9. Свободные колебания в LC-контуре
Простой и широко используемой в радиотехнике линейной системой с постоянными параметрами является колебательный контур, содержащий конденсатор C, катушку индуктивности L и сопротивление R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд q0 = CU0. Закон изменения заряда на конденсаторе найдем на основе закона Кирхгофа:
(14)
Учитывая, что и вводя обозначение (a коэффициент затухания, ω – собственная частота контура), представим (14) в виде
(15)
Аналогичные уравнения получаются для напряжений на элементах L и C и для силы тока в контуре. Если ω02 >> α2, решение уравнения (15) записывается в виде:
q = qme-atcos(ωt + φ), (16)
где .
Таким образом, при ω02 >> а2 зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающего колебания, частота которых ω, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура ω0. Ток в контуре также совершает затухающие колебания:
Начальная амплитуда колебаний:
Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительное уменьшение энергии в процессе колебаний:
(17)
где W запасенная энергия,
Wt – энергия, теряемая за период.
В цепях постоянного тока существует лишь механизм потери энергии. Это потери на нагревание проводников, определяемые законом Джоуля – Ленца:
PОм = I2RОм,
где – омическое сопротивление.
Связанные с RОм потери энергии называют омическими потерями. В цепях переменного тока, особенно при высокой частоте колебаний, появляются дополнительные механизмы потери энергии, потери на излучение потери в диэлектрике конденсаторов, потери, связанные с токами Фуко и гистерезисом (если катушки индуктивности имеют ферромагнитные сердечники) и др.
Добротность контура определяется по формуле: