Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов. 9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние) (Р. Н. Сиренко, 2009)

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

Рис. 3.1

Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол α с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F₀, площадь сечения mn обозначим F_α. Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями S_α. Для равновесия нижней части напряжения S_α должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения S_α равномерно распределены по площади сечения, найдем: S_α·F_α = P, отсюда . Но, так как – нормальное напряжение по площадке mk, следовательно, S_α=σ₀ cosα. Для того чтобы при любом угле наклона α иметь дело с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжение S_α на две составляющие: в плоскости mn и перпендикулярно к ней (Рис. 3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, напряжение S_α заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением σ_α и касательным напряжением τ_α. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла α между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.

Из Рис. 3.2 имеем:

σ_α = S_α·cosα = σ₀ cos²α;

τ_α=S_α · sinα = σ₀ sinα · cosα = ½σ₀ sin2α.

Принимаем правило знаков: растягивающие напряжения σ_α, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус. Касательное напряжение считается положительным, если оно дает момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого сечения, отрицательным, если оно дает момент против часовой стрелки. Наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации и деформации сдвига. Для проверки прочности необходимо установить наибольшие значения σ_α и τ_α в зависимости от положения площадки mn. Из Рис. 3.2 понятно, что σ_α достигает своего наибольшего значения, когда cos²α будет равен единице и угол α = 0. Максимум τ_α получится при sin 2α = 1, т. е. при 2α = 90° и α = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны: