12. Графическое определение напряжений (круг Мора)
По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
σ = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Преобразуем первое выражение:
σ = ½σx(1 + cos2α) + ½σy(1 – cos2α) + τxsin2α
После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:
Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами и радиусом, определяемым формулой . График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.
Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.