луны туда и обратно немного короче сидерического месяца. Ученые могли предъявить длинный список этих временных промежутков. Эти списки подсказывали жрецам, что можно сообщить народу о божественной воле. Затмение могло произойти только тогда, когда Луна находится в одном из лунных узлов. При этом Луна должна находиться либо в фазе полнолуния, либо новолуния. Кроме того, промежуток между двумя полнолуниями был хорошо известен вавилонским астрономам как синодический месяц. Обладая такими знаниями, вавилонские астрономы были в состоянии предсказывать солнечные затмения. Такое затмение может произойти только тогда, когда новая Луна находится либо в голове, либо в хвосте дракона. Иногда ждать затмения приходилось очень долго. От одного полного солнечного затмения до другого в какой-то одной точке поверхности Земли проходит в среднем около ста сорока лет. Такая редкость придает солнечным затмениям невероятное очарование, а кроме того, на древних людей, не понимавших причин затмений, они наводили суеверный ужас.
4 июля 587 г. до н. э. на небе висела полная Луна, и вместе со многими другими людьми греческий философ Фалес Милетский ночью наблюдал лунное затмение. Каким-то образом Фалесу удалось выведать у вавилонских астрономов числовую тайну дракона Тиамат. Через двадцать три с половиной месяца, поведали вавилоняне Фалесу, наступит новолуние, после того как Луна двадцать пять раз пройдет через голову дракона и двадцать пять раз через хвост дракона и вместе с Солнцем окажется напротив узла, что приведет к полному солнечному затмению. Тогда Фалесу оставалось выполнить лишь дополнительные расчеты: 23 с половиной синодических месяца – это 693 дня, на тридцать семь дней меньше чем два года. Следовательно, солнечное затмение должно было произойти за 37 дней до 4 июля 585 г. до н. э., или за тридцать три дня до 30 июня, или 28 мая того же года.
Теперь представьте себе картину: вавилонский жрец выходит к народу и говорит:
– Завтра дракон Тиамат раскроет свою ужасную пасть и поглотит солнце, окружив его чернотой. Померкнет небо, и наступит сумрак. Все вокруг потемнеет. Но мы усердно молились богам, и они уговорят дракона освободить и вернуть солнце. Возносите же хвалы богам и приносите им щедрые жертвы!
На следующий день жители Вавилона были встревожены настолько, что побросали свои привычные занятия и, забыв покой, жадно смотрели в небо. Действительно, в какой-то момент солнце померкло, как и предсказывал жрец, а через несколько минут светило вырвалось из мрачной тени. Своим точным предсказанием жрец обеспечил безбедную жизнь себе, своим детям, внукам и правнукам. Отныне ни один вавилонянин не посмеет оспаривать авторитет жреца.
В действительности же за этим предсказанием не стояло ничего иного, кроме умения оперировать большими числами.
Согласно легенде, Фалес заблаговременно предсказал солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э. Однако в отличие от жрецов Вавилона Фалес не стал апеллировать к суеверию толпы, а объявил о том, что своим знанием он обязан умению работать с большими числами. За магической историей о драконе Тиамат стояли холодные, бесстрастные числа. Мало того, большие числа, недоступные большей части безграмотного населения.
Число и письмо
Умение оперировать числами было в древние времена вратами, ведущими к богатой и беззаботной жизни. Важный шаг в этом направлении сделали древнеегипетские землемеры. Они умели оперировать с числами, большими дюжины и доходившими до нескольких сотен. Нужно было уметь считать в таких пределах для того, чтобы нарезать крестьянам участки полей определенной длины и ширины. Кроме того, счета в этих пределах хватало для того, чтобы подсчитывать число мешков зерна, поставленных крестьянами. Считали также число запряженных быками телег, доставлявших урожай в житницы. Однако высших ступеней богатства и влияния достигал тот чиновник или писец Древнего Египта, который умел оперировать числами, превосходившими несколько сотен или даже тысячу. Такой чиновник мог рассчитывать на место при дворе верховного владыки – фараона.
Счисление у египтян, а также у представителей других ранних высоких культур – вавилонян, майя, китайцев – заканчивалось, как правило, числами порядка пары тысяч. В те времена чиновники и торговцы в своих повседневных делах – в отличие от чиновников и торговцев современности – не задумывались о миллионных суммах. Когда же возникала необходимость иметь дело с бешеными – в полном смысле этого слова – деньгами, счетоводы соединяли определенные множества в новые единицы. Мы поступаем точно так же и сегодня, когда считаем дюжинами, выражаем большие расстояния в километрах, а не в метрах, а большие массы измеряем не граммами, а тоннами.
Цифры, использовавшиеся для записи чисел в древних культурах, не предназначались для представления чисел, превышающих пару тысяч. Лишь в довольно редких случаях люди изобретали символы для по-настоящему больших чисел, но считали их настолько громадными, что лишь дивились им, не предпринимая попыток разумно ими оперировать. Такие величины считали просто числами, поражающими воображение и превосходящими всякие человеческие представления. Полагали, что операции с такими числами доступны только божествам.
Сегодня эти древние цифры известны лишь специалистам по истории древних восточных культур и по истории Античности. Лишь очень немногие знают, что древние греки для представления чисел пользовались буквами своего алфавита. Первая буква А, альфа, соответствовала единице, вторая буква В, бета, двойке, третья буква Г, гамма, тройке, и так далее до буквы I, йота, которая соответствовала числу 10. Затем греки считали десятки, используя следующие буквы – К, каппу, Λ, лямбду, М, мю, – которые соответствовали 20, 30, 40. Сочетание ΛВ обозначало число 32, а записывая КГ, имели в виду 23. Оставшиеся буквы алфавита обозначали сотни: Р, ро, служила символом 100, Σ, сигма, обозначала 200, Т, тау, – 300, и так далее. Имея в алфавите 24 буквы и еще три дополнительных знака (буквы еще более древнего греческого алфавита), древние греки могли записывать все числа, необходимые им в повседневной жизни.
Всем известно, как записывали числа древние римляне. Мы и сегодня, например гуляя с детьми по городу, показываем им написанные римскими цифрами на памятниках даты и расшифровываем их. Римские цифры тоже имеют своим источником буквы – естественно, латинского алфавита. Правда, язык древнеримских чисел более понятен и логичен, чем язык чисел греческих. I – это не просто буква, это одна черта, обозначающая единицу. Согласно такой символике следующие числа – 2, 3 и 4 – обозначались таким образом: II, III и IIII. V – это тоже не просто буква, которая, между прочим, в Древнем Риме обозначала, кроме того, и звук U, а символ, обозначающий кисть руки с пятью пальцами. Из двух таких «кистей», одной перевернутой и второй – направленной вверх, то есть из двух букв V, составили символ числа 10 – X.
В Средние века на наших европейских просторах все числа всегда записывали римскими цифрами. Если один горожанин занимал у другого некую сумму денег, то заимодавец вырезал на дощечке число одолженных гульденов. Такую дощечку называли биркой. Бывало, что заимодавец обманывал должника, меняя запись на бирке. Например, должник клялся, что занимал всего пять гульденов, а заимодавец показывал судье бирку, на которой красовался X. На деле он просто продолжал линии цифры V вниз, в результате получалось новое, большее, число. В некоторых местностях Германии до сих пор бытует поговорка – «выдать U за X».
Римское обозначение сотни – C, это первая буква латинского слова centum, обозначающего «сто». Если же отделить верхнюю часть буквы С и оставить только ее нижнюю часть, то есть нижнюю половину, то получится знак, напоминающий латинскую букву L, которой стали обозначать половину ста – пятьдесят. Римская цифра M обозначает тысячу, ибо M – это первая буква латинского слова mille – «тысяча». Однако в ранний период римской истории римляне обозначали звук «м» греческой буквой Ф (фи). Для записи этой буквы римляне ставили букву C, непосредственно за ней I, а затем зеркальное отражение C, то есть Ͻ. Если объединить все эти символы, то получится СIϽ, то есть стилизованное М. Если разрубить этот символ пополам вертикальной чертой, то получится символ IϽ, напоминающий букву D. Поэтому число пятьсот римляне обозначали буквой D.
Впрочем, эти римские цифры общеизвестны. Но как римляне считали числа, большие 4999, которое записывалось весьма замысловато, а именно: MMMMDCCCCLXXXXVIIII? (Более короткая, упрощенная запись этого числа, в которой вместо IIII записывали IV, вместо VIIII–IX, вместо XXXX–XL, вместо LXXXX–XC, вместо CCCC–CD, вместо DCCCC–CM, а все число 4999 выглядело как MMMMCMXCIX – тоже достаточно громоздко, – прижилась позднее.) Каким образом мог римский министр финансов записывать суммы в десятки и сотни тысяч сестерциев?
Одно из решений заключалось в многократном написании цифры C в том виде, в каком она применялась для обозначения 500 и 1000: число 500 обозначали символом IϽ, а символами IϽϽ и IϽϽϽ – пять тысяч и пятьдесят тысяч соответственно. Если число 1000 обозначается символом CIϽ, то 10 000 и 100 000 – символами CCIϽϽ и CCCIϽϽϽ соответственно.
Несмотря на все эти хитрости, писать большие числа римскими цифрами было сложно и утомительно. Еще труднее было производить вычисления и оперировать такими числами. Худо-бедно можно было справиться со сложением и вычитанием, так как римляне располагали счетным устройством – абаком (счетной доской), – которое неплохо подходило для действий с числами, представленными римскими цифрами. Умножение же чисел, записанных римскими цифрами, – задача отнюдь не из легких. Как, например, узнать, каков результат умножения LVII, то есть 57, на LXXV, то есть на 75?{2} Деление же было в таких ситуациях настоящим искусством. Методам деления чисел, записанных римскими цифрами, обучали в лучших университетах средневековой Европы.
Даже представители высших сословий, которые в Средние века учились читать и писать, в большинстве своем умели только складывать и вычитать. Умножение и деление было им недоступно. В те времена, однако, существовала гильдия избранных ученых, так называемых «коссистов», занимавших в городах штатные должности вычислителей. За определенную плату они делали расчеты для городских властей, ремесленников и купцов. Чаще всего речь шла об умножении и делении. «Che cosa? – спрашивала в те времена, допустим, Филиппина Вельзер своего вычислителя. – Каков результат?» Она называла вычислителей коссистами (от слова cosa) и щедро вознаграждала их за «косу», то есть за «результат».
Просвещение началось с математики
Около 1550 г. один из самых талантливых вычислителей, живших к северу от Альп, уроженец Штаффельштайна близ Бамберга по имени Адам Ризе, изрядно попортил доходный бизнес своих коллег по цеху. Дело в том, что Ризе опубликовал книгу – написанную по-немецки, чтобы ее могли прочитать все горожанки и горожане, – в которой он описал способы вычислений, включая умножение и деление.
В первой главе, озаглавленной Numerirn («Числа»), Адам Ризе объясняет, что для расчетов следует использовать не громоздкую запись чисел римскими цифрами, а более простую и удобную запись. Ризе с великим тщанием объясняет читателям суть арабских цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, обозначающих первые девять натуральных чисел. Далее Ризе поясняет, что для записи больших чисел необходима еще и десятая цифра – ноль, и посвящает своих читательниц и читателей в тайну десятичной системы счисления: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции цифры. Например, в числе 4205 пять стоит в позиции единиц, ноль – в позиции десятков, 2 – в позиции сотен, а 4 – в позиции тысяч. На этом же примере Ризе объясняет, как велика в записи роль нуля, ибо 4205 – это совсем иное число, нежели 425, или 4250, или, допустим, 42050.
