Рынок облигаций. Анализ и стратегии. Глава 4. ВОЛАТИЛЬНОСТЬ ЦЕН НА ОБЛИГАЦИИ (Ф. Д. Фабоцци, 2007)

В табл. 4.2 приведены значения процентного изменения цен на шесть гипотетических облигаций из табл. 4.1, связанного с изменениями требуемых доходностей (мы исходили из предположения о том, что начальная доходность всех облигаций составляла 9 %). Анализ данных табл. 4.2 позволяет сделать несколько выводов о свойствах волатильности цен на облигации без встроенных опционов.

Свойство 1: Цены всех облигаций без встроенных опционов движутся в направлении, противоположном направлению движения требуемой доходности, однако процентные изменения цен для разных облигаций разнятся.

Таблица 4.2. Мгновенные процентные изменения цен шести гипотетических облигаций

Шесть гипотетических облигаций, цена которых изначально соответствует доходности 9 %:

Купон 9 %, длительность 5 лет, цена = $100,0000 Купон 9 %, длительность 25 лет, цена = $100,0000 Купон 6 %, длительность 5 лет, цена = $88,1309 Купон 6 %, длительность 25 лет, цена = $70,3570 Купон 0 %, длительность 5 лет, цена = $64,3928 Купон 0 %, длительность 25 лет, цена = $11,0710

Свойство 2: При небольшом падении требуемой доходности цена (в процентном отношении) меняется так же, как и при небольшом росте требуемой доходности.

Свойство 3: Если требуемая доходность претерпевает заметные изменения, при ее росте цена (в процентном отношении) меняется не так, как при падении аналогичного размера.

Свойство 4: При сильном изменении требуемой доходности на данное количество базисных пунктов процентный рост цены больше, чем ее процентное падение.

Суть свойства 4 на практике сводится к следующему: если инвестор владеет облигацией (т. е. имеет длинную позицию по облигации), а требуемая доходность падает, то прибыль от облигации будет больше, чем убыток, который инвестор потерпит в случае роста требуемой доходности на то же число базисных пунктов. И наоборот: если инвестор открыл по облигации короткую позицию, потенциальный убыток при изменении требуемой доходности на данное число базисных пунктов окажется выше потенциальной прибыли.

Все четыре свойства волатильности цены могут быть объяснены, исходя из выпуклости зависимости цена – доходность. Более подробно данная тема будет рассмотрена в этой главе ниже.

Параметры облигации, определяющие волатильность ее цены

Волатильность цены облигации без встроенного опциона определяют два параметра: купон и длительность.

Параметр 1. При данной длительности и начальной доходности волатильность цены облигации тем выше, чем ниже купонная ставка. Доказательством этого положения может служить сравнение поведения цен облигаций с купоном 9 %, 6 % и 0 %, имеющих одинаковую длительность.

Параметр 2. При данной купонной ставке и начальной доходности, чем дольше срок до погашения, тем выше волатильность цены. Сравните приведенные в табл. 4.2 данные о ценах на пятилетнюю и 25-летнюю облигации с одинаковым купоном.

На практике второе положение может быть расшифровано следующим образом: инвестор, ожидающий падения процентных ставок и желающий нарастить волатильность стоимости портфеля, должен собрать в портфель облигации с более долгим сроком до погашения. В ситуации ожидаемого роста процентных ставок уменьшить волатильность цены портфеля можно, собрав в портфеле облигации с более короткими сроками до погашения.

Влияние на волатильность доходности к погашению

Не следует забывать, что соображения кредитного качества заставляют облигации, имеющие одинаковые купоны и длительности, торговаться с разными доходностями. Каким образом, при прочих равных, влияет на волатильность цены доходность к погашению? Анализ показывает: чем выше доходность к погашению, тем ниже волатильность цены.

В табл. 4.3 приведены данные о 25-летней облигации с 9 %-ным купоном, торгующейся с разными уровнями доходности. В первой колонке показан уровень доходности облигации, во второй – стартовая цена. Третья колонка показывает цену при изменении доходности на 100 базисных пунктов. Четвертая и пятая колонки демонстрируют долларовое и процентное изменение цены. Заметим, что чем выше начальный уровень доходности, тем ниже волатильность цены. Таким образом, при данном изменении доходностей волатильность цен выше на рынке, где уровни доходности низки, и наоборот: при высоких уровнях доходности волатильность невелика.

