Глава I. Системная микроавиация. Технико-экономические проблемы безопасности
1.1. Проблемы безопасности, регулярности и экономичности полетов
Предметом дальнейшего изучения является система, под которой будем понимать совокупность объектов любой природы, находящихся в определенных отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность, единство.
К классу таких систем относятся объекты машиностроения: самолеты, вертолеты, железнодорожные и автомобильные объекты, объекты речного и морского транспорта. В дальнейшем мы будем рассматривать только авиационные объекты, все остальные системы являются частным случаем.
Самолет, как и всякая система, может быть рассмотрен как элемент системы более высокого порядка – макроавиационной системы, которая в свою очередь является подсистемой экономической системы и т. д.
Самолет относится к классу систем, в которых осуществляются процессы передачи информации, управления и формирования энергетического потенциала [2, 3]. К особенностям таких систем отнесем следующие:
– в процессе функционирования систем решается множество задач, некоторые из них в силу объективных или субъективных причин оказываются противоречивыми по отношению к основной цели;
– функционирование всегда протекает при той или иной неопределенности условий, включая внешнюю среду, внутренние свойства самой системы;
– на процесс функционирования системы, как правило, большое влияние оказывает человек;
– в процессе функционирования происходят процессы старения, деградации, изнашивания, разрушения или развития (по воле человека) подсистем.
Для достижения заданной цели, например осуществления перевозки пассажиров, в системе используется соответствующий алгоритм функционирования, реализованный в виде некоторой материальной структуры, содержащей средства целепологания (полет по заданному маршруту), средства контроля, обработки информации, управления, реализации необходимых действий.
В общем случае, когда рассматривается модель создания (в том числе проектирования) и эксплуатации самолета, система, синтезированная на структурно-функциональном уровне, представлена на рис. 1.1.
Рис. 1.1
На рис. 1.1. приведены условные обозначения: Ri – ресурсы i-й системы ; δi – погрешности, созданные i-й системой в процессе реализации своих функциональных возможностей.
Структура системы реализации жизненного цикла нового самолета включает следующие этапы: целеполагание, целедостижение, целереализацию, оценку достигнутого. Каждый этап жизненного цикла реализуется посредством комплекса работ, выполняемых профессионалами различного уровня с использованием научных знаний и технических средств.
Разработанная и реализованная структура системы осуществления жизненного цикла нового самолета может не в полной мере обеспечивать достижение всех поставленных целей. При этом для создателя и руководителя важно знать степень недостижения цели, зависящую от свойств и качеств подсистем и системы в целом.
Свойство системы характеризуется объективной особенностью, которая проявляется при ее создании и эксплуатации. Качество системы характеризуется совокупностью свойств, обусловливающих ее пригодность выполнять заданную ей цель.
Показатели качества системы, составленные из абсолютных или относительных показателей ее свойств, будем подразделять на функциональные и экономические. Функциональные показатели характеризуют способность системы выполнять возложенные на нее функции для достижения поставленных целей. Экономические показатели характеризуют, с одной стороны, затраты, необходимые для придания системе требуемых качеств, а с другой – экономический эффект при ее функционировании.
Желаемые (потребные) и возможные качества будем задавать условиями, которым должны удовлетворять значения показателей этих качеств. Эти условия называются критериями оценки качества системы.
В процессе анализа системы важно определить соответствия возможных, фактических и необходимых свойств системы. Создание любого нового или модернизация старого начинает с этапа целеполагания подсистема (1) (рис. 1.1). Здесь закладываются основные функциональные и экономические показатели объекта, который будет создан. Подсистема (1) наполнена специалистами [19], которые в процессе целеполагания осуществляют (рис. 1.2):
1) формулировку цели путем синтеза средств;
2) эскизный проект, включающий анализ идеи, необходимые средства, ресурсы;
3) оценку необходимых ресурсов: научных, технических, экономических;
4) оценку возможностей, корректировку цели, доработку эскизного проекта, переоценку необходимых ресурсов.
Рис. 1.2
Следующим этапом жизненного цикла самолета, его «рождения», является этап целедостижения. Этот этап реализуется в рамках подсистемы (2), синтезированная структура которой представлена на рис. 1.3. В процессе реализации этого этапа в рамках подсистемы осуществляется анализ возможности реализации цели, включающий:
1) формирование ресурсов и обоснование выходных данных;
2) проведение научно-исследовательских работ – выбор конструктивных параметров;
3) проведение опытно-конструкторских работ, включая натурные испытания опытного образца объекта;
4) проведение летных испытаний объекта – оценка возможностей.
На рис. 1.2 приведены следующие обозначения: R1j = R1j(ΔR1j, δ1j) – ресурсы подсистемы, принадлежащие R1 (целеполагания рис. 1.1); ΔR1j – потери ресурсов, реализуемые в подсистеме j , обусловленные погрешностями δ1j соответственно.
Обозначения на рис. 1.3 аналогичны приведенным на рис. 1.2, т. е. R2j = R2j (ΔR2j, δ2j).
Рис. 1.3
Этап целереализации в жизненном цикле самолета является замыкающим и вместе с тем самым ответственным. Синтезированная структура этой подсистемы (3) представлена на рис. 1.4. На этом этапе система должна окупить все расходы, произведенные при ее создании.
На этом этапе осуществляются:
1) цель эксплуатации: где, когда, с какой целью объект будет эксплуатироваться;
2) организация эксплуатации, обеспечение безопасности, экономичности, регулярности функционирования объекта;
3) эксплуатация;
4) оценка итогов работы, текущий капитальный ремонт, оценка возможностей.
На рис. 1.4. приведены следующие обозначения: R(2)1 – ресурсы (финансовые), полученные из банка в кредит; R3j = R3j(ΔR3j, δ3j), где – номера подсистем, осуществляющих целереализацию (рис. 1.1); R34 – ресурсы получены с рынка 3 от потребителя.
Рис. 1.4
Замыкание жизненного цикла: происходит деструктуризация, достигается критическая область, что приводит к потерям функциональных возможностей, неспособности выполнять поставленную цель, в том числе по причине падения функциональных свойств.
Структурно-функциональное представление на уровне системы реализации жизненного цикла новой техники и отдельных ее подсистем необходимо при построении моделей различного уровня для математического моделирования процессов:
– анализа риска в начальный момент времени t0;
– анализа риска в упрежденный момент времени t = t0+τ;
– управления риском и контроля его величины.
Каждый из этапов жизненного цикла характеризуется ресурсами Ri и потерями ΔRi, соответствующими данному этапу. Потери ΔRi на каждом из этапов зависят от величины погрешностей δi , допущенных при проведении работ, а также от величины средств Ri , с использованием которых проводились работы [19]. В итоге получаем суммарные потери ресурсов
ΔR = Ψ(R1, …, R4, δ1, …, δ4, t),
где Ψ – оператор преобразования.
Основным звеном в структуре системы реализации жизненного цикла объекта является подсистема целеполагания, которая в свою очередь представляет систему со структурой, представленной на рис. 1.2. Ее основные задачи – осуществление синтеза, формирование идеи с учетом склонностей инвестора и возможностей создателей. При этом происходит оценка потребных ресурсов Rр = Rр(δр, ΔR), где δр – ошибка в расчетах потребных ресурсов, порождающая погрешность ΔR(δр).
Рассмотрим возможные потери на этапах жизненного цикла самолета [18].
1. На этапе научно-исследовательских работ (НИР) потери инвестора обусловлены невозможностью достичь заданную цель, например обеспечить заданные регулярность, экономичность и безопасность полета самолета. Это приводит к потерям тех финансовых средств, которые были затрачены инвестором на проведение таких работ (рис. 1.4). Обозначим их ΔR(1)22.
Другой крайностью является ситуация, в которой результаты научно-исследовательской работы показали возможность достижения поставленной цели, а этап опытно-конструкторских работ их не подтвердил – возникают потери ΔR(2)22. Между этими крайними случаями находится проект, позволяющий достичь заданную цель, но который был отклонен.
Таким образом, научно-исследовательский риск характеризуется ситуациями, возникающими в процессе проведения работ, которые могут характеризоваться потерями ΔR22 = ΔR(1)22 + ΔR(2)22.
2. На этапе опытно-конструкторских работ (ОКР), например для самолета, включающем проектирование и изготовление опытного образца, проведение аэродинамических, прочностных и летных испытаний, возможны те же ситуации, что и на этапе НИР. Однако потери возрастают за счет более высокой стоимости ОКР. Причиной таких ситуаций являются погрешности δ22, полученные и не обнаруженные на этапе НИР, а также погрешности ОКР δ23.
3. На этапе серийного производства показатели риска увеличиваются по следующим причинам:
– ухудшение показателей объекта за счет влияния несовершенств технологических процессов производства, обусловленных свойствами металла, станков и инструментов, квалификацией специалистов и т. п., в результате получаем погрешность δ24;
– повышение стоимости производства объекта по отношению к заявленной стоимости, что увеличивает численную величину риска, связанную с финансовыми расходами.
Отметим, что изменение характеристик объекта за счет технологических процессов сказывается и учитывается на этапе эксплуатации.
4. Последний этап – эксплуатационный – характеризуется соответствующим риском, связанным, прежде всего, с полной или частичной потерей техники при авариях, катастрофах, а также с фактическими (финансовыми) расходами для обеспечения функционирования объекта, которые превышают расчетные или оптимальные, например, за счет неоптимального или нерасчетного расхода топлива.
Рис. 1.5
Суммарные потери при создании новой техники можно представить в несколько обобщенном виде: экономические и функциональные потери (рис. 1.5). Последние обусловлены функциональным несовершенством новой техники. Указанные на рис. 1.5 потери возникают, прежде всего, в связи с тем, что объект, созданный в результате инвестирования, в общем случае способен быть экономической системой – приносить прибыль, которая зависит от стоимости этого объекта и его функциональных свойств. Суммарные потери обусловливают суммарные риски.
Рассмотрим этапы принятия проекта инвестором.
I. Оценка располагаемых ресурсов R, включающих банковский кредит.
II. Анализ затрат ресурсов на поэтапный проект.
III. Анализ возвратных ресурсов от реализации.
Важное значение на процесс инвестирования оказывает банк. Инвестору необходимо оценить, на что он может рассчитывать.
Если инвестор располагал только ресурсами R(1)1, полученными из банка, то итоговая величина риска обусловлена выполнением неравенства R(2)1 > R34, где R(2)1 = R(1)1 + ΔR(1)1, ΔR(1)1 – величина процента банковского кредита, подлежащего возврату, R(2)1 – ресурсы, подлежащие возврату в банк; R34 – ресурсы, полученные от потребителя [33, 34].
При этом проблема инвестирования и инвестиционного риска включает оценку потерь ресурсов ΔR, затраты на реализацию проекта, успех при эксплуатации объекта. Анализ потерь и рисков включает в себя, как правило, моделирование технико-экономических процессов.
Математические модели для подсистемы целеполагания (1) (что делать) – это особые модели, где принятие решений происходит на индивидуальном уровне человека, на уровне его ноосферы [20]. При этом осуществляется синтез особого рода, в котором соединяются объекты различной природы, из различных областей знаний, различных наук; в итоге формируется идея, например, в виде структуры нового объекта с неизвестными ранее свойствами, т. е. здесь создается «сущность» нового объекта.
Эта идея в дальнейшем в подсистеме аналитических решений (2) получает теоретическо-практический образ, т. е. образ, который может быть реализован в современных условиях в виде реального объекта. Образно говоря, в подсистеме (2) объект получает и наделяется своими «личностными» свойствами, которые воспринимаются человеком. И только в оптимальном сочетании «сущности» и «личности» получаются, например, «Ил», «Ту», «Боинг», т. е. то, что востребовано жизнедеятельностью человека и высоко ценится человечеством.