В следующих главах, озаглавленных Addiren («Сложение»), Subtrahirn («Вычитание»), Multiplicirn («Умножение») и Dividirn («Деление»), автор объясняет, как выполнять арифметические действия с числами, записанными арабскими цифрами. Методы, предложенные Адамом Ризе, в точности совпадают с теми, которым и сегодня учат в школах наших детей. Мало того, Ризе не просто дает своим читателям общее представление о методах счета, он учит выполнять арифметические действия на великом множестве примеров, чтобы люди смогли в совершенстве овладеть этими методами.
Заключительная глава называлась Regula Detri («Тройное (золотое) правило»). В последней главе Ризе объясняет «это тройное правило» (Dreisatz), или, как его называют в Австрии и Южной Германии, «правило окончательного расчета» (Schlussrechnung). Это правило является фундаментом всех важных в хозяйстве и торговле вычислений и расчетов.
Задача всегда формулируется тремя предложениями – двумя утверждениями и одним вопросом: «Пятеро каменщиков возводят за пять дней стену длиной пять метров. Теперь десять каменщиков работают десять дней. Какова длина возведенной ими стены?» «6 локтей ткани стоят 42 крейцера. За ткань был уплачен 91 крейцер. Сколько ткани было куплено?» Таких примеров в книге приведено великое множество, и в каждом случае Ризе терпеливо объясняет ход правильного решения.
Книга Адама Ризе пользовалась оглушительным успехом. Только при его жизни она выдержала больше ста изданий. После выхода в свет книги Адама Ризе коссисты потеряли свое значение, ибо никто больше не нуждался в их услугах – все стали считать самостоятельно.
С точки зрения истории развития человеческого духа и познания достижение Ризе невозможно переоценить. Впервые люди перестали зависеть от алчных ученых, втайне выполнявших важные, но недоступные простым людям расчеты. Теперь никаких тайн больше не существовало. Никто теперь не нуждался в мастерах счета – все умели считать сами, так же как читать и писать. Адам Ризе освободил представительниц и представителей третьего сословия от зависимости. После тьмы Средневековья забрезжила эпоха Просвещения.
Когда время от времени слышишь провокационный вопрос о том, зачем надо преподавать в школе математику, ответ – в духе рассказанной истории – напрашивается сам собой: затем, что математика стала первым и самым успешным достижением просвещения.
Однако Адам Ризе был не первым, кто попытался внедрить в Европе арабскую нумерацию. Задолго до него, в начале XIII в., итальянский математик Фибоначчи написал «Книгу абака» (Liber Abaci), в которой первым (если не считать арабских математиков) объяснил суть и значение арабских цифр и позиционной системы счисления. Правда, коммерческого успеха книга Фибоначчи не имела. Ее практически никто не стал читать. Возможно, все дело было в малом тираже, так как книгопечатание к тому моменту еще не было изобретено. Кроме того, книга была написана на латинском языке, который к тому времени был уже основательно забыт жителями Италии.
За несколько столетий до Фибоначчи французский священник Герберт Орильякский, обучаясь в университетах Севильи и Кордовы, столкнулся с арабскими цифрами. В 999 г. Герберт Орильякский был избран папой под именем Сильвестр II. Правда, его святейшество, изучив новую нумерацию, так и не понял ее значимости: вероятно, это было связано со своеобразием цифры 0.
В самом деле, ноль – весьма загадочное число. Но в представлении чисел важно одно его свойство – с помощью нуля можно без труда записывать сколь угодно большие числа: 1 000 000 – это один миллион, 1 000 000 000 – один миллиард, 1 000 000 000 000 – один триллион, и так далее. Записывать большие числа с помощью ряда нулей довольно хлопотно и утомительно, и поэтому такие числа записывают с помощью степеней. Например, 106 – это миллион, 109 – миллиард и так далее.
