Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов. 13. Объемно-напряженное состояние материала (Р. Н. Сиренко, 2009)

13. Объемно-напряженное состояние материала

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ₁ и σ₂.

σ_α = σ₁cos²α + σ₂cos²(α + 90°)

τ_α = 0,5σ₁sin2α + 0,5σ₂sin2(α + 90°)

Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

σ_α = σ₁cos²α + σ₂sin²α

τ_α = 0,5(σ₁ + σ₂)sin2α

Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.

Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ₂, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:

τ_max = 0,5(σ₁ – σ₃)