Управляющие портфелями, арбитражеры и трейдеры, которые хотят успешно применять разнообразные стратегии хеджирования и торговли, должны уметь измерять волатильность цены на облигацию. Существует три наиболее распространенных меры волатильности: 1) ценовая стоимость базисного пункта, 2) величина изменения доходности, соответствующая изменению цены, и 3) дюрация.

Ценовая стоимость базисного пункта

Ценовая стоимость базисного пункта, известная также как долларовая стоимость 01 (dollar value of 01), – это изменение цены облигации при изменении требуемой доходности на один базисный пункт. Обратите внимание на то, что данная мера волатильности описывает долларовую волатильность цены, в отличие от волатильности процентной (изменение цены как процент от стартовой цены). Как правило, ценовая стоимость базисного пункта выражается в виде абсолютной величины изменения цены. Напомним, что, согласно свойству 2 взаимосвязи цена – доходность, волатильность при росте требуемой доходности на 1 базисный пункт равна волатильности при аналогичном падении требуемой доходности.

Вычисление ценовой стоимости базисного пункта мы продемонстрируем на примере шести облигаций, описанных нами в табл. 4.1. Для каждой облигации приведены значения стартовой цены, цены после увеличения требуемой доходности на 1 базисный пункт (с 9 % до 9,01 %) и ценовая стоимость базисного пункта (разность между двумя ценами).

Данная мера волатильности цены отражает изменение цены в долларах. Деление ценовой стоимости базисного пункта на стартовую цену даст значение процентного изменения цены при изменении доходности на 1 базисный пункт.

Величина изменения доходности, соответствующая изменению цены

Другая мера волатильности цены облигации, используемая инвесторами, – это величина изменения доходности, соответствующая определенному изменению цены. Для ее вычисления прежде всего подсчитывают доходность к погашению облигации при падении цены облигации на Х долларов. Затем находится разность между начальной доходностью и новой доходностью, т. е. изменение доходности, соответствующее изменению цены на Х долларов. Чем меньше данная величина, тем выше долларовая волатильность цены, поскольку для изменения цены на Х долларов достаточно будет меньшего изменения доходности.

До недавнего времени казначейские ноты и облигации котировались на основе ¹/₃₂ процентного пункта. Таким образом, инвесторы рынка казначейских ценных бумаг вычисляли изменение доходности, соответствующее изменению цены на ¹/₃₂. Наши две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на ¹/₃₂ демонстрируют следующее изменение доходности:

Корпоративные и муниципальные облигации, речь о которых пойдет в главах 6 и 7, торгуются с минимальным изменением цены, равным ¹/₈ процентного пункта. Таким образом, инвесторы этих рынков вычисляют изменение доходности, соответствующее изменению доходности на ¹/₈. Две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на ¹/₈ демонстрируют следующие доходности:

Дюрация

В главе 2 мы писали о том, почему цена облигации, не имеющей встроенных опционов, может быть выражена в виде формулы[18]:

(4.1)

где:

P – цена облигации;

C – полугодовая купонная выплата (в долларах);

y – половина доходности к погашению или требуемой доходности;

n – число полугодовых периодов (число лет × 2);

M – номинальная стоимость (в долларах).

Для выяснения примерного изменения цены при небольшом изменении доходности следует вычислить первую производную выражения (4.1) по требуемой доходности:

(4.2)

Преобразовав формулу (4.2), получаем:

(4.3)

Выражение в скобках – это средневзвешенный срок до погашения денежных потоков облигации (взвешивание производится по приведенной стоимости денежного потока).

Формула (4.3) обозначает приблизительное долларовое изменение цены при небольшом изменении требуемой доходности. Деление обеих частей выражения (4.3) на Р позволяет найти значение примерного процентного изменения:

(4.4)

Выражение в скобках, деленное на цену (в нашем случае умноженное на 1/Р), принято называть дюрацией Маколея[19], таким образом:

Подставив величину дюрации Маколея в формулу (4.4) для вычисления примерных процентных изменений цены, получим:

(4.6)

Отношение дюрации Маколея к 1 + у получило название модифицированной дюрации. Таким образом:

(4.7)

Подставив выражение (4.7) в формулу (4.6), получим:

(4.8)

Из формулы (4.8) видно, что модифицированная дюрация связана с примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Поскольку для всех облигаций без встроенных опционов модифицированная дюрация является положительным числом, выражение (4.8) устанавливает обратную зависимость между модифицированной дюрацией и примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Это закономерный результат: как известно, фундаментальный принцип движения цен на облигации гласит, что они изменяются в направлении, противоположном направлению движения процентных ставок.

В табл. 4.4 и 4.5 приводятся данные о дюрациях Маколея и модифицированных дюрациях двух пятилетних купонных облигаций. Дюрации выражены в количестве периодов (а не лет). Таким образом, мы имеем дело с полугодовой дюрацией: денежные потоки данных облигаций поступают раз в полгода. Для получения значений годовой дюрации, приведенные значения следует поделить на 2 (см. примечания к табл. 4.4 и 4.5). Заметим, что при поступлении денежного потока m раз в году дюрация, выраженная в годах, уточняется путем деления на m, т. е.:

Дюрация Маколея в годах и модифицированная дюрация для шести гипотетических облигаций равны:

Вместо того чтобы использовать выражение (4.5) для вычисления дюрации Маколея и формулу (4.7) для получения модифицированной дюрации, мы предлагаем разработать альтернативное выражение, не требующее кропотливых вычислений, предполагаемых формулой (4.5). Цену облигации мы выразим в терминах следующих двух компонентов: 1) приведенная стоимость аннуитета, где аннуитет – это сумма купонных выплат; и 2) приведенная стоимость номинала. Таким образом, цена облигации номинальной стоимостью $100 будет равна[20]:

(4.9)

Взяв первую производную выражения (4.9) и поделив результат на Р, получим новую формулу вычисления модифицированной дюрации:

где цена выражена в виде процента номинальной стоимости. Дюрация Маколея может быть получена посредством умножения выражения (4.10) на (1 + у). В качестве иллюстрации рассмотрим 25-летнюю 6 %-ную облигацию, торгующуюся по 70,357 при доходности 9 %. В этом случае:

С = 3 (= 0,06 × 100 × 1/2);
y = 0,045 (= 0,09 × 1/2);
n = 50;
p = 70,357.

Подставим имеющиеся значения в формулу (4.10) и получим:

Переведем значение в годы: поделим результат на 2 и получим 10,62 – модифицированную дюрацию. Умножим на 1,045 и получим 11,10 – дюрацию Маколея.

Свойства дюрации. Как видно из анализа значений дюраций шести гипотетических облигаций, модифицированная дюрация и дюрация Маколея купонных облигаций меньше, чем их срок до погашения. Из формулы явствует также, что дюрация Маколея облигации с нулевым купоном равна ее сроку до погашения; модифицированная дюрация облигации с нулевым купоном, однако, меньше ее длительности. Кроме того, чем меньше купон, тем, как правило, больше дюрация Маколея и модифицированная дюрация облигации[21].

Существуют определенные соответствия между свойствами волатильности, о которых мы писали выше, и свойствами модифицированной дюрации. Мы уже показали, что при прочих равных чем больше длительность, тем выше волатильность цены. Говоря о модифицированной дюрации, следует отметить, что при прочих равных чем больше длительность, тем больше модифицированная дюрация. Мы также обращали внимание читателя на то, что при прочих равных более низкие купонные ставки определяют более высокую волатильность цены. То же свойство характерно и для модифицированной дюрации: она, как правило, выше при более низких купонных ставках. Таким образом, чем больше значение модифицированной дюрации, тем выше волатильность цены.

И наконец, еще один отмеченный нами ранее фактор, влияющий на волатильность цены облигации, – доходность к погашению. При прочих равных, чем выше уровень доходности, тем ниже волатильность цены. Так же обстоит дело и с модифицированной дюрацией. Пример тому – собранные в таблице данные о модифицированной дюрации 25-летней облигации с 9 %-ным купоном при различных уровнях доходности:

Аппроксимация процентного изменения цены. Умножив обе части выражения (4.8) на величину изменения требуемой доходности (dy), мы получим следующее отношение:

Формула (4.11) может использоваться для аппроксимации процентных изменений цены при данных изменениях требуемой доходности.

В качестве примера рассмотрим 25-летнюю облигацию с купоном 6 %, торгующуюся по цене 70,3570 при доходности 9 %. Модифицированная дюрация облигации равна 10,62. Если доходность мгновенно возрастет с 9 % до 9,10 %, т. е. на +0,0010 (10 базисных пунктов), то аппроксимированное процентное изменение цены, согласно формуле (4.11), составит:

– 10,62 × 0,0010 = –0,0106, или –1,06 %.

Из табл. 4.2 мы видим, что реальное процентное изменение цены составляет –1,05 %. Если же доходность вдруг упадет с 9 % до 8,90 % (падение на 10 базисных пунктов), то аппроксимированное процентное изменение цены, согласно формуле (4.11), окажется равным +1,06 %. Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное процентное изменение цены равно +1,07 %. Мы видим, таким образом, что при малых изменениях требуемой доходности модифицированная дюрация дает хорошую аппроксимацию процентных изменений цены.

Допустим теперь, что изменения требуемой доходности велики: она возросла на 200 базисных пунктов и с 9 % увеличилась до 11 % (изменение доходности на +0,02). Аппроксимированное процентное изменение цены по формуле (4.11) равно:

– 10,62 × 0,02 = –0,2124, или –21,24 %.

Насколько точна данная аппроксимация? Из табл. 4.2 видим: реальное процентное изменение цены составляет всего –18,03 %. Более того, если требуемая доходность падает на 200 базисных пунктов – с 9 % до 7 %, аппроксимированное процентное изменение цены, основанное на значении дюрации, составит +21,24 %, в то время как реальное процентное изменение будет равно +25,46 %. Модифицированная дюрация представляет процентные изменения цены, во-первых, неточно и, во-вторых, симметрично. Напомним, что выше мы писали о несимметричности взаимосвязи цена – доходность облигации при существенных изменениях доходности.

Формула (4.11) дает возможность по-новому интерпретировать модифицированную дюрацию. Предположим, что доходность некой облигации изменилась на 100 базисных пунктов. Тогда, подставив 100 базисных пунктов (0,01) в формулу (4.11), получим:

Модифицированная дюрация, таким образом, может быть интерпретирована как аппроксимированное процентное изменение цены при изменении доходности на 100 базисных пунктов.

Аппроксимация долларовых изменений цены. Модифицированная дюрация является приближением процентных изменений цены. Инвесторам, однако, бывает нужно узнать волатильность цены облигации в долларах. Напомним, что долларовая волатильность цены может быть найдена по формуле (4.2). Кроме того, умножение обеих частей равенства (4.8) на P дает:

Выражение справа принято называть долларовой дюрацией:

долларовая дюрация = = —модифицированная дюрация ×
Р. (4.13)

Зная процентное изменение цены и стартовую цену, мы можем получить значение примерного изменения цены в долларах. Примерное изменение цены в долларах также может быть найдено посредством умножения обеих частей выражения (4.11) на Р:

dP = —модифицированная дюрация ×
Р(dy).

Используя формулу (4.13), заменяем модифицированную дюрацию на долларовую. Получаем:

dP = —долларовая дюрация × (
dy). (4.14)

При малых изменениях требуемой доходности формула (4.14) дает неплохую оценку изменений цены. Рассмотрим, например, 25-летнюю 6 %-ную облигацию, торгующуюся по 70,3570 при доходности 9 %. Долларовая дюрация составит 747,2009. При росте требуемой доходности на 1 базисный пункт (0,0001) изменение цены для $100 номинальной стоимости равно:

dP = —$747,2009 × 0,0001 = —$0,0747.

Из табл. 4.1 видно, что реальная цена равна 70,2824. Реальное ценовое изменение составит, соответственно, –0,0746 (70,2824 – 70,3570). Заметим, что долларовая дюрация при изменении цены на 1 базисный пункт равна ценовой стоимости базисного пункта.

Рассмотрим теперь ту же облигацию в ситуации существенного изменения требуемой доходности. Если требуемая доходность возрастает с 9 % до 11 % (т. е. на 200 базисных пунктов), то аппроксимированное долларовое изменение цены для $100 номинальной стоимости равно:

dP = —$747,2009 × 0,02 = —$14,94.

Из табл. 4.1 мы знаем, что реальная цена этой облигации при требуемой доходности 11 % равна 57,6712. Таким образом, реальное падение цены составляет 12,6858 (57,6712 – 70,3570). Приблизительное долларовое изменение цены оказывается больше реального изменения. Обратную картину наблюдаем в ситуации падения требуемой доходности. Полученный результат согласуется с утверждениями, высказанными нами ранее. При существенных изменениях требуемой доходности как долларовая, так и модифицированная дюрации не дают адекватной аппроксимации реакции цены. При росте требуемой доходности дюрация представляет результат бо́льшим, чем он есть в действительности, занижая тем самым новую цену. Если требуемая доходность падает, дюрация представляет ценовые изменения меньшими, чем они на самом деле являются, таким образом занижая новую цену.

Дюрация спреда

Показатель дюрации спреда, рассчитываемый участниками рынка, имеет разный смысл у облигаций с фиксированной ставкой и облигаций с плавающей ставкой.

В первом случае, как мы уже объясняли, дюрация является мерой изменения стоимости облигации при движении процентных ставок. Причем, когда говорят о движении ставок, имеют в виду ставку по казначейским бумагам. Доходность неказначейских облигаций устанавливается с некоторым спредом к доходности казначейских бумаг, который представляет своего рода компенсацию за кредитный риск. С ценой неказначейской облигации связан риск изменения спреда, так называемый риск кредитного спреда. В силу рыночных требований кредитный спред способен меняться даже в условиях неизменности казначейской доходности. Меру изменения цены неказначейской облигации с учетом изменения спреда под действием рыночных сил называют дюрацией спреда. Понятно, что у казначейской ценной бумаги дюрация спреда равна нулю.

Дюрация спреда используется по-разному даже в случае облигаций с фиксированной ставкой. Как будет показано далее, существуют различные показатели спреда[22]. Таким образом, при интерпретации этого показателя важно понимать, какой именно спред используется. Дюрация спреда облигации с фиксированной ставкой имеет следующий смысл: это примерное изменение цены при изменении спреда на 100 базисных пунктов.

Как говорилось в главе 2, чувствительность цены облигации с плавающей ставкой зависит от того, меняется ли требуемый рынком спред. Напомним, что спред отражается в котируемой марже в формуле пересчета купона. Котируемая маржа обычно фиксируется на весь срок существования облигации. Здесь дюрация спреда служит оценкой чувствительности ценовой чувствительности облигации с плавающей ставкой к изменению спреда. Дюрация спреда, равная 1,4, означает, что при изменении требуемого рынком спреда на 100 базисных пунктов цена облигации с плавающей ставкой меняется примерно на 1,4 %.

Дюрация портфеля

До сих пор мы анализировали дюрации конкретных облигаций. Дюрация портфеля – это взвешенное среднее дюраций отдельных облигаций, входящих в портфель. Дюрация каждой облигации взвешивается в этом случае по процентному содержанию облигации в портфеле. Рассмотрим, например, такой портфель из четырех облигаций, имеющий общую рыночную стоимость $100 млн.

Вес облигации в портфеле – это рыночная стоимость облигации, деленная на общую рыночную стоимость портфеля, т. е. на $100 млн. Дюрация портфеля, таким образом, равна:

0,1 × 4 + 0,4 × 7 + 0,3 × 6 + 0,2 × 2 = 5,4.

Дюрация портфеля равна 5,4 и интерпретируется следующим образом: если доходности всех облигаций в портфеле изменятся на 100 базисных пунктов, то стоимость портфеля изменится примерно на 5,4 %.

Портфельный менеджер рассматривает свои инвестиции в конкретную облигацию в терминах вклада в портфельную дюрацию. Эта величина вычисляется посредством умножения веса облигационного выпуска в портфеле на дюрацию конкретного выпуска, т. е.:

вклад в портфельную дюрацию = вес облигационного выпуска в портфеле × дюрация облигационного выпуска.

Так, для портфеля из четырех облигаций, дюрация которого была подсчитана выше, вклад в портфельную дюрацию каждой из облигаций выглядит следующим образом (см. последнюю колонку таблицы):

Кроме того, управляющие портфелем изучают дюрации секторов рынка облигаций. Вклад сектора в портфельную дюрацию вычисляется так же, как вклад в портфельную дюрацию отдельного облигационного выпуска. Так, если А – сектор правительственных облигаций, В – сектор облигаций правительственных агентств, а D – сектор ипотечного кредитования, то вклад в портфельную дюрацию каждого сектора – значение из последней колонки таблицы.

Инвестиции могут оцениваться также с позиций денежной суммы. В этом случае вместо дюрации вычисляется долларовая дюрация облигационного выпуска или сектора.

Три меры волатильности цены, описанные нами в предыдущих разделах, с успехом применяются при небольших изменениях доходности или цены. Выше мы писали о взаимосвязи этих величин. Таблица 4.6 суммирует данную информацию.

Все меры дюрации представляют собой аппроксимации для небольших изменений доходности и не отражают поэтому выпуклости кривой, описывающей зависимость цены от доходности в ситуации существенного изменения величины доходности. Для того чтобы выпуклость этой кривой была адекватно описана, нам следует уточнить соответствующим образом меру дюрации. В этом разделе мы покажем, как связаны между собой выпуклость кривой цена – доходность и описанные выше характеристики волатильности цены.

На графике (рис. 4.2) представлена касательная, проведенная к линии цена – доходность через точку у*. Касательная показывает скорость изменения цены в зависимости от изменения процентных ставок в данной точке (при данном уровне доходности). Наклон касательной непосредственно связан со значением ценовой стоимости базисного пункта. Таким образом, при данной стартовой цене касательная (описывающая скорость абсолютного изменения цены) тесно связана с дюрацией облигации (описывающей скорость процентных ценовых изменений). Чем круче наклон касательной, тем больше дюрация; чем меньше угол наклона – тем дюрация меньше. Очевидно, что при данной стартовой цене касательная и дюрация являются взаимозаменяемыми аналитическими инструментами, позволяющими с одинаковой точностью оценить скорость изменения цены.

Обратим внимание на поведение дюрации (крутизны наклона касательной) при изменении доходности: при росте (падении) доходности, дюрация падает (растет). Это свойство, как мы отмечали ранее, характерно для облигаций без встроенных опционов.

Проведем, как это показано на рис. 4.3, вертикальную линию из любой точки доходности (на горизонтальной оси): расстояние между горизонтальной осью и касательной – это цена, аппроксимированная путем использования дюрации при начальной доходности у*. Аппроксимированный результат будет меньше реальной цены – феномен, который мы уже наблюдали, говоря об отношениях между дюрацией (касательной) и аппроксимированным ценовым изменением. При падении доходности предполагаемое изменение цены меньше реального – реальная цена, таким образом, недооценивается. И наоборот: если доходность растет, предполагаемое значение изменения цены будет больше, чем значение реального изменения – реальная цена опять окажется недооценена.

При небольших изменениях доходности линия касательной и дюрация дают хорошую аппроксимацию реальной цены. В то же время, чем дальше от точки начальной доходности у*, тем хуже аппроксимация. Очевидно, что точность аппроксимации непосредственно связана с выпуклостью кривой, отражающей зависимость цена – доходность облигации.

Измерение выпуклости

Дюрация (модифицированная или долларовая) предполагает описание выпуклой функции с помощью прямой линии (касательной). Возможно ли найти математическую формулу, обеспечивающую лучшую аппроксимацию изменений цены на облигацию при изменении требуемой доходности?

Попробуем применить первые два члена ряда Тейлора и аппроксимировать ценовые изменения следующим образом[23]:

(4.15)

Делим обе части равенства (4.15) на Р и получаем процентное изменение цены:

(4.16)

Первый член правой части равенства (4.15) – это выражение (4.14), т. е. долларовое изменение цены, измеренное на основе долларовой дюрации. Таким образом, первый член в выражении (4.15) – искомая аппроксимация абсолютных ценовых изменений на основе дюрации. В выражении (4.16) первый член правой части равенства – аппроксимация процентных изменений цены на основе модифицированной дюрации.

Вторые члены выражений (4.15) и (4.16) включают вторую производную функции цены (уравнения (4.1)). Это та самая вторая производная, которую мы используем в качестве поправки для учета влияния выпуклости зависимости цена – доходность. Вторую производную цены принято называть долларовой мерой выпуклости облигации. Итак:

(4.17)

Произведение долларовой меры выпуклости и квадрата изменения требуемой доходности является предполагаемым ценовым изменением, обусловленным выпуклостью. Таким образом, аппроксимированное изменение цены, обусловленное выпуклостью, равно:

dP = долларовая мера выпуклости × (
dy)
². (4.18)

Вторая производная, поделенная на цену, – это мера процентного изменения цены облигации, обусловленного выпуклостью; ее называют просто мерой выпуклости. Итак:

(4.19)

А процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, равно:

(4.20)

Вторая производная цены как функции доходности, выраженной согласно формуле (4.1), равна:

(4.21)

В табл. 4.7 и 4.8 приведены значения второй производной [формула (4.21)], годовой долларовой меры выпуклости и годовой меры выпуклости для двух пятилетних купонных облигаций. Мера выпуклости выражена в квадратах периодов. Для перевода меры выпуклости в годы следует поделить выражения (4.17) и (4.19) на 4 (т. е. 22). Таким образом, если денежный поток поступает m раз в году, выпуклость выражается в годах следующим образом:

Годовая долларовая мера выпуклости и годовая мера выпуклости для наших шести гипотетических облигаций выглядят следующим образом:

Вторая производная может быть также получена путем взятия второй призводной от выражения (4.9). Таким образом, мы можем упростить выражение (4.21):

(4.22)

В качестве примера использования формулы (4.22) рассмотрим 25-летнюю облигацию с купоном 6 %, торгующуюся по 70,357 при доходности 9 %. Вторая производная равна:

Обратите внимание на то, что полученное значение совпадает с результатом, найденным ранее.

Вычисление аппроксимированного процентного изменения цены с помощью дюрации и меры выпуклости

Из формулы (4.16) видно, что значение процентного изменения цены облигации может быть найдено с учетом двух величин: дюрации и меры выпуклости. Рассмотрим в качестве примера 25-летнюю облигацию с купоном 6 %, торгующуюся при доходности 9 %. Модифицированная дюрация облигации составляет 10,62, а мера выпуклости равна 182,92. Если требуемая доходность возрастет на 200 базисных пунктов – с 9 % до 11 %, то аппроксимированное процентное изменение цены облигации может быть получено следующим образом:

процентное изменение цены, обусловленное дюрацией, по формуле (4.11) =

= -модифицированная дюрация ×
dy =

= –10,62 × 0,02 = –0,2124 = –21,24 %;

процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, по формуле (4.20) =

Предполагаемое процентное изменение цены, обусловленное дюрацией и выпуклостью, равно:

– 21,24 % + 3,66 % = –17,58 %.

Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное изменение составляет –18,03 %. Одновременное использование величин дюрации и меры выпуклости дает лучшую аппроксимацию реальных ценовых изменений при существенных изменениях требуемой доходности. Теперь представим себе, что требуемая доходность падает на 200 базисных пунктов. В этом случае аппроксимированное процентное изменение цены облигации может быть получено следующим образом:

процентное изменение цены, обусловленное дюрацией, по формуле (4.11) = = —модифицированная дюрация ×
dy = = –10,62 ×(–0,02) = 0,2124 = 21,24 %; процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, по формуле (4.20) =

Предполагаемое процентное изменение цены, обусловленное дюрацией и выпуклостью, равно:

21,24 % + 3,66 % = 24,90 %.

Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное изменение составляет 25,46 %. Очевидно, что и в этом случае одновременное использование дюрации и меры выпуклости дает хорошую аппроксимацию процентных изменений цены облигации при значительных изменениях требуемой доходности.

Выпуклость: несколько замечаний

Анализируя выпуклость облигации и меру выпуклости, инвестор должен иметь в виду три особенности этих величин. Во-первых, следует помнить о разнице между понятием «выпуклости», относящимся к форме кривой, которая описывает зависимость между ценой и доходностью, и понятием «меры выпуклости», которое квалифицирует реакцию цены на изменение процентных ставок.

Во-вторых, важно уметь правильно интерпретировать полученные значения. Напомним, что интерпретация дюрации проста: дюрация, равная 4, например, представляет собой аппроксимированное процентное изменение цены на облигацию при изменении процентных ставок на 100 базисных пунктов. Каким образом следует интерпретировать меру выпуклости? Интерпретация не столь очевидна, поскольку аппроксимированное процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, как это видно из формулы (4.20), связано с квадратом изменения процентных ставок. Формула показывает, что аппроксимированное процентное изменение цены, связанное с выпуклостью, – это произведение трех величин: 1) ¹/₂, 2) меры выпуклости и 3) квадрата изменения процентных ставок.

И наконец, третье замечание: в реальной практике разные продавцы аналитических систем и разные исследователи применяют разные способы подсчета значения меры выпуклости. Причину подобных расхождений можно понять, обратившись к формуле (4.16) и рассмотрев второй член правой части равенства. Для описания меры выпуклости в формуле (4.19) мы использовали часть этого уравнения для определения меры выпуклости. Точнее, мы определяли меру выпусклости как произведение второй производной и обратного значения цены. Предположим теперь, что мы захотели бы выразить меру выпуклости через второй член равенства (4.16), т. е.:

Полученная мера выпуклости равна половине меры выпуклости, получаемой по формуле (4.19). Существенно ли данное различие? Ни в коей мере. Важно, однако, соответствующим образом уточнить значение отношения аппроксимированного процентного изменения цены, обусловленного выпуклостью, к мере выпуклости. Формула (4.20) в этом случае должна выглядеть как:

Очевидно, что аппроксимированное процентное изменение цены, обусловленное выпуклостью, остается неизменным вне зависимости от того, используем мы формулу (4.20) или формулу, приведенную выше. Этот вывод возвращает нас ко второму замечанию: интерпретация меры выпуклости «самой по себе» невозможна, поскольку разные аналитические системы представляют ее в разном виде. Напомним еще раз, что необходимое условие получения верного значения меры выпуклости – установление ее связи с квадратом изменения доходности.

Стоимость выпуклости

До сих пор мы рассматривали выпуклость как подсобную величину, позволяющую улучшить аппроксимацию изменения цены облигации при данном изменении доходности. Между тем, как видно из графика на рис. 4.4, выпуклость может иметь и другое применение в инвестиционном процессе. На рисунке показаны облигации А и В. Обе они имеют одинаковые дюрации и доходность; выпуклости их, однако, различны. Облигация В более выпукла (изогнута), чем облигация А.

Что означает бо́льшая выпуклость облигации В? Как при росте, так и при падении рыночных процентных ставок, цена облигации В окажется более высокой. Таким образом, если требуемая доходность растет, убыток по облигации В будет меньше, чем по облигации А. Падение рыночных ставок приведет к более заметному росту цены обигации В по сравнению с облигацией А.

Как правило, рынок принимает в расчет бо́льшую выпуклость В по сравнению с А: данное свойство облигаций отражается на их ценообразовании. Итак, рынок приписывает выпуклости определенную стоимость. Именно поэтому, хотя ситуация, описанная графиком на рис. 4.4, в некоторые периоды времени действительно может иметь место, чаще всего рынок заставляет инвестора «оплачивать» (принимая более низкую доходность) более высокую выпуклость облигации В.

Возникает вопрос: какова цена выпуклости, которую инвестор обязан платить по требованию рынка? Еще раз обратимся к графику на рис. 4.4. Обратите внимание: если инвестор предполагает, что рыночные ставки изменятся мало (т. е. ожидается низкая волатильность процентных ставок), владеть облигацией В не выгоднее, чем облигацией А, поскольку при небольших изменениях доходности обе облигации дают примерно одну цену. В этом случае инвестору незачем оплачивать выпуклость. Заметим, что на рынке, где выпуклость оценивается высоко, т. е. где А предлагает более высокую доходность, чем В, инвесторы, чьи планы строятся исходя из предположений о будущей низкой волатильности процентных ставок, склонны «продавать выпуклость» – продавать облигации В – и приобретать облигации А. И наоборот: если инвесторы возлагают надежды на высокую волатильность процентных ставок, облигация В, скорее всего, будет продаваться при заметно более низкой доходности, нежели А.

Выпуклость: характерные особенности

Для выпуклости всех облигаций без встроенных опционов характерны следующие три основных свойства:

Свойство 1: Если требуемая доходность растет (падает), выпуклость облигации падает (растет). Это свойство носит название положительной выпуклости.

На практике данный феномен выражается следующим образом: если рыночные ставки растут, цена облигации начинает падать. Падение цены замедляется уменьшением дюрации, связанным с ростом требуемой доходности. И наоборот: стоит рыночным ставкам упасть, дюрация возрастет, ускоряя процентное изменение цены. На рынке облигаций без встроенных опционов можно наблюдать оба описанных типа изменений дюрации.

Данное свойство мы графически изобразили на рис. 4.5. Угол наклона касательной уменьшается с ростом процентных ставок. Меньший наклон соответствует меньшей дюрации, характерной для ситуации увеличения требуемой доходности. И наоборот: при уменьшении процентных ставок наклон касательной растет, а значит, увеличивается и дюрация. Данное свойство характерно для всех без исключения облигаций, не имеющих встроенных опционов. Приведенный график позволяет также увидеть, что выпуклость действительно является мерой оценки скорости изменения долларовой дюрации, связанной с изменением рыночных ставок.

Свойство 2: При данных доходности и длительности облигации, более низкий купон обусловливает более высокую выпуклость облигации.

Подтверждением этому выводу могут служить значения выпуклости, полученные нами для шести гипотетических облигаций. Из трех пятилетних облигаций наибольшей выпуклостью обладает бескупонная, наименьшей – облигация с купоном, равным 9 %. Тот же результат получаем, анализируя 25-летние облигации.

Свойство 3: При данных доходности и модифицированной дюрации, чем ниже купон, тем меньше выпуклость.

В инвестиционной практике свойство 3 интерпретируется следующим образом: при данной модифицированной дюрации наименьшая выпуклость характерна для облигаций с нулевым купоном.