Модели подсистемы «как делать» включают в себя иерархию от модели отрасли до модели цеха. Этот необыкновенно большой диапазон систем рассматривает процессы производства, включающие описание потоков товаров во времени, финансовых потоков, обеспечивающих или сопровождающих потоки товаров. Как правило, эти модели используются управленческим звеном экономики, которое включает в себя управленцев-пользователей от начальника цеха и выше до уровня отрасли. В этих моделях явно присутствует человеческий фактор, его свойства, ноосфера, с помощью которой при принятии решений реализуется не столько анализ, сколько синтез.
Наиболее понятными для практики являются математические модели производственного процесса, которые включают в себя, например, технологические процессы с расчетами времени изготовления детали, квалификации исполнителя и оплаты его труда. Здесь человеческий фактор учитывается только на этапе учета квалификации и в дальнейшей детализации не нуждается. Основная роль в разработке модели принадлежит аналитику (естественнику), создающему станки, оборудование.
«Контроль» в широком понятии включает две сферы: внутреннюю и внешнюю [2, 6]. Во внутренней сфере контроль связан с качеством и сроками изготовления изделия. Здесь математические модели разработаны достаточно хорошо. Неоднозначность ситуации возникает тогда, когда технологический процесс, например изготовление крыла самолета, необходимо увязывать с бортовым приборным оборудованием с помощью функциональных (целевых) и экономических показателей. При этом решается проблема выбора путем перераспределения точности производства несущих поверхностей и бортового приборного оборудования [18]. Во внешней сфере функции контроля выполняет рынок, который учитывает эксплуатационные свойства самолета.
1.2. Истоки технико-экономических потерь. Прибыль и убытки
Прибыль и убытки в авиации, как и везде в экономике, взаимосвязаны, взаимозависимы. Это антиподы, не существующие друг без друга. Таков основной закон среды жизнедеятельности.
В необходимости учета потерь при разработке проекта (создания ЛА и его систем или организации эксплуатационного предприятия) заинтересованы следующие его участники: заказчик, инвестор, исполнитель, страховая компания. При анализе потерь и соответствующих рисков любого из участников проекта используются положения, предложенные американским экспертом Б. Берлимером:
– потери от рисков независимы друг от друга;
– потеря по одному направлению «портфеля рисков» не обязательно увеличивает вероятность потери по другому (за исключением форс-мажорных обстоятельств);
– возможный максимальный ущерб не должен превышать финансовые и другие возможности участника проекта.
При рассмотрении характеристик риска выделим два взаимно дополняющих друг друга вида анализа: количественный и качественный [11]. Качественный анализ может быть сравнительно простым, его главная задача – определить факторы, влияющие на риск, этапы и работы, при выполнении которых риск возникает. Количественный анализ сводится к численному расчету размеров отдельных компонент риска и риска проекта в целом. Этой проблеме посвящена данная работа.
Все факторы, так или иначе влияющие на рост величины риска в проекте, можно условно разделить на две группы: объективные и субъективные факторы риска.
К объективным относятся факторы, независящие непосредственно от самой фирмы или авиационного комплекса: это инфляция, анархия, политические и экономические кризисы, экология, таможенные пошлины, наличие режима наибольшего благоприятствования.
К субъективным относятся факторы, характеризующие непосредственно данную фирму, данный проект, данный авиационный комплекс. Эти факторы включают: производственный потенциал, техническое оснащение, уровень предметной и технологической специализации, организация труда, уровень производительности.
При разработке нового ЛА или доработке старой модификации (путем установки нового бортового оборудования) возникают как взаимный интерес инвестора и конструкторского бюро, так и противоречия. Задача заказчика состоит в том, чтобы при минимальных затратах создать такой ЛА, который по основным показателям превысил бы известные ЛА. Задача конструкторского бюро в том, чтобы найти возможность удовлетворить требования заказчика. Как правило, не удается полностью достичь того, что хочет заказчик на те средства, которые он выделил. При этом эксплуатационники, а также пользователи услуг, страховые компании, организации типа ICAO требуют ЛА с заданной надежностью.
В качестве основного показателя, предъявляемого к ЛА, является экономический. Все остальные порождены этим показателем, за исключением показателя, который связан с человеческими жертвами. Так, например, такой показатель, как «регулярность» обеспечивает заданную величину отложенных полетов, учитывая их высокую стоимость. Показатель «безопасность» связан с расходами на поломку или восстановление техники, а также со страховыми выплатами. При этом, по существу, из одного показателя экономичности был введен векторный показатель: экономичность, безопасность, регулярность.
Введем общее расчетное (максимальное) количество полетов n, которые может совершить самолет за время Т. Пусть из-за погодных условий он не сможет совершить (при его низком показателе регулярности) n1 полетов. Из-за аварийных ситуаций (в том числе поломок) он не завершит n2 полетов, а из-за недостоверной информации как бортового оборудования, так и средств управления воздушным движением – n3 полетов. Таким образом, полеты n0 = n – (n1 + n2 + n3)=n – n4 завершены благополучно и могут принести прибыль, а полеты n4 = n1 + n2 + n3 принесут убытки. Каждая из составляющих вектора = {n0, n1, n2, n3} несет в себе определенную информацию с позиции функционирования бортового оборудования:
n0 – выполнение поставленной цели;
n1 – невыполнение поставленной цели при правильном функционировании систем контроля и управления бортовым оборудованием;
n2 – возникновение аварийных ситуаций, включая катастрофы, обусловленные превышением критических значений параметров состояния ЛА из-за погрешностей функционирования систем контроля бортового оборудования;
n3 – недостижение поставленной цели, в том числе отказ ее достижения из-за ложной информации систем контроля и средств управления воздушным движением.
Таким образом, убытки, следовательно, технический риск обусловливают те события, которые связаны с {n1, n2, n3}, из них {n2, n3} обусловлены погрешностями δx получения и обработки информации.
Если в качестве цели ставится полет на дальность L, то в этом случае потери будем характеризовать частотой n1 – невыполнение полетов (в том числе по погодным условиям); безопасность характеризовать частотой n2; экономичность будем оценивать совокупностью {n1, n2, n3}, характеризующей потери в процессе эксплуатации; а с помощью n0 – прибыль, связанную с благополучным выполнением поставленной цели.
Для современной авиации характерны наперед заданные ограничения на компоненты потерь, связанные с безопасностью полетов, т. е., по существу, задана плата за риск эксплуатации и связанная с ним прибыль. Так, на посадке суммарный риск не должен превышать Р = 10–9. При этом предполагается, что современная авиация с современным оборудованием гарантированно имеет потери (убытки). Если абстрагироваться от реальности, то можно добиться от бортового оборудования такого функционирования, при котором нет катастроф, но стоимость такого самолета будет так высока, что доходы за счет n0, как правило, не покрывают эти расходы.
В общем случае количественные характеристики риска представляют векторные величины, а задача построения и прогноза их чрезвычайно сложна [1, 21]. Таким образом, приступая к проектированию самолета, мы должны учитывать:
– затраты на создание и эксплуатацию;
– прибыль при эксплуатации;
– потери в процессе создания и эксплуатации.
В качестве примера рассмотрим техническую постановку задачи создания новых образцов авиационной техники.
Одной из основных задач, стоящих перед проектировщиками и разработчиками таких сложных и дорогостоящих технических систем, как авиационный комплекс, включающий: самолет и его бортовое оборудование; системы управления воздушным движением; аэродромные средства, – является задача выбора и обоснования технических требований к комплексу, в которых отражалось бы его целевое назначение и которые соответствовали бы научно-техническому потенциалу разработчиков. При проектировании авиационного комплекса выбор технических требований к нему должен производиться исходя из целей и задач, стоящих перед проектировщиком самолета, в том числе и его бортовым оборудованием. Такие цели формулируются, как правило, на качественном уровне и позволяют судить лишь об общем направлении работ по созданию авиационного комплекса и его совершенствованию. Для обеспечения необходимой ясности и однозначности формулировок целей последние лучше задать в терминах характеристик авиационного комплекса. Для этого генеральную цель – выполнение самолетом полетного задания – приходится разбивать на совокупность более частных, более простых и конкретных подцелей, т. е. проводить квантификацию целей.
Из множества технических показателей систем авиационного комплекса лицо, принимающее решение, выделяет тот или те, которые, по его мнению, в наибольшей степени характеризуют соответствие системы заданному целевому назначению. Поскольку авиационный комплекс служит для обеспечения регулярности (R), безопасности (Б) и экономичности (Э) полета самолета, последние являются показателями эффективности авиационного комплекса. Отсюда следует, что задача проектирования авиационного комплекса заключается в том, чтобы создать такой авиационный комплекс, который обеспечивал бы самолету значения показателей регулярности, безопасности и экономичности его полета не хуже существующих, и при этом обеспечивал бы прибыль.
Таким образом, целью создания нового авиационного комплекса или совершенствования старого является, как следует из вышеизложенного, повышение регулярности, безопасности и экономичности полетов самолета. Как правило, реализация этой цели поддается экономической оценке, в результате чего могут быть получены зависимости
J1 = J1(ΔR, ΔБ, ΔЭ, Т), J2 = J2(ΔR, ΔБ, ΔЭ, Т),
где J1 – прибыль за время эксплуатации самолета, оснащенного таким авиационным комплексом; ΔR, ΔБ, ΔЭ – соответственно приращения показателей регулярности, безопасности и экономичности полета нового самолета по отношению к аналогичным показателям старого варианта самолета; J2 – затраты на создание авиационного комплекса; Т – время эксплуатации. Очевидно, что эффект от внедрения
ΔJ = J1 – J2. (1.1)
Пусть А – вектор параметров, полностью характеризующих авиационный комплекс. Тогда R = R(A), Б = Б(А), Э = Э(А), и задача заключается в отыскании такого А = А*, при котором показатель (1.1) достигает максимальной величины на множестве значений ΔJ, на границах которого значения ΔJ достигают порога, характеризующего целесообразность создания авиационного комплекса. Таким образом, задача состоит в отыскании А = А*, удовлетворяющего условию
В результате процесс проектирования авиационного комплекса сводится к построению алгоритма, с помощью которого устанавливается связь между свойствами вектора А* параметров авиационного комплекса и значениями R, Б, Э, а также метода нахождения А*, удовлетворяющего условию (1.2).
Предположим, что показатели регулярности R, безопасности Б и экономичности Э полета представляют собой вероятности возникновения некоторых событий. Предположим также, что алгоритм (метод) расчета эффекта J1 в зависимости от значений указанных показателей известен. В качестве примера такого алгоритма рассмотрим алгоритм, устанавливающий зависимость между эффектом J1 и значениями показателя безопасности полета, под которым будем понимать вероятность или частоту особых ситуаций.
С учетом введенных предположений определение вектора А*, характеризующего авиационный комплекс, сведется к задаче определения затрат J2 на создание комплекса, обеспечивающего самолету значения показателей R, Б, Э полета не хуже заданных (требуемых).
Решение данной задачи может быть сведено к последовательному решению следующих двух задач: задачи синтеза структуры авиационного комплекса, обеспечивающего значения указанным показателям не хуже требуемых, и задачи определения затрат на создание авиационного комплекса, имеющего такую структуру.