Не стоит также упускать из вида, что в англоязычных странах большие числа называют совсем по-другому. Хотя 106 там, как и в Германии, называют миллионом, но 109 – это уже биллион, а 1012 – триллион. То, что «биллион» надо переводить как «миллиард», а «триллион» как «биллион»[5], может даже для высокообразованных людей стать иногда источником прискорбных ошибок и недоразумений. Для людей, профессионально оперирующих астрономическими числами, однако, эти наименования – будь то немецкие миллионы, миллиарды, биллионы, биллиарды и триллионы или английские миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы и квинтиллионы – не играют большой роли. Специалисты говорят, например, «десять в одиннадцатой степени», когда имеют дело с числом 1011, то есть с сотней миллиардов, числом, которое можно записать единицей с одиннадцатью нулями. При таком подходе недоразумения не возникают никогда.
Разумеется, представить себе сумму в сто миллиардов евро так, как мы представляем себе десять или сто евро, абсолютно невозможно. Конечно, мы с полным основанием называем состоятельным человека, который обладает несколькими миллионами евро. Состоятельным является и миллиардер, хотя его можно назвать и невероятно богатым. Однако для него деньги – это нечто иное, нежели для миллионера. Чем больше денег, тем более абстрактными они становятся. Ни один человек, обладающий миллиардом евро, не строит, как Скрудж Макдак, хранилище для золотых монет. Очевидно, что гигантские суммы денег – это совершенно иная валюта, нежели суммы обозримые. Так было уже пятьсот лет назад, во времена Фуггеров, которые предоставляли императору огромные суммы для осуществления его замыслов. Как банкиры Фуггеры осознавали свою ответственность за благополучие всего государства – в отличие от богатых прожигателей жизни и игроков, которые существовали и тогда. В сравнении с Фуггерами их состояния были микроскопически малы и к тому же непрерывно таяли.
Магараджа и большое число
Знаменательно, что самая известная история, в которой главную роль играет громадное число, родилась в Индии, в стране, где были изобретены ноль и позиционная система счисления. Это история о рисовых зернах и шахматной доске. У этой истории множество вариантов. В сказочном изложении она выглядит так.
Давным-давно, в незапамятные времена, один молодой магараджа правил огромной процветающей страной. Однажды магараджа влюбился в прекрасную принцессу. Они поженились. Перед счастливой парой открывалось безбрежное и чудесное будущее. Магараджа мудро управлял своей страной; крестьяне собирали богатейшие урожаи риса, а все подданные магараджи жили в достатке и довольстве. Но судьба оказалась жестокой к магарадже и его магарани. Она тяжело заболела, ни один врач не смог помочь ей, и через несколько дней она умерла. В стране воцарился глубокий траур, но больше других горевал овдовевший магараджа. Скорбь его была безмерна, и ничто не могло ее облегчить. В своем горе магараджа забыл обо всем, забыл о своей стране, забыл о своем долге заботиться о благе подданных. Страна стала приходить в упадок, урожаи риса становились все скуднее и скуднее, подданные зарабатывали все меньше денег и впадали в бедность. Обнищание населения приняло катастрофические масштабы. Придворные чувствовали себя абсолютно беспомощными, не зная, что сделать для того, чтобы остановить беду. Так продолжалось до тех пор, пока кто-то из придворных не вспомнил об одном старом мудреце, жившем в тесной келье где-то в горах. Было известно, что этот старик-мудрец почитался лучшим в мире советчиком. Откладывать было нельзя, и придворные решили во что бы то ни стало призвать мудреца во дворец с тем, чтобы он освободил владыку от печали и отвлек его от скорби по умершей супруге.
Мудрец вошел в покои магараджи, неся с собой квадратную доску, на которую были нанесены чередующиеся белые и черные квадраты. Этих квадратов было 64, по восемь квадратов в восьми рядах. Мудрец сел за стол напротив магараджи, который смотрел на него сквозь пелену слез, поставил между собой и магараджей доску и принялся расставлять на ней диковинные деревянные фигурки. В предпоследнем ряду на своем крае доски он расставил в ряд восемь крестьян (пешки), а затем, в ближнем к себе внешнем ряду, поставил по краям две башни (ладьи), рядом с ними, с обеих сторон, двух прыгунов (коней), рядом с которыми – тоже с обеих сторон – поставил двух бегунов (слонов). Остался промежуток в два квадрата. На эти квадраты мудрец поставил царя (короля), олицетворявшего магараджу, и царицу (ферзя), олицетворявшую магарани. Фигуры, которые мудрец расставил на своей стороне доски, были черными. Покончив с расстановкой, он принялся расставлять такие же, но белые фигуры на стороне магараджи. Делая это, мудрец вполголоса, словно сам себе, объяснял свои действия. Магараджа выглядел совершенно безучастным, но мудрец отлично понимал, что властитель не пропустил ни одного его слова. Расставляя фигуры, мудрец объяснял, как они ходят. Башни, например, только в горизонтальном и вертикальном направлениях, бегуны – только по диагонали, царь может ходить в любом направлении, но только на одну клетку, но вот царица… – в этот момент магараджа немного оживился и прислушался – царица могущественная фигура, она может ходить и по горизонтали, и по вертикали, и по диагонали, причем на любое расстояние. Попутно мудрец объяснил, как ходят крестьяне и прыгуны, как фигуры сбивают друг друга, а также рассказал, что такое «шах» и «мат».
– Может быть, нам стоит сыграть пробную партию? – негромко спросил мудрец, и магараджа, видя старания мудреца, не смог отказать ему в этой пустяковой просьбе. Он кивнул и сделал первый ход. После исчерпывающих объяснений мудреца магарадже даже удалось выиграть первую свою партию.
– Теперь я требую реванша, – сказал мудрец, снова расставив на доске фигуры.
Вторую партию магараджа проиграл.
– На этот раз реванша требую я, – объявил магараджа, и мудрец принял вызов, но попросил перенести партию на следующий день, так как магарадже надо было заняться неотложными государственными делами.
Мудрецу и в самом деле удалось отвлечь магараджу от его скорби. Правление его снова стало мудрым и успешным. Жизнь людей стала с каждым днем улучшаться, житницы снова стали наполняться рисом. Каждое утро магараджа и мудрец играли по две партии, и через некоторое время магараджа стал весьма искусным шахматистом. После игры магараджа уходил заниматься делами управления, а мудрец занимался медитацией.
Так продолжалось много недель и месяцев – до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.
– Но я не могу отпустить тебя без награды, – возразил магараджа, – подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.
– Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? – уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. – На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.
– Ты требуешь такой малости? – возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него – целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Сто двадцать восемь ложек – это горшок риса. Теперь рис в зал стали носить уже несколько слуг. Для шести клеток третьего ряда вышло
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.
Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.
Мудрец знал это – во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры ноль. На первой клетке находилось одно зернышко, а затем с каждой клеткой число зерен удваивалось. Число зерен на следующих десяти клетках распределилось так:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,
каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 × 1000 = 1 000 000 = 106 зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 × 106 = 109 зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 × 109 = 1012 зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 × 1012 = 1015 зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 × 1015 = 1018 зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.
Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность{3} скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!
Чем же закончилась эта история о мудреце и магарадже? Этого мы не знаем. Возможно, что потрясенный магараджа, поняв, что не сумеет все же набрать и больше 16 квинтиллионов зерен риса, сказал мудрецу:
– Ты не сможешь спрятать столько зерна в своем убежище в горах и даже перевезти его туда, даже если я дам тебе всех своих слуг!
– Ты прав, это немыслимо, – ответствовал мудрец. – Из этого риса получилась бы огромная пирамида, наподобие пирамид в Гизе, в далеком Египте. Но моя пирамида получилась бы несравненно выше – не 140 метров, как пирамида Хеопса, а почти пять километров. Пирамида из риса могла бы вместить 40 тысяч пирамид Хеопса.
После этого в зале повисло долгое молчание, а потом мудрец обратился к властителю:
– Для меня, о великий магараджа, большой наградой стала возможность не только научить тебя игре в шахматы, но и показать, какая мощь кроется за большими числами, и я вполне удовольствуюсь такой наградой.
С этими словами мудрец поклонился и покинул зал, дворец и страну магараджи.