Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов. 14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука) (Р. Н. Сиренко, 2009)

14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.

σ = Ee

Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε₁, ε₂, ε₃. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.

Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε₁ напряжения σ₁ в том же направлении, что и σ₁ из закона Гука равна:

Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ₁

Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.

В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:

Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.

Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.