В простейшем случае процесс создания нового ЛА или совершенствования старого связан с инвестором (рис. 1.6). Как правило, инвестор, стремясь получить максимальный доход, заказывает конструкторскому бюро (КБ) проектирование нового самолета с характеристиками R, Б, Э. Назовем их условно характеристиками идеального самолета. В силу ограниченных возможностей КБ создает вариант самолета с характеристиками (R1, Б1, Э1); назовем его проектный вариант ЛА. На последней стадии создания, на стадии производства, мы получаем ЛА с характеристиками (R2, Б2, Э2). Назовем такой самолет реальным или фактическим. В результате идеальный доход (Dи), на который рассчитывал инвестор, не получился и стал равен некоторому фактическому значению Dф. В случае, если расхождение ΔD = Dи– Dф велико, в КБ проводятся исследования, направленные на поиск наилучшего соответствия между ΔD и стоимостью оборудования, необходимого для его уменьшения (рис. 1.7)
Рис. 1.6
Представленная на рис. 1.7 структурная модель поиска наилучшего решения включает финансовые вложения (финансовые потоки) и порожденные ими технические совершенства, которые обеспечивают регулирование (изменение) дохода D(t) и прибыль Dп(t). При этом новая техника внедряется, если происходит увеличение n0/n, т. е. частоты выполненных полетов, при уменьшении n1/n, n2/n, n3/n, где n – общее количество полетов.
Рис. 1.7
Анализируя все сказанное относительно потерь и прибыли, сопутствующих процессу эксплуатации самолета, в том числе анализируя процессы доработки, эксплуатации и создания самолета, можно сделать вывод, что в самом простейшем случае самолет есть экономическая подсистема с переменными параметрами, подверженная старению, износу, поломке, изменению точностных и надежностных характеристик.
На рис. 1.7 введены следующие обозначения: Δn0 – приращение качества выполненных полетов n0; Dn(t) – затраты на новую технику; De(t) – потери, связанные с невыполненными полетными заданиями, число которых равно n4.
При этом на такую экономическую систему воздействуют возмущающие факторы X, изменяющие, как правило, в сторону уменьшения величину дохода от эксплуатации самолета (рис. 1.8). В такой системе, созданной по воле человека и непосредственно его трудом, циркулируют деньги и техника, взаимно преобразовываясь в нужном для человека направлении. Участие человека сводится к выбору параметров системы, типа и параметров новой техники, а также места и времени применения ЛА.
Рис. 1.8
В общем случае каждый ЛА при анализе эксплуатационных потерь можно рассматривать как подсистему (объект, элемент) некоторой экономической системы, представляющей собой эксплуатационное подразделение. Это означает, что все основные положения экономических систем [19] могут быть использованы при анализе процессов создания и эксплуатации ЛА.
В зависимости от типа самолета в качестве таких экономических систем выступают эксплуатационные подразделения следующих уровней:
– частное лицо (1–2-местные самолеты);
– спортивное общество (спортивная авиация);
– фирма (самолеты деловых связей);
– региональные авиаслужбы (самолеты местных авиалиний);
– авиаслужбы страны (самолеты внутренних авиалиний);
– международные авиакомпании (самолеты международных авиалиний).
Каждое из этих эксплуатационных подразделений в той или иной мере оказывает влияние на создание соответствующей (эксплуатируемой им) техники, а также средств обеспечения ее функционирования (рис. 1.9). Заказчики или инвесторы техники подразделений имеют разные итоговые цели ее создания, разные условия функционирования и потому формируют различные требования и назначения. При этом для каждого ЛА характерны свои потери, как по величине, так и по виду своего проявления, что обусловливает необходимость анализа потоков техническо-экономического риска.
Рис. 1.9
Жизненный цикл. Истоки технического риска.
На рис. 1.10 показана на системном уровне взаимосвязь среды жизнедеятельности, науки, технических и технологических объектов. В основе такого взаимодействия лежит обмен информацией Jx от среды к науке Jy, от науки Jy – к технике Jz о процессах x, y и z, формируемых средой, наукой и техникой соответственно. В процессе такого обмена возникают погрешности и ошибки, свойственные контролю, обработке и передаче информации. Так, в процессе изучения среды жизнедеятельности, которая является источником информации и базовой основой для построения математических и иных моделей, возникают погрешности δ1, которые зависят от средств измерения и свойств среды жизнедеятельности как носителя информации Jx.
Рис. 1.10
Численные характеристики погрешности δ1 в процессе научных исследований видоизменяются, как правило, увеличиваются, и на входе в подсистему (3) приобретают новое значение δ2. В процессе создания новой техники или технологий δ2 видоизменяется, превращаясь, с одной стороны, в случайные факторы W31(δ1, δ2, δ3, y, z), которые воздействуют на среду жизнедеятельности, а с другой – в δ3, которые наблюдает наука с целью корректировки математических или иных моделей. Среда жизнедеятельности реагирует на W31 и создает на входе (3) случайные факторы W13(δ1, x, t).
В процессе взаимодействия между подсистемами (2) и (3) возникают противоречия, обусловленные трудностями, а подчас и невозможностью выполнения всех требований, сформулированных наукой, подлежащих реализации на этапе создания новых технико-технологических объектов. Это обусловлено, чаще всего, отсутствием соответствующей производственной базы, например, для обеспечения заданной точности и надежности функционирования самолета или заданной точности конструктивного исполнения несущих аэродинамических поверхностей.
При этом наука задает расчетную или потребную точность, например в виде погрешности δ2, а на практике получают возможную погрешность δ3, которая, как правило, превышает δ2. В результате ухудшаются все показатели, например тактико-технические данные самолета, такие как дальность полета, расход топлива, грузоподъемность, ресурс, категория по взлету и посадке.
Ограничимся основными требованиями к авиации, которые сформулируем следующим образом:
1) авиация должна оптимальным или наилучшим образом реализовать свое целевое назначение, так например, самолет должен перемещаться в пространстве с минимальными энергетическими затратами при прочих равных условиях;
2) функционирование авиации должно быть безопасным в целом, для биосферы, и в частности, для тех, кто ее использует, так например, вероятность катастрофы для самолета не должна превышать 10–8.
Невыполнение указанных требований приводит к соответствующим неучтенным или сверхнормативным потерям, которые включают, в частности, потери финансовых средств, направленных на создание новой техники.
Процессу создания и эксплуатации самолета сопутствуют следующие потери:
R1 – от поломки или разрушения самолета;
R2 – эксплуатационные, из-за несовершенства организации работ по подготовке к эксплуатации;
R3 – на этапе научно-исследовательских работ;
R4 – на этапе опытно-конструкторских работ.
Таким образом, потери R = (R1, R2, R3, R4) при создании и эксплуатации представляют собой векторную величину, включающую в себя четыре компоненты, каждая из которых также является векторной величиной.
Потери Ri связаны с жизненным циклом, который включает в себя следующие этапы (рис. 1.11): научно-исследовательский, опытно-конструкторский, серийное производство, эксплуатационный. Согласно схеме на рис. 1.11, инициатором создания того или иного проекта является инвестор-1, на средства которого в объеме (Z1 + Z2) организуются научно-исследовательские работы (НИР), опытно-конструкторские работы (ОКР), производство. Реализовав объект на рынке-2 по цене Z3, он должен получить прибыль П1 = [Z3 – (Z1 + Z2)] > 0.
Рис. 1.11
Инвестор-2, купив объект по цене Z4, организует его эксплуатацию, представив его на рынок-3 (услуг) для потребителя услуг (10). В процессе эксплуатации ивестор-2 от потребителя получает Z5 – стоимость услуг. При известных эксплуатационных расходах, ресурсе объекта инвестор-2 имеет возможность определить прибыль.
Перечень расходов, сопутствующих жизненному циклу, включает в себя: 1) создание самолета, в том числе научно-исследовательские работы, проектирование, производство и испытание опытных образцов; 2) серийное производство; 3) эксплуатационные расходы, в том числе организацию управления воздушным движением, аэродромное и техническое обслуживания. Все эти расходы должны окупаться за счет коммерческих перевозок за период эксплуатации, в качестве которого может выступать ресурс работы планера самолета. При этом Z5 есть функция таких факторов, как стоимость тонны километра перевозимого груза, которая изменяется случайным образом во времени; количество километров, налетанных самолетом и прочее.
Потери инвестора представляют собой превышение расходов над доходами за месяц, год или за весь период эксплуатации данного самолета или всех самолетов данной серии. Каждый из этапов жизненного цикла характеризуется определенными потерями, которые представляют собой этапный риск (рис. 1.12). Потери на каждом из этапов работ зависят от величин погрешностей δiR , допущенных при проведении работ, а также от совокупности средств Аi , с использованием которых проводились работы. В итоге получаем суммарные потери Δ4R, которые можно представить в виде
Δ4R = ψ(δ1R, δ2R, δ3R, A1, A2, A3),
где ψ – оператор преобразования.
Рис. 1.12
В заключение отметим суть проблемы рисков и безопасности полета. Задача исследователя – изучить истоки рисков и средств обеспечения безопасности. В историческом плане эта проблема эволюционировала от простого к сложному. Выделим ряд этапов эволюции.
Этап 1. Создание модели самолета и выбор таких конструктивных параметров, при которых его полет возможен.
Этап 2. Выбор параметров системы «самолет – пилот».
Этап 3. Выбор параметров и свойств системы «самолет – пилот – пилотажно-навигационное оборудование».
Этап 4. Выбор параметров и свойств системы «самолет – пилот – пилотажно-навигационное оборудование – СПКР (система предупреждения критических режимов)».
Этап 5. Выбор параметров и свойств системы «самолет – пилот – пилотажно-навигационное оборудование – СПКР – СОПР (система оптимизации режима пилотирования)».
Каждому этапу соответствовал свой уровень решения проблем: регулярность, безопасность, экономичность.
На этапе 1 решалась проблема безопасности. На этапе 2 решалась проблема безопасности и частично регулярности. На этапе 3 – задача безопасности, регулярности и частично экономичности. На этапе 4 резко увеличен показатель безопасности путем введения СПКР, а на этапе 5 резко увеличился показатель экономичности путем введения СОПР.
1.3. Математическая модель оценки эффективности функционирования микроавиационной системы
Уточним понятие микроавиационной системы, которую мы в дальнейшем, при экономическом анализе, будем именовать микроэкономической системой.
Самолет как физический объект начинает функционировать с того момента, когда он становится элементом макроэкономической системы, т. е. представляет собой микроэкономическую авиационную систему. Далее мы будем ее называть технико-экономической системой в силу свойств ее подсистем или просто системой.
Наша задача – разработать теоретические основы функционально-экономического анализа системы, включающей: самолет и техническо-организационные структуры, обеспечивающие реализацию услуг пассажирам (касса, система посадки и т. д.) и организацию полета (в том числе экипаж, аэродромное техническое обслуживание и т. д.).
В своей совокупности это есть система, которой присущи техническое обеспечение и экономическое обеспечение, включающее организацию финансовых потоков от пассажиров и оплату работы всех систем, обслуживающих полет самолета.
1.3.1. Требования к математической модели
Рассмотрим условие стабильности и эффективности функционирования такой микроэкономической системы как самолет.
Самолету как микроэкономической системе свойственно создавать несколько моделей финансовых потоков (переменных во времени).
I. Затратная модель финансовых потоков включает следующие затратные модели:
– НИР и ОКР создания новой модели самолета или модификации старой модели;
– производства;
– эксплуатации.
II. Модель поступления финансовых потоков в процессе эксплуатации, необходимая для анализа окупаемости, компенсации затратных финансовых потоков.
При этом модель финансовых потоков микроавиационной системы, представляющей самолет как экономический объект (рис. 1.13), включает два потока:
δе – расходные потоки финансовых средств;
δп – приходные потоки финансовых средств.
Вложение финансовых средств δn(t), например, от инвестора происходит в момент времени t0, равное стоимости самолета Dg(t0). Будем полагать в общем случае, что готовый самолет у инвестора эксплуатирующая организация забирает в «кредит». Это означает, что организация обязуется средства инвестора в размере Dg(t0) стоимости самолета возвратить с процентами в течение времени [t0,T].
При этом эксплуатирующая организация не выкупает, а берет самолет в лизинг (кредит) под проценты, которые она выплачивает инвестору. Обозначим эти проценты Пg(t).
Рис. 1.13
Кроме того, эксплуатирующая организация планирует получать на свое развитие соответствующие проценты. Обозначим эти проценты П1.
Таким образом, социальная система [16] в лице пассажира оплачивает за полет сумму, которая включает:
– проценты по депозиту;
– проценты по кредиту;
– расходы по эксплуатации.
В итоге самолет как экономическая система, управляемая эксплуатационной организацией, создает финансовые потоки D как функции времени. Эти потоки зависят как от свойств самолета, так и эксплуатирующей организации. Поэтому в математической модели их необходимо рассматривать совместно во взаимном влиянии.
В дальнейшем будем различать самолет как физическую систему и самолет как микроэкономическую систему, включающую экипаж и другие организационно-управляющие системы.
Одним из условий выживаемости в процессе эксплуатации самолета является постоянная приспосабливаемость к непрерывным изменениям внешних условий функционирования. При построении математической модели будем иметь в виду следующее:
– микроэкономическая система (самолет) рассматривается как система, состоящая из взаимосвязанных частей [11];
– осуществляется учет влияния окружающей среды для достижения максимальной прибыли [12];
– управленческие решения принимаются на основе изучения и учета всей совокупности ситуационных факторов.
При этом важными являются ситуации, обусловленные конкретными эксплуатационными обстоятельствами, которые оказывают влияние на функционирование системы в данный момент времени. Важными для системы являются выделение и оценка роли наиболее значимых факторов прибыли и убытков, воздействуя на которые можно достичь поставленную цель.
В данной главе мы будем формировать математическую модель количественной оценки функционирования системы. С этой целью разработаем математическую модель движения финансовых потоков через микроэкономическую систему.
На основе вышеизложенного сформируем требования к математической модели финансовых потоков, порожденных микроэкономической системой. Модель должна:
– содержать средства анализа поведения финансовых потоков при введении различных управляющих воздействий;
– позволять прогнозировать прибыль в различные моменты времени;
– отражать влияние внешних и внутренних возмущающих факторов, обусловливающих потери микроэкономической системы.
1.3.2. Динамическая модель баланса финансовых потоков
При оценке потерь и прибыли будем рассматривать финансовые потоки, порожденные пассажиропотоком или грузопотоком в единицу времени данным самолетом в рамках системы.
Для вывода уравнения, описывающего финансовые потоки, формируемые в процессе эксплуатации самолета как финансовой системы, воспользуемся балансом потоков финансовых средств, поступающих на вход и затрачиваемых системой в некоторый момент времени t. Примем, что процесс поступления средств и расходы на реализацию полетов для перевозки пассажиров или (и) грузов происходят непрерывно во времени. Это приемлемо, так как мы предполагаем, что данный самолет в единицу времени перевозит достаточно большое количество пассажиров или грузов, а рассматриваемый интервал времени достаточно большой. Например, если единица времени – сутки, за которые самолет совершил несколько полетов, а общий интервал времени – десятки суток, то данное допущение приемлемо. Отметим, что данное допущение не принципиально. При необходимости в дальнейшем мы всегда можем перейти к дискретной модели, описывающей процесс от одного полета до другого.
В дальнейшем будем пользоваться средними значениями величин на малом, но конечном интервале времени. В рассматриваемых условиях это финансовые или энергетические потоки. Эти величины будем считать непрерывными и дифференцируемыми по времени без специальных оговорок.
Составим уравнение баланса финансовых потоков на входе и выходе объекта (рис. 1.13) в произвольный момент времени t. Термин «поток» в дальнейшем понимается как изменение изучаемой величины (процесса) в единицу времени, т. е. как производная рассматриваемой величины по времени.
При этом имеет место следующая модель баланса финансовых потоков [16, 19]:
где D = D(t) – объем финансовых средств микроэкономической системы, созданных ею на данный момент времени t в процессе своего функционирования; δn = δn(t) – поток поступающих финансовых средств; δe = δe(t) – поток расходов, т. е. средств, направленных на реализацию процесса «пассажиропотока» («грузопотока»); Dg – гарантированный запас средств в микроэкономической системе, ниже которого объем средств опускаться не должен, поскольку в этом случае микроэкономическая система не сможет функционировать; D0 – объем имеющихся средств, включая стоимость самолета (величина непостоянная для каждого самолета) и средств реализации полетов, в начальный момент времени t = t0, которые можно назвать депозитом (как в банке).
Завершение этапа функционирования (при t = T) самолета происходит либо по причине выработки ресурса, либо по причине катастрофы, либо на конкурентной основе. При этом имеем время работы самолета, т. е. время Т получения прибыли.
Система (1.3) описывает баланс финансовых динамических потоков, который представляет одну из форм проявления фундаментальных законов сохранения энергии в технико-экономической среде.
Поток расходов δe(t) представим в виде
δe(t) = δk(t) + δg(t) + δr(t), (1.4)
где δk(t) – поток средств, направляемых на организацию максимальных пассажироперевозок на рынке услуг; δg(t) – поток средств, направленный на компенсацию средств, полученных по договору лизинга; δr(t) – поток средств на организационно-техническое обслуживание микроавиационной системы (самолет и система обслуживания), включая ремонт и восстановление техники после аварий и катастроф.
При этом, как правило, внедрение новой техники увеличивает расходы, т. е. δk(t), но уменьшает вероятность Р2 аварий и катастроф, т. е. материальных затрат.
Представим поток δr в виде
δr(t) = δs(t) + δca(t) + δT(t) + δo(t), (1.5)
где δзп(t) – поток заработной платы; δoc(t) – поток расходов на развитие основных средств; δн(t) – поток налогов; δпр(t) – поток средств на прочие расходы.
Поток поступлений имеет место с рынка услуг. Эти поступления включают
δn(t) = δp(t – τ)[1 + П*(t – τ)], (1.6)
где δp(t) – финансовые потоки, формируемые системой, согласно стоимости услуг в момент времени (t – τ), т. е. предшествующий моменту времени их оказания t; П*(·) – компенсационная компонента на оказываемые услуги, назначенная в процессе анализа и прогнозирования рынка услуг и состояния среды функционирования микроэкономической системы.
Величину П*(·) представим в виде
где τ – время в днях, в течение которого осуществляется подготовка и реализация услуг пассажироперевозок; П(t – τ) – проценты на вложение δp назначенные в момент времени (t – τ). Проценты П*(·) назначает микроавиационная система – на вложение, т. е. то, что должен возвратить ей потребитель услуг, например, пассажир.
Поясним роль и место τ в соотношении (1.6), которое записано для момента времени t возврата вложенных средств. Считаем, что «кредит» выдан в момент времени t* = t – τ (рис. 1.14). Мы предполагаем, что финансы могут выдаваться непрерывно во времени и на время τ = const (рис. 1.15).
Кроме того, возможны ситуации когда δp могут выдаваться на различное время τi в различные моменты времени ti. При этом модель δn должна быть дискретной, т. е. рассматриваться δn(ti), а соотношение (1.6) должно быть записано в виде
δn(ti) = δp(ti – τi)[1 + ξ(ti – τi)].
Рис. 1.14 Рис. 1.15
Так как услуги (в виде δp) формируются задолго до их реализации, например, в момент времени t – τ, то δp, сформированные в момент времени t – τ (τ > 0) и реализованные в момент времени t можно считать кредитом со стороны микроэкономической системы для пассажиров, который возвращают с процентами П(·), входящими в стоимость билетов пассажира.
При этом проценты П(·) являются функциями вероятностей Р2 риска аварий и катастроф, т. е. П(·) = П(Р2; t). В результате для создания математической модели расчета П(Р2; t) необходимо построить модель расчета Р2, а затем модель процентной компенсации возможных потерь микроэкономической системы, зависящих от уровня риска материальных потерь при авариях и катастрофах самолета.
Поток финансовых средств (расходов δg), направленных на компенсацию депозитных средств, полученных, например, по договору лизинга, можно записать в виде
где δg(t – τ1) – поток средств в момент времени t – τ1, отданных микроэкономической системой; τ1 – время, за которое был проведен расчет с инвестором; Пg(t – τ1) – процентная ставка по лизингу (депозиту), назначенная инвестором или оговоренная в договоре лизинга.
Этот процесс, как правило, не управляем во времени. Однако в общем случае проценты по договору лизинга могут быть оговорены и являться функцией времени t. Время τ1 – время, в течение которого запланирована выплата стоимости самолета.
Система уравнений (1.3)÷(1.8) описывает баланс финансовых потоков в микроэкономической системе, включающей самолет и объекты, организующие и обслуживающие его эксплуатацию, в процессе которой осуществляются пассажиро- или грузоперевозки.
Мы получили детерминированную динамическую модель микроавиационной системы, позволяющую прогнозировать ее поведение во времени, оценивать эффективность ее функционирования, т. е. выполнять режимы, в которых имеют место прибыль или убытки. Последние возникают под воздействием управляющих воздействий, к которым отнесем:
– проценты П(·);
– вероятности Р2 катастрофы, аварии;
– динамические свойства изучаемой микроавиационной системы;
– внедрение новых методов и средств, увеличивающих пассажиропоток и уменьшающих расходные средства организации полетов.
Динамические свойства системы проявляются, прежде всего, в потоке поступления, через величину τ. При этом чистое запаздывание τ – время, в течение которого реализуются вложенные средства и возвращаются в систему. Величина τ зависит от регулярности полетов и увеличивается, если самолет вынужден откладывать полеты, например, по погодным условиям. Кроме этого τ зависит от технических средств обслуживания в аэропорту, времени или скорости полета.
Применение полученной модели для анализа и прогнозирования эффективности функционирования микроавиационной системы начнем с приведения ее к простейшему линеаризованному виду.
1.3.3. Линейная технико-экономическая система второго порядка
Получить аналитическое решение данной нелинейной системы уравнений с запаздывающим аргументом невозможно. Это делает невозможным аналитический анализ функционирования микроавиационной системы, включая отыскание совокупности управляемых параметров, при которых она прибыльная или убыточная. Чтобы преодолеть данную трудность, введем упрощающие допущения (предположения). Начнем изучение системы на примере простейших моделей. Затем перейдем к более сложным.
Первое допущение: поток расходов δe пропорционален объему финансовых средств микроавиационной системы, т. е. D(t). В этом случае имеет место равенство D = τDδe(t). Это допущение принципиальное, так как переводит нелинейное уравнение (1.3) в разряд линейных. При этом, предполагая, что τD = const – коэффициент (размерность – время), характеризующий возможности реализации финансовых средств системой во времени, получим . Тогда первое уравнение в системе (1.3) запишется в виде
где δe0 = D0/τD – начальное значение δe(t) при t = t0.
При этом τD, имея размерность времени, характеризует инерционное запаздывание потока расходов δe(t) по отношению к потоку поступления δn(t). Введение инерционного запаздывания τD является параметризацией процесса, при котором сложная зависимость между расходами и имеющимися финансовыми средствами сводится к определению одного параметра τD. При этом мы вносим погрешность, которую не можем оценить без дополнительных исследований системы, например, методами параметрической идентификации.
Второе допущение связано с устранением чистого запаздывания в функциональном уравнении (1.6). Однако такой переход связан с введением дополнительного дифференциального уравнения, что создает условия для новых погрешностей модели. При этом происходит замена чистого запаздывания на приближенное инерционное запаздывание. С целью такой замены в (1.6) введем обозначение s = t – τ, тогда получим
δn(s + τ) = δp(s)[1 + П*(s)]. (1.10)
Предположив, что функция δn(s + τ) дифференцируемая, разложим ее в ряд Тейлора по степеням τ. Следующее важное допущение: функция δn(s) линейная относительно s, т. е.
δ*ss = δ*sss = … = 0.
Данное предположение нуждается в уточнении.
С учетом принятого допущения, имеет место следующая аппроксимация:
Дадим геометрическую интерпретацию записанного соотношения (1.11). На рис. 1.16 приведены известные понятия производной от функции δn(s). В точке s = t – τ имеет место δn(s) = 0 от кредита, выданного на время τ в момент времени t – τ = s. Мы вычисляем δn(t), т. е. δn в момент возврата кредита. В силу сказанного, из (1.12) следует
Рис. 1.16
так как δn(s) = 0. Здесь используется основное допущение, принятое выше, о дифференцируемости функции δn(t). В рамках данной модели мы находимся в дискретном пространстве. Переход к непрерывному множеству – очередное допущение, которое необходимо анализировать с позиции погрешностей итогового результата, например, при параметрической идентификации.
Подставив (1.11) в (1.10), заменяя s на t в силу произвольности s, получим
В общем случае нелинейная зависимость δn(s+τ) заменена линейной δn(s), а чистое запаздывание τ, свойственное системе, заменено на инерционное τk, свойственное динамической системе. Однако инерционное и чистое запаздывания не равны. При этом имеет место приближенное равенство
τ = 3τk,
которое следует из условия вхождения решения уравнения (1.13) в 5 %-ю полосу, т. е. совпадения.
В (1.13) выразим δp через δe, что позволит свести исходную систему к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, т. е. замкнутую систему.
Поток δr(t), согласно (1.5), состоит из ряда слагаемых, которые представим в следующей форме:
δзп = γ1δe; δн = γ2δe; δос = γ3δe; δпр = γ4δe,
где γ1, γ2, γ3, γ4 определяют доли, которые составляют от δe потоки δs, δТ, δса, δo соответственно.
Следовательно δr(t) = γδe, где γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4. При этом часть δe, равная δp = (1 – γ)δe, идет на компенсацию депозита, т. е. δg(t) и создание услуг, которые еще не оплачены, т. е. в некотором смысле на кредит, выдаваемый пассажирам под проценты П*.
При этом неравенство δp > 0 будет характеризовать функционально-экономическую устойчивость системы, поскольку величина δр характеризует объем средств, вкладываемых в организацию и проведение пассажироперевозок. Из соотношения δp = (1 – γ)δe > 0 следует неравенство δe > 0, что также характеризует функционально-экономическую устойчивость.
С учетом принятых допущений и полученных уравнений (1.9), (1.13) система примет вид
Эта система является замкнутой относительно δe(t) и δn(t). Одним из управлений служит параметр γ, определяющий долю затрат всех средств, кроме тех, что идут на организацию пассажироперевозок (грузоперевозок). Кроме того, П*(t) включен в управление системой, ее технико-экономическим потенциалом.
Система содержит два параметра τD и τk, характеризующие динамические свойства системы, и их следует идентифицировать. После этого система (1.14) будет описывать финансовые потоки изучаемой системы.
1.4. Анализ поведения системы
Сначала проанализируем статически равновесное состояние системы, когда δn и δe – постоянные величины. При этом = = 0. Тогда из (1.3) следует, что δe = δn, т. е. расход всегда равняется поступлениям, и это будет иметь место, если
(1 – γ)(1+П*) = 1, (1.15)
или доля расходов γ удовлетворяет условию
Обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τП. На рис. 1.17 представлен график зависимости (1.16).
Теперь, исключив величину δn из системы (1.14), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δe(t):
Рис. 1.17
После определения величины δe из уравнения (1.17) неизвестная величина δn может быть определена из первого уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления δn необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование δe приводит к появлению существенных погрешностей.
Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение
τDτkλ2 + (τD + τk) λ + [1 – (1 – γ)(1 + П*)] = 0, (1.18)
решения которого
Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта Δ корни λ1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:
a = τD + τk; b = 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + П*)].
Тогда А = a2 – b.
Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – τD или τk – отрицательна, и при этом τD + τk < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.
Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a2 и b дискриминант Δ может иметь разный знак.
Рассмотрим следующие случаи.
При a2 > b дискриминант Δ > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид
δe = exp(–at)[((c1 + c2)/2)exp(ct) + ((c1c2)/2)exp(–ct)], (1.20)
где c = = . Постоянные c1 и c2 зависят от начальных данных δe0 и и параметров системы следующим образом:
Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), Δ = a2 и λ12 = –a ± a, то есть λ1 = 0, λ2 = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде
δe = (c1 + c2) / 2+((c1 – c2) / 2)exp(–2at).
Равновесное состояние δe = (c1 + c2) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1=c2. Если же c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом
δe ≈ (c1+c2) / 2, (1.21)
а при t, стремящемся к бесконечности, условие δe=(c1+c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2. Таким образом, состояние δe=(c1+c2) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).
Рис. 1.18
При этом независимо от того, какое из неравенств – δe(0) > (c1+c2) / 2 или δe(0) < (c1+c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.21) становится более точным.
Поведение системы меняется при b ≠ 0. Если при этом условии a > 0 и c > 0, то для больших t, согласно (1.20), имеет место приближенная зависимость δe(t) ≈ ((c1+c2) / 2)exp[–(a – )t]. Здесь возможны следующие две ситуации: (a – ) > 0 и (a – ) < 0. Условие (a – ) > 0 выполняется при b > 0, тогда δe уменьшается с увеличением t, что говорит о снижении кредитоспособности микроавиационной системы. В противном случае, когда b < 0, кредитоспособность микроавиационной системы с течением времени возрастает (рис. 1.19). Отсюда следует, что условие b=0 при Δ > 0 характеризует критическое состояние, разделяющее области увеличения и падения кредитоспособности микроавиационной системы.
Рис. 1.19
При Δ < 0 корни характеристического уравнения (1.18) являются комплексными, и общее решение уравнения (1.17) записывается в виде
Постоянные h и Θ определяются из начальных условий по формулам
Из (1.22) следует, что в начальный момент времени микроавиационная система является кредитоспособной при выполнении неравенства δe(0)=hsinΘ > 0. Однако выполнение этого условия не означает сохранение кредитоспособности микроэкономической системы при любом t > 0. Как следует из (1.22), процесс изменения δe является колебательным с уменьшением амплитуды во времени (рис. 1.20). Поэтому при t, стремящемся к бесконечности, δe(t) стремится к 0, что говорит о падении кредитоспособности микроавиационной системы. Кроме того, в силу колебательного характера процесса для некоторых моментов времени tn, n=1,2,…, выполняется условие δe(tn)=0.
Таким образом, микроавиационная система обладает кредитоспособностью при любом значении t, если b < 0, поскольку при этом параметры банка γ и П* таковы, что (1 – γ)(1+П*) > 1 и Δ ≥ 0. В противном случае кредитоспособность микроавиационной системы со временем падает.
Рис. 1.20
Пример. Пусть при t=0 дано следующее начальное состояние: δe0=104 руб., =0. Согласно модели, микроавиационная система характеризуется параметрами τD, τk, П*, γ. Примем, что поступившие в данный момент времени денежные средства на различные цели полностью израсходуются через 6 суток. Тогда τD=2 сут. Кредит выдается на 30 суток, тогда τk=10 сут.
Пусть П=40 %, тогда П*=1/30. Параметр γ рассмотрим как управление. Он определяет долю изымаемых из оборота денег. Выбирая разные значения γ, получим разное поведение финансовых потоков микроавиационной системы. Сначала найдем значение γ, соответствующее равновесному функционированию банка, при котором δe=δe0=const. Согласно формуле (1.15), найдем γ=П*/(1+П*)=1/31. Таким образом, примерно 3,226 % денег используется в разных целях, а 96,774 % выдается в кредит. При этом микроавиационная система не расширяется, не разоряется, а находится в равновесном состоянии.
Далее рассмотрим два случая: γ=γ(1)=0,05 и γ=γ(2)=0,01. При этом a=0,3; b=b(1) 0,000917; b=(2) 0,001150. Соответствующие значения корней характеристического уравнения (1.18)
λ(1)1 –0,0015; λ(1)2=–0,5985, λ(2)1=–0,6019; λ(2)2=+0,0019.
В первом случае процесс описывается формулой
δe=104(1,0025e–0,0015t – 0,0025e–0,5985t),
где время t измеряется в сутках. При этом величины δe, следовательно, δn – убывающие и стремятся к нулю при t → ∞. Это означает, что микроавиационная система через некоторое время разорится.
Во втором случае процесс описывается функцией
δe=104(0,9918e–0,6019t+0,0032e0,0019t)
Здесь первое слагаемое величины δe быстро убывает, а второе медленно, но возрастает. Оба слагаемых положительные. Поэтому, хотя вначале величина δe будет убывать, и состояние микроавиационной системы будет ухудшаться, через некоторое время она начнет расширять свою деятельность. Параметры δe и δn будут возрастать.
1.5. Анализ исходной модели
Дополнив соотношения (1.3) дифференциальным уравнением (1.13), получим следующую систему уравнений:
где (1+A)=(1+П*) / τ, δk(t)=δp(t). Отметим, что при заданном значении δk(t) система (1.23), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции: D(t), δn(t), δe(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать δe(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа кредитной политики. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.
Система (1.23) включает в себя величину δk(t), т. е. кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства микроавиационной системы. При максимальном использовании финансовых ресурсов микроавиационной системы поток δk(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли и имеет, таким образом, следующий вид:
δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ),
где Aδk(t – τ) – прибыль в виде процентов по кредиту, отданных при (t – τ), γ1 – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент γ1, можно получать различные значения δk(t). При этом γ1 < 1, поскольку расходная часть δe(t) включает в себя и другие компоненты.
Рассмотрим введенные выше коэффициенты γ2, γ3, γ4 и γ5, характеризующие части дохода Aδk(t – τ), направленные на формирование финансовых потоков δзп(t), δн(t), δос(t) и δпр(t) соответственно, где δзп(t) – поток заработной платы; δн(t) – поток налогов; δос(t) – поток расходов на развитие основных средств; δпр(t) – поток средств на прочие расходы.
При этом получим
δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ);
δн(t)=γ3Aδk(t – τ); (1.24)
δос(t)=γ4Aδk(t – τ); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ).
Обозначим через γ=γ1+γ2+γ3+γ4+γ5. Если вся прибыль направляется в оборот, то γ=1, условие γ < 1 означает, что часть средств отправлена на накопление. В этом случае расходная часть δe в (1.23) должна включать в себя дополнительную компоненту δнакопл=Aδk(t – τ).
Соотношения (1.24) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности микроавиационная система, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например, это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через τ0. В общем случае τ0 имеет различные значения при передаче различных составляющих δe различными службами и отделами микроавиационной системы.
Рассмотрим частный случай, когда величина τ0 неизменна для всех подсистем. При этом соотношения (1.24) примут форму
δk(t)=(1+γ1A)δk(t – τ1); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ1); δн(t)=γ3Aδk(t – τ1);
δос(t)=γ4Aδk(t – τ1); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ1), (1.25)
где τ1=τ+τ0. Если при этом выполняется условие γ=1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда с учетом полученных зависимостей равенства (1.4) и (1.6) примут вид
δe(t)=γ*Aδk(t – τ,); δn(t)=(1+A)δk(t – τ,), (1.26)
где γ*=γ1+(1+γ2)+γ3+γ4+γ5 в общем случае не равно двум.
Преобразуем первое уравнение в (1.26). Для этого введем замену s=t – τ1 и разложим δe(s+τ1) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим δe(s+τ1)=δe(s)+(s)τ1. Тогда
Положим, что кредит выдан на срок, больший, чем одни сутки, запаздывание τ0 по проведению финансовых операций составляет не менее одних суток в силу выбранной системы отсчета. При этом система (1.23) с учетом (1.27) примет следующий вид:
где a1=–1 / τ, a2=–1 / τ1; τ ≥ 1; τ1 > 1. Система (1.28) содержит три уравнения и три неизвестных: D(t), δe(t) и δn(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств δk(t). При заданных начальных условиях D(t0), δe(t0) и δn(t0) система (1.28) имеет решение (τ ≠ 0; τ1 ≠ 0), если она совместна.
Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка
где
Q(t)=B1 – B2 – (B1a2 – B2a1)δk; B1=(1 / τ)(1+A);
B2=(1 / τ)1γ*A; m1=–(a1+a2); m2=a1a2; m3=0.
С учетом того, что m3=0, m1=const, m2=const запишем это уравнение в форме
или
Проинтегрировав (1.29), получим
где =0; =0. Окончательно имеем
где
Устойчивость полной модели
Применим модель (1.30) для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде:
где 2n=т1=(τ1+τ)/ττ1; k2=m2=1/ττ1; τ1=τ+τ0;
Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде
Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t0)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.
В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c1 exp(λ1t)+c2 exp(λ2t), где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения
λ2+2nλ+k2=0.
Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. λ1,2=–n ± , где (n2 – k2) > 0.
С учетом того, что 2n=(2τ+τ0)/(τ(τ+τ0)) и k2=1/(τ(τ+τ0)), разность n2 – k2={τ30 : [4τ(τ+τ0)]} > 0, поскольку τ > 1, τ0 ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.
Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при δk(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δe(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при δk(t)=0 выполняется условие δн(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять δн(t)=γ3Aδk(t – τ)+c1, где c1 – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.
С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде
где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D1(t)=[D0ch(λt)+(+nD0)sh(λt) / λ]e–nt в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для микроавиационной системы означает изменение оборотного капитала. В силу устойчивости системы (1.31) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:
С их учетом второе слагаемое D2(t) в (1.32) примет форму
Условия прибыльности и убыточности
Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:
– прибыльность > 0, где t1 – момент времени, начиная с которого микроавиационная система начала давать прибыль;
– убыточность < 0, где t2 – момент времени, начиная с которого микроавиационная система стала убыточной;
– крах [Ky(t0)+D(t3)] ≤ 0, где t3 – момент времени, начиная с которого капитал Ky(·) за счет оборотных средств D(t3) стал нулевым или отрицательным.
Очевидно, что для различных значений времени микроавиационная система может быть прибыльной либо убыточной до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение микроавиационной системы и прекращение ее существования.
Определим условия, при которых микроавиационная система является прибыльной. Для этого рассмотрим (1.32) и представим при нулевых начальных условиях в виде
Поскольку в данном выражении подынтегральная функция положительна, условие > 0 выполняется, если Q*(μ) > 0. Очевидно, при этом Q*(t) > 0 и, следовательно,
Осуществим в последнем неравенстве замену
Q(t)=(B1 – B2)(t) – (B1a2 – B2a1)δk(t),
при этом получим неравенство
Задача анализа прибыльности микроавиационной системы заключается, таким образом, в выборе такой совокупности параметров δk(t), τ, τ0, P1, γ1, γ2, γ3, γ4, γ5, при которой выполняется условие (1.33).
Процентная компенсация возможных технико-экономических потерь
Реальная возможность риска, возникающего при осуществлении пассажироперевозок микроавиационной системой обусловливает необходимость повышать процентную ставку П* (1.7) до значения П*1, зависящего от уровня риска потерь технико-экономического потенциала, который определяется вероятностью пропуска опасной ситуации или критической ситуации Р4, которая будет введена в главе II, и в дальнейшем будет представлен метод ее расчета. Итак, вероятность Р4 характеризует потери техники в аварии, катастрофе.
Приведем необходимые функциональные соотношения (математическую модель) учета вероятности Р4 при расчете процентной ставки П* в момент его выдачи, т. е. экономический эквивалент, компенсирующий риск системы.
Представим возвратные средства Dв в виде
где 360 – условное количество дней в году.
Обозначим через pi вероятность, с которой в микроавиационную систему может поступить сумма Dвi, составляющая k% от величины Dв.
Величина Dвi представляет собой дискретную случайную величину, принимающую возможные значения Dв1, Dв2, …, Dвn с вероятностями p1, p2, …, pn, . Математическое ожидание M [Dв] вычисляется по известной формуле
Выделим частный случай, когда n=2, причем величина Dв принимает свои граничные значения: полный возврат и полный невозврат. Вероятности этих двух событий равны соответственно (1 – P*4) и P*4. При этом, как следует из (1.34),
M[Dв]=(1 – P*4)Dв+P*4 · 0,
а формула для суммы средств, возвращаемых в микроавиационную систему, примет следующий вид:
где D – исходная величина финансовых средств (кредита); P*4 – вероятность невозврата финансовых средств; П(t – τ) – процентная ставка, назначенная с учетом его потерь; τ – срок возврата кредита (в днях). В дальнейшем будем называть D финансовыми средствами или кредитом, полученным эксплуатирующей организацией.
Отметим, что P*4=P4· P'4, где P'4 – вероятность того, что D(t) пропали во время реализации проекта, чему соответствует событие Dв(t) ≤ 0. Здесь имеет место вероятность P4, подлежащая вычислению.
В условии отсутствия риска кредит возвращается микроавиационной системе с процентами, ставка которых равна П0(t – τ). При этом общая сумма возвращаемых средств Dв0 выражается следующей зависимостью:
Компенсация потерь, связанных с опасностью невозврата заемщиком кредита в данной сделке, имеет место при наличии условия M[Dв]=Dв0. Воспользовавшись для данного равенства формулами (1.35) и (1.36), получим
Введем обозначения
Тогда равенство (1.37) примет вид
Из последнего соотношения легко определить искомую величину – ставку процента, который должна взымать микроавиационная система с целью возмещения своих убытков:
Данная величина всегда положительна, поскольку вероятность P*4 меньше единицы.
Если рассматривать выплачиваемый процент за кредит в качестве цены кредита, то зависимость (1.38) и являет собой формулу кредитного ценообразования микроавиационной системы в условиях наличия риска невозврата кредита. Представим формулу (1.38) в виде
откуда следует, что процентная ставка кредита, которая по сути и фиксирует его цену, в условиях риска невозврата кредита увеличивается с ростом P*4 со следующим коэффициентом пропорциональности
который назовем коэффициентом увеличения цены Ц. График зависимости этого коэффициента от вероятности (риска) невозврата кредита P*4 приведен на рис. 1.21. Из графика видно, что процент за «рисковый» кредит значительно увеличивается при росте вероятности невозвращения кредита.
Рис. 1.21
Поскольку
то величина приращения кредитного процента будет иметь вид
Таким образом, наличие риска невозврата кредита приводит к необходимости повышения относительного кредитного процента на величину, нелинейно увеличивающуюся при росте вероятности невозврата. При стремлении данной вероятности к единице наблюдается резкое увеличение кредитного процента (см. рис. 1.21).
Если же величина выбирается не из условия (1.37), а большей, то прибыль микроавиационной системы увеличивается. Однако при этом микроавиационная система рискует потерять клиента, который формирует колличественно пассажиропоток. Приращение кредитного процента является «премией микроавиационной системы за риск непогашения».
Таким образом, задача определения процентной компенсации возможных потерь микроавиационной системы свелась к отысканию вероятности невозврата кредита P*4=P4· P'4.
1.6. Выплаты в условиях риска невозврата средств
При возврате кредита заемщик выплачивает микроавиационной системе сумму Dв, определяемую соотношением
В эту сумму включены как размер самого кредита, так и начисленные по нему проценты. Подставив в (1.40) выражение (1.38) для относительной процентной ставки, исчисленной с учетом риска невозврата, получим формулу
При этом общая сумма, которая должена возвратиться в условиях безрискового кредита, равна
С учетом последней зависимости формула (1.41) примет следующий вид:
Таким образом, возвращаемая сумма в условиях риска увеличивается по сравнению с условием отсутствия риска в k раз, где
Функция k=k(P*4) (рис. 1.22) терпит разрыв второго рода при P*4=1. При этом сумма выплаты микроавиационной системы стремится к бесконечности, поскольку вероятность невозврата приближается к единице (превращая частичный невозврат в полный).
На рис. 1.22 приведены различные зоны риска l1, l2, l3 (отметим, что такое разбиение условно). Их рассмотрение позволяет предложить следующие рекомендации. До значения P*4=0,3 микроавиационная система компенсирует риск, повышая общую величину возвращаемой заемщиком суммы не более, чем на 40 % по сравнению с безрисковым кредитом. В дальнейшем будем считать такой риск «мягким», в том смысле, что угроза потери кредита не слишком велика, а увеличение цены кредита находится в допустимых пределах.
В том случае, когда P*4 находится в пределах [0,3; 0,6], значительно возрастает не столько сам риск, сколько сумма возврата. Так, уже при P*4=0,5 общая величина возвращаемой пассажирами суммы будет в два раза больше по сравнению с безрисковым кредитом.
Если же P*4 > 0,6, то кредитный процент и сумма, подлежащая выплате, достигают нереальных размеров. Поэтому риск невозврата кредита, превышающий значение 0,6, будем считать недопустимым и называть «критическим». Таким образом, величину 0,6 будем в дальнейшем использовать в качестве критической, а все расчеты производить из условия P*4 ≤ 0,6.
Рис. 1.22
Отметим, что полученные модели ценообразования в условиях риска включают в себя неявным образом наличие инфляции, что особенно актуально для современных условий функционирования микроавиационной системы. Этот факт нашел отражение в исходном условии компенсации потерь (1.37), так как ставка безрискового кредитного процента исчислялась с учетом инфляции. Следовательно, ставка кредитного процента , вычисленная с учетом риска, включила в себя инфляцию через , с которой она непосредственно связана (см. (1.38)). Более того, в высокоинфляционной ситуации ставка фактически близка к относительному проценту инфляции и непосредственно влияет на ставку рискового кредитного процента. Для пояснения сказанного рассмотрим следующий иллюстративный пример.
Пусть безрисковая кредитная процентная ставка составляет 200 процентов в год и складывается из инфляционной составляющей, равной 190 процентам, и безинфляционной, равной 10 процентам. При этом мы исходим из простейшей модели суммирования ставок. Тогда относительная процентная ставка равна 0,2. Допустим, что расчетное значение вероятности P*4 находится на уровне 0,2. Тогда, согласно формуле (1.39), величина относительного кредитного процента равна 2,0+0,8·(1+0,2)/(1 – 0,2)=2,75. Таким образом, в данном случае микроавиационная система вправе назначать процентную ставку П=275 %. Рассмотрение этого примера при отсутствии инфляции (инфляционная составляющая кредитного процента равна нулю) дало бы следующие значения величин: =0,1; =0,375; П=37,5 %.
Влияние инфляции на величину возвращаемого кредита в условиях риска невозврата проявляется через безрисковый возврат, который, как видно из формулы (1.42), непосредственно зависит от безрисковой ставки , содержащей инфляционную составляющую. В зависимости от соотношения процента инфляции и процента риска тот или иной фактор способен оказывать решающее воздействие на цену кредита.
1.7. Технико-экономические потери на этапе создания новых объектов
В процессе разработки показателей технико-экономического риска для самолета необходимо учитывать все четыре этапа его жизненного цикла. На первом этапе учитывается роль науки; на втором этапе – роль конструкторско-проектных работ; на третьем – роль технологических процессов производства самолета; на четвертом – проблема эксплуатации и, прежде всего, обеспечения безопасности и оптимальности полета. При этом величина технического риска есть интегральная характеристика, обусловленная потерями, для компенсации которых на самолетах устанавливают системы оптимизации режимов пилотирования (СОРП), системы предупреждения критических режимов (СПКР).
1.7.1. Этап научно-исследовательских работ. Модели процессов
На этапе научно-исследовательских работ, cвязанных с созданием самолета, мы работаем, как правило, с математическими моделями. При этом мы имеем дело с двумя видами моделей проектируемого самолета: М1 и М2 (рис. 1.23). Модель М1 описывает функционирование реального объекта, М2 – модель, принятая при расчетах.
Для рассматриваемой ситуации
x(t)=Ψ(z, A, W, V, t), y(t)=Ψ1(z, A, δ, t),
где x(t); y(t) – выходные процессы для реального объекта и для математической модели соответственно; z(t) – входной заданный (известный) процесс, используемый для анализа; Ψ, Ψ1 – операторы, описывающие модели М1 и М2 соответственно; δ(t) – погрешность модели или метода, разработанного в теории; А – вектор заданных параметров, в том числе случайных возмущающих факторов; W, V – соответственно внешние и внутренние возмущающие факторы.
Рис. 1.23
О свойствах вектора x(t) на начальном этапе научно-исследовательских работ, как правило, мы имеем мало информации, но можем предположить, что в общем случае хi(t) ≠ yi(t) . При этом x(t) есть фактическое значение параметров состояния объекта хф в силу того, что в модели М1 учтены все внутренние и внешние возмущающие факторы и особенности систем, его насыщающих. При этом процессе y(t) получен на выходе модели М2, которую нам дала теория (наука). Именно этой моделью мы владеем и пользуемся при проведении научно-исследовательских работ, а на выходе ее имеем y(t) – расчетный или оценочный процесс. В этой модели учтена только часть внешних и внутренних возмущений (факторов), следовательно, модель М2 приближенно описывает изменение параметров ее состояния во времени. Имея в виду сказанное, получим показатель научно-исследовательского риска.
Пусть параметр х проектируемого объекта ограничен сверху величиной хвдоп (рис. 1.24). При этом справедливо x ≤ xвдоп, а G1 есть область допустимых значений х. В качестве такого параметра могут выступать, например, километровый расход топлива q, перегрузка, угол атаки. Ограничение на х может быть и снизу, т. е. ограничение для минимального значения, например дальности полета L, прибыли инвестиционного проекта. При этом должно выполняться условие x ≥ xндоп, и область допустимых значений х есть G2 (рис. 1.25).
Рис. 1.24
Рис. 1.25
При проведении научно-исследовательских работ параметры динамической системы выбираем таким образом, чтобы выполнялось условие x ≤ xвдоп или x ≥ xндоп. Такой подход возможен, если х известно и детерминировано. Однако это не так в силу того, что объект (самолет) подвержен возмущающим факторам как внутреннего, так и внешнего происхождения. В этих условиях параметр состояния х представляет собой случайный процесс. При этом у имеет вид y(t)=x(t)+δ1x и также является случайным процессом, где δ1x – погрешность оценки. За счет δ1x мы обязаны ввести запас Δв=xвдоп – (xoдоп)в или Δн=(xoдоп)н – xндоп (рис. 1.26).
Рис. 1.26
В силу случайности δ1х, у, х возможен ряд событий, представляющих собой потери инвестора (случай ограничения сверху, например, по расходу топлива):
A1=(x ≥ xвдоп; y ≤ (xoдоп)в), A2=(x ≤ xвдоп; y ≥ (xoдоп)в),
A3=(x ≥ xвдоп; у ≥ (xoдоп)в).
Вероятности этих событий
P1=P(A1)=P(x ≥ xвдоп; y ≤ (xoдоп)в),
P2=P(A2)=P(x ≤ xвдоп; у ≥ (xoдоп)в),
P3=P(A3)=P(x ≥ xвдоп; y ≥ (xoдоп)в).
Вероятность Р1 представляет собой численную величину того, что расчетный параметр фактически выполненного объекта будет превышать его допустимое значение, что неприемлемо либо по экономическим признакам, либо из условий безопасности эксплуатации объекта.
Вероятность Р2 представляет собой число, характеризующее следующее событие: объект забракован из-за невозможности удовлетворить ограничениям на параметр х, хотя эти ограничения для реального объекта выполняются.
Вероятность Р3 представляет собой событие, связанное с невозможностью удовлетворения ограничений, накладываемых на параметр х, т. е. разрабатываемый проект не может быть реализован, а средства, затраченные на проведение научно-исследовательских работ, есть убытки, которые представляют риск инвестора.
Вероятность Р1 назовем вероятностью принятия убыточного проекта, вероятность Р2 – отклонением прибыльного проекта, вероятность Р3 – отклонением убыточного проекта. В совокупности Р1, Р2 и Р3 являются показателями научно-исследовательского риска, т. е. Рнр=(Р1, Р2, Р3).
1.7.2. Технико-экономический риск на этапе проектирования. Нормативные величины
Развитие методов проектирования с учетом требований экономичности и безопасности полетов получило развитие только в последнее время и еще не достигло должного уровня. В результате иногда наблюдается либо перерезервирование в некоторых системах, т. е. утяжеление и удорожание самолета, либо, наоборот, вводятся конструкционные несовершенства, которые снижают эксплутационные качества самолета. И те, и другие недостатки приходится устранять в процессе испытаний и доводки самолета, что существенно увеличивает цикл его создания и стоимость разработки, т. е. ведет к большим потерям и соответственно увеличивает технический риск.
Управление техническим риском, как правило, осуществляется с целью минимизации его численной величины. Процесс минимизации осуществляется различными способами и в различной степени на всех стадиях жизненного цикла летательного аппарата. Существенно здесь то, что величина потерь характеризуется сочетанием этапа полета, типа или вида внутренних и внешних возмущающих факторов, характерных для ожидаемых условий эксплуатации. Под характерными ожидаемыми условиями эксплуатации подразумевается состояние внешней среды (барометрическое давление, температура наружного воздуха, направление и скорость ветра т. п.) и эксплуатационные факторы (возможные конфигурации самолета, масса и центровка самолета, режим работы двигателя и т. п.). При этом суммарный риск также обусловлен внутренними возмущающими факторами, источниками которых являются пилот, функциональные системы обеспечения полета, их отказы и погрешности [4].
На рис. 1.27 представлено разделение суммарного технического риска Р(z) на две категории: Р(А) – потери, обусловленные появлением опасных режимов пилотирования и связанным с ними выходом из строя (полного или частичного) двигателя самолета, его бортовых систем; Р(В) – экономические потери, обусловленные, например, перерасходом топлива. Каждая из составляющих Р(z)=P(A)+P(B) разбивается на P(A)=Р1i и P(B)=P2i , согласно количеству этапов полета [том I].
Наиболее опасным этапом является посадка. Этот этап мы рассмотрим в плане управления техническим риском. Одним из главных моментов планирования и координации работ по летной годности самолета является выбор тех показателей, которые будут являться критериями обеспечения требуемого качества, свойств и условий летной годности на рассматриваемом этапе проектирования.
Рис. 1.27
При эскизном проектировании в этом процессе можно выделить четыре основных этапа.
1. Распределение заданных (допустимых, расчетных) показателей между функциональными системами и комплексами проектируемого самолета.
2. Распределение показателей между подразделениями-разработчиками функциональных систем с целью более оперативного управления показателями внутри подразделения, ответственного за проектирование нескольких систем.
3. Выполнение экспресс-анализа показателей риска.
4. Определение допустимых вероятностей, в том числе функциональных отказов.
Рассмотрим этап посадки. Отметим что, как правило, на этом этапе потерями топлива пренебрегают. При анализе риска в процессе посадки выявляются возможности реализации опасных условий полета. Этот фактор риска при посадке учитывает возможность приземления за пределы взлетно-посадочной полосы, наличие избыточной вертикальной, боковой или продольной составляющих скорости полета и ситуацию, требующую уход на второй круг после срыва захода на посадку. В нижеследующей таблице приведены значения вероятностей выхода параметров движения за критические значения для самолета ТУ-154М с АБСУ-154-3 (здесь ВПП – взлетно-посадочная полоса).
В колонке «в среднем» даны вероятности событий в предположении, что все случайные параметры замкнутого контура управления изменяются в соответствии со своими законами распределения. В колонке «в предельном случае» даны вероятности событий, когда один из случайных параметров находится на своем предельно допустимом значении, а все остальные изменяются в соответствии со своими законами распределения.
На рис. 1.28 приводится детализация составляющих суммарной вероятности катастрофы, обусловленной наличием систем (посадка в автоматическом режиме) при посадке. При этом роль отказов бортового оборудования (внутренние возмущающие факторы) чрезвычайно велика и сравнима со всеми остальными возмущающими факторами, вызывающими реализацию опасных траекторий движения с выходом в критическую область.
Рис. 1.28
На рис. 1.29 представлены составляющие суммарного риска при заходе на посадку самолета по категории II. На этом этапе полета отказы систем играют важную роль, и потому их выделяют отдельной величиной, которая при проектировании должна быть заданной для всех подсистем обеспечения захода и выполнения посадки.
Рис. 1.29
1.7.3. Производственно-технологический этап. Погрешности производства
Как правило, траектория полета, соответствующая, например, максимальной дальности полета L, характеризуется совокупностью параметров, расчетные значения которых обозначим у5=уопт=(у51, у52, …, у5m) (рис. 1.30). Например, у51=Н – расчетная (оптимальная) высота полета; у52=M – расчетное (оптимальное) число Маха; у53=G – вес самолета; у54=хт – положение центра тяжести; у55=K – числовое значение качества (K=Су/Сх); Су, Сх – коэффициенты подъемной силы и сопротивления. При этом L=f(уопт)=f(у5).
В процессе полета задача состоит в обеспечении равенства у4=у5, где у4=(у41, у42, …, у4m), у4i – параметры траектории, измеренные с помощью бортового оборудования. Будем рассматривать также вектор у3=уф=(у1ф, …, уmф) фактических значений параметров траектории в данном полете в каждый из моментов времени t.
Рис. 1.30
На рис. 1.30 обозначения: ИИС – информационно-измерительная система, САК – система автоматического контроля.
Таким образом, выделены векторы (см. рис. 1.30):
– оптимальные параметры (при отсутствии погрешностей расчета);
у=урас – расчетные оптимальные параметры траектории, полученные на этапе проектирования научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ;
у1=уп– параметры, реализованные с учетом погрешностей производства планера и двигателя (сх, су, …);
у2 – параметры, реализованные с учетом предполетной подготовки;
у3=уф – фактические параметры траектории, реализованные в данном полете;
у4=уизм – измеренные в полете параметры траектории;
у5=уопт – оптимальные параметры траектории, полученные с помощью системы оптимизации режима полета (СОРП) в данный момент времени.
Согласно приведенной схеме, общая (суммарная) погрешность включает в себя следующие погрешности:
Δy0=(y – ) – методов расчета;
Δу1=(у1 – у) – вносимые при производстве планера и двигателя;
Δу2=(у2 – у1) – предполетной подготовки;
Δу3=(у3 – у2) – обусловленные влиянием внешних возмущающих воздействий;
Δу4=(у4 – у3) – вносимые системами измерения и контроля;
Δу5=(у5 – у4) – связанные с несовершенством СОРП.
Таким образом, суммарная погрешность выдерживания (обеспечения) оптимальной дальности составляет .
В полете с помощью систем ручного или автоматического управления вектор погрешностей Δу стремятся свести к нулю. Запишем вектор Δу иначе:
Δу=Δупп+Δубо+Δувв+Δум+Δуорт+Δуэ,
где Δупп – погрешности по причине несовершенства производства планера и двигателя летательного аппарата; Δубо – погрешности измерения параметров траектории (погрешности бортового оборудования); Δувв – отклонения у, обусловленные внешними возмущениями; Δум – методическая погрешность выдерживания у из-за неточностей расчетных методов; Δуэ – погрешности, обусловленные эксплуатационными факторами, в том числе их неблагоприятным сочетанием; Δуорт – погрешности, связанные с несовершенством СОРП.
При этих условиях необходимо разработать методику расчета численных величин показателей технического риска (инвестиционного риска), включающую построение моделей функционирования подсистем (1–7) (рис. 1.30), являющихся источниками отдельных компонент вектора погрешностей Δу=(Δу1, …, Δу5) [18].
Способы решения задачи различны в случаях, если исследуемый ЛА находится на стадии проектирования или на стадии эксплуатации. В случае, когда ЛА находится в эксплуатации, есть возможность получить статистический материал о случайном процессе Δу, например, в виде плотности вероятностей W(Δу, t). Однако при таком подходе невозможно вскрыть влияние отдельных подсистем (1–7) (рис. 1.30) на величину Δу, т. е. оценить влияние производства, систем контроля, системы управления (в том числе пилота), следовательно, и их влияние на величину технического риска.
На этапе проектирования необходимо установить зависимость или построить математические модели между входами и выходами каждой из подсистем (1–7), а также модели погрешностей, порожденных каждой из этих подсистем. Полностью описать процессы от подсистемы (1) до подсистемы (7) достижения конечной цели полета – максимальной дальности – затруднительно, поэтому в некоторых моделях необходимо использовать результаты экспериментальных исследований для введения эмпирических соотношений в математические модели. Такой метод расчета численных величин показателей технического риска не позволяет получить окончательные результаты чисто теоретическим путем. Однако предлагаемый ниже метод дает возможность выделить задачи, которые решаются чисто расчетным или чисто экспериментальным путем, тем самым обеспечивая целенаправленное проведение экспериментальных исследований, а также уменьшение их объема.
К задаче перераспределения погрешностей производства
Блок-схема совокупности систем, оказывающих влияние на потери инвестора, представлена на рис. 1.31 (СУ – система управления). Здесь рассматривается полет на максимальную дальность Lmax. Основная система автоматического контроля – САК-1, задачей которой является измерение фактических значений параметров траектории движения хф в полете. С одной стороны, погрешности δ1 измерения хф приводят к существенным потерям, например, расхода топлива, с другой – система автоматического контроля САК-2 регламентирует погрешности δ2 изготовления: обводов аэродинамических поверхностей конструкции ЛА, деталей двигателя и других систем самолета. В результате расчетная дальность полета Lp=f1(R*x, x, …), где расчетная величина сопротивления R*x определена без учета погрешностей δ1, δ2.
Рис. 1.31
Для фактической дальности полета имеем Lф=f3(, xiизм, …) , где фактическая величина сопротивления представляет собой функцию вида =f4(xiф(δ1), δ2, …); δ1=f5((δxi)o, (δxi)ин, (δxi)м, …); δ2=f6(Δψ, …); (δxi)o – начальная погрешность измерения; (δxi)ин– инструментальная погрешность измерения; (δxi)м – методическая погрешность измерения; Δψ – погрешности производства.
Таким образом, согласно физической сути процессов, погрешности δ1 и δ2 функционирования САК-1 и САК-2 приводят к одной и той же итоговой погрешности, а именно к уменьшению оптимальной (максимальной) дальности на величину ΔL=Lф – Lp=f7(δ1, δ2, …). Уменьшая погрешности δ1, δ2 до нуля, можно достичь теоретически ΔL 0. Однако практически это невозможно по техническим и экономическим причинам.
В рассматриваемой ситуации для решения проблемы формирования замкнутого контура необходимо определить соотношения между δ1 и δ2, т. е., по существу, определить что первично, и что нужно уменьшать, чтобы при малых затратах на производство планера и двигателя, с одной стороны, и бортового оборудования – с другой, достичь Lp с погрешностью в заданных пределах.
Для решения этой проблемы нужен показатель, характеризуемый численной величиной, с помощью которого учитывается роль каждой из погрешностей δ1, δ2. В качестве такого показателя выберем вероятности Р1(А1), Р2(А2), Р3(А3), приведенные выше, которые в рассматриваемом случае запишем в виде
где Lизм=Lф+δ1Lизм, Lф=М{Lф}+ΔL(δ1, δ2).
Используя (1.43), можно показать, что, уменьшая погрешности δ2 производства аэродинамических поверхностей и увеличивая погрешности функционирования информационно-измерительных систем параметров траектории движения δ1, или наоборот, можно обеспечить условие Рi=const. Отметим, что увеличение погрешностей δ2 производства ЛА снижает его стоимость, а уменьшение δ1 повышает стоимость информационно-измерительной системы.
Таким образом, введен показатель, представляющий возможность обоснованно назначать допустимые величины погрешностей производства геометрических размеров ЛА, а в необходимых случаях перераспределять погрешности δ1 и δ2, обеспечивая заданные значения Рi (i=1,2,3), а в итоге показатели риска, в том числе финансовые потери.
При разработке математических моделей, при вычислении Pi(Ai), как правило, рассматривают следующие задачи.
1. Выбор и обоснование математической модели для данных условий.
2. Получение коэффициентов выбранной модели.
В зависимости от свойств среды, геометрии самолета, конкретных условий движения, а также от свойств и точности информации, получаемых на выходе таких моделей, они описываются с различной степенью детализации, как правило, с помощью дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных.
В некоторых ситуациях процесс создания моделей представляет собой многоэтапную процедуру. Так, модели самолета, двигателя и его систем, создаваемых с учетом летчика в контуре управления самолетом, оцениваются путем автоматизированного прогона их на ЭВМ с целью получения набора характеристик (времени разгона и торможения самолета, статической и динамической устойчивости и управляемости и т. п.) [37, 38]. В дальнейшем эти вычисленные характеристики сравниваются с эталонными, полученными путем обработки результатов летных испытаний. Ключевой в этих исследованиях является цифровая модель действий летчика при управлении самолетом [14, 30].
Рассмотрим модель для оценки экономического риска на структурно-функциональном уровне, которую можно представить обобщенно в следующем виде (рис. 1.32).
Рис. 1.32
Ясно, что с целью снижения экономических потерь на этапе эксплуатации ЛА необходимо выбрать такие модели на этапе НИР и ОКР, которые обладают минимальными ошибками. Возникает противоречие между требуемой точностью модели и затратами на ее создание, разрешить которое можно, используя показатели технико-экономического риска, включающие затраты на проведение НИР и ОКР, которые повышаются при использовании высокоточных моделей. При этом доходы от эксплуатации также повышаются в связи с повышением точности полученных результатов по выбору параметров как самой системы, так и параметров траектории движения.
Так, в рамках решаемой задачи обеспечения оптимальной дальности полета необходимо учитывать все этапы и соответствующие режимы полета, т. е. рассматривать системный принцип проектирования, производства и эксплуатации (системная авиация).
1.8. Технико-экономические потери на этапе эксплуатации
Анализ причин возникновения и способов нейтрализации риска в процессе эксплуатации ЛА позволяет сформулировать следующее:
– уровень риска в полете на современном ЛА определяется уровнем свойств и состоянием всего авиационного комплекса, включая: ЛА, экипаж, бортовые системы управления ЛА и обеспечение жизнедеятельности, наземные средства руководства полетом;
– необходимый уровень риска обеспечивается высоким уровнем знаний характеристик ЛА и условий полета, в том числе состояния среды, в которой протекает полет;
– при рассмотрении проблем моделирования риска необходимо учитывать характер многих закономерностей, имеющих место в процессе функционирования авиационного комплекса;
– ведущая роль в благоприятном завершении полета принадлежит системе «ЛА – экипаж».
Эксплуатационный риск – векторная величина, т. е. многомерная характеристика, каждая компонента которой оценивается разными службами, людьми (организующими полет или участвующими в нем) различным образом. При этом эксплуатационный риск включает в себя следующие виды рисков:
– производственные, связанные с исполнением конструкции ЛА, двигателя и бортового оборудования;
– технические, связанные с бортовым оборудованием, которое обеспечивает предотвращение выхода из области допустимых состояний;
– финансовые, обусловленные превышением фактических эксплуатационных расходов над расчетными или оптимальными, в том числе из-за расхода топлива;
– обусловленные наличием недостоверных характеристик ЛА и рекомендаций по управлению им;
– обусловленные наличием недостоверных характеристик возмущающих факторов, в том числе в среде, в которой протекает полет.
Каждая из указанных компонент риска может быть разбита еще на ряд составляющих. Разбиение зависит от поставленной задачи, степени детализации конечных результатов по оценке влияния отдельных систем ЛА на величину риска.
Важной составляющей риска является уровень знаний характеристик ЛА, его систем бортового оборудования, систем наземного комплекса, с помощью которых осуществляются взлет, посадка, полет по эшелонам. Отказы авиационной техники, ошибки летного состава, непредусмотренные расчетами воздействия среды на ЛА, чаще всего обусловлены влиянием множества случайных факторов, неполный учет которых приводит к случайным непредвиденным исходам в полете.
При решении различных практических задач, принятии различных управленческих (проектных) решений можно учитывать все новые и новые группы факторов: от самых существенных до самых ничтожных, тем самым пытаясь уменьшить роль (предотвратить появление) случайного (ничтожного, неосознанного) фактора. Однако полностью исключить влияние таких факторов невозможно, так как человеческие знания относительны, и каждому уровню познаний соответствуют свои погрешности. Кроме того, часто глубина наших исследований ограничивается финансовыми возможностями.
Подводя итог сказанному, сформулируем следующее определение: технический риск есть интегральная характеристика потерь, реализованных за весь жизненный цикл самолета или самолетов данного класса.
Потери топлива и техники в процессе эксплуатации ЛА являются основными потерями для современных ЛА, о чем свидетельствует анализ материалов их эксплуатации. Для компенсации (минимизации) этих потерь на новейших самолетах, например на авиалайнерах, устанавливаются:
– для экономичного расхода топлива – системы оптимизации режимов пилотирования (СОРП);
– для уменьшения потерь материальных и социальных (человеческих жертв) – система предупреждения критических режимов (СПКР).
Система оптимизации режимов пилотирования позволяет вычислить при заданных свойствах планера и двигателя, конфигурации самолета оптимальные параметры траектории полета, при которых достигается максимальная (оптимальная) дальность полета L или минимальный расход топлива . В случае, когда параметры траектории полета отличаются от оптимальных, например, при отсутствии системы оптимизации режимов пилотирования, и топливо расходуется неоптимально, происходят потери, что обусловливает соответствующий риск [47]. В реальных условиях на ЛА могут быть установлены:
– только система оптимизации режимов пилотирования;
– только система предупреждения критических режимов;
– одновременно обе системы.
Рассмотрим, как в процессе проектирования самолета, имеющего СОРП, формируется показатель риска, связанный с достижением или недостижением