1. Системы координат
Для описания ориентации автомобиля требуется ввести, по меньшей мере, две системы координат. Одна из систем координат – локальная. Она связана с автомобилем и нужна для того, чтобы определить как его ориентацию в пространстве или на плоскости относительно глобальной системы координат, так и для того, чтобы определить, например, движение частей автомобиля и действующие на него силы относительно его центра тяжести. Вторая система координат – глобальная. Эта система координат неподвижна относительно дороги. В совокупности обе системы координат полностью определяют положение автомобиля в пространстве в любой момент времени.
Правая прямоугольная система координат
Прямоугольная система координат – прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Эта наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также – Декартова система координат.
В технике, как правило, используется правая система координат. Правая система координат определяется по правилу правой руки, как показано на рис. 1.1.
В трехмерном пространстве углы между всеми осями прямоугольной системы координат всегда равны 900. Оси системы координат, как правило, обозначаются следующими друг за другом в алфавите латинскими буквами x, y и z. Правило правой руки заключается в том, что если большой палец обозначен как ось x, то ближайший к нему указательный палец – это ось y, а следующий средний палец – ось z. Если большой палец обозначен другой буквой, то далее следует круговая перестановка в алфавитном порядке x – y – z – x – y – …, как показано на рис. 1.1. При этом направления пальцев всегда соответствуют положительному направлению координатных осей.
Рис. 1.1. Правило правой руки для осей координат.
Ось координат x еще называется осью абсцисс, ось y – осью ординат, а ось z – осью аппликат.
Рис. 1.2. Положительное направление вращения вокруг оси.
Предположим, что мы начинаем поворачивать ось x вокруг точки начала координат. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость xy из какой-либо точки положительной полуоси z, то при повороте оси x на 900 против часовой стрелки ее положительное направление совпадет с положительным направлением оси y.
Это правило так же хорошо иллюстрируется с помощью правой руки. Если приложить ладонь к некоторой оси так, чтобы большой палец был направлен вдоль положительного направления оси, и согнуть остальные четыре пальца, то направление их движения покажет положительное направление вращения вокруг этой оси координат, как показано на рис. 1.2.
В дальнейшем использование только правых систем координат позволяет формализовать уравнения, содержащие координаты или их производные, и избежать путаницы со знаками.
Система координат автомобиля
В соответствии со стандартом ISO 8855:2011 «Транспорт дорожный. Динамика транспортных средств и курсовая устойчивость. Словарь», ось X – это продольная ось автомобиля, которая всегда направлена вперед. Ось Y – это поперечная ось автомобиля, которая всегда направлена влево от автомобиля.
Тогда, так как система координат правая, то вертикальная ось Z автомобиля направлена вверх. Начало системы координат располагается в центре тяжести автомобиля, чтобы упростить запись уравнений, описывающих его движение. Система координат автомобиля и положительные направления вращения вокруг осей показаны на рис. 1.3.
Преобразование координат в плоскости
Для определения координат автомобиля в плоскости достаточно трех параметров: координат центра тяжести автомобиля и угла его ориентации, которым может быть, например, угол между продольной осью автомобиля и осью X неподвижной системы координат.
Рис. 1.3. Система координат автомобиля.
Рассмотрим рис. 1.4, на котором показан автомобиль в некоторой неподвижной системе координат XY, связанной, например, с дорогой. В этой системе координат ось X в плоскости чертежа направлена вправо, ось Y – вверх, а ось Z – перпендикулярна плоскости чертежа и направлена к зрителю. Пусть в этой системе координат положение центра тяжести автомобиля определятся точкой O`, которая, в свою очередь, является точкой начала координат X`Y`, связанной с автомобилем. При этом a – угол между осями OX и O`X`.
Как видно из рис. 1.4, в трехмерном пространстве оси координат Z и Z` обоих систем координат, глобальной и локальной соответственно, параллельны друг другу. Отклонение оси Z` от указанного положения в результате удара в автомобиль в большинстве случаев невелико, и этим можно пренебречь.
Поэтому далее для анализа движения автомобиля в плоскости или положения и направления силы удара нам понадобится только двухмерная система координат. Тогда, кроме параметров XC? YC и a в глобальной системе координат XY, требуется уметь находить координаты любой произвольной точки автомобиля, известные в локальной системе координат X`Y`.
Пусть некоторая точка M задана координатами (p`,q`) в локальной системе координат X`Y`, связанной с автомобилем. Требуется найти ее координаты (p,q) в глобальной системе координат XY.
Координата p точки M по оси абсцисс есть сумма координаты XC центра тяжести автомобиля (начала локальной системы координат) и разности длин проекции отрезка O`p` на ось абсцисс X и отрезка Cp`.
Рис. 1.4. Автомобиль в неподвижной системе координат.
Длина проекции отрезка O`p` на ось абсцисс X есть p`cos (a). Длина отрезка Cp` есть q`sin (a).
Тогда координата точки по оси абсцисс есть
Тогда координата q точки M по оси ординат есть сумма длины проекции отрезка O`q` на ось ординат и длины отрезка q`D, или
Полученные уравнения важны как для решения задачи движения автомобиля в плоскости, так как позволяют в каждый момент времени определить положение контура автомобиля и его колес в неподвижной системе координат, так и для расчета положения точки приложения силы удара и ее направления.
Рис. 1.5. Система координат автомобиля SAE.
В иностранной литературе по реконструкции обстоятельств ДТП для системы координат автомобиля часто используется стандарт Сообщества автомобильных инженеров (англ. Society of Automotive Engineers, SAE) SAE J670, согласно которому поперечная ось автомобиля Y направлена вправо от автомобиля, а вертикальная ось автомобиля Z направлена вверх, как показано на рис. 1.5.
В этой книге использование системы координат автомобиля SAE оговаривается особо.
Литература
1. Стандарт ISO 8855:2011 «Транспорт дорожный. Динамика транспортных средств и курсовая устойчивость. Словарь».
2. Vehicle Dynamics Terminology, SAE J670 JAN2008.
3. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ: Астрель, 2006. 991с.: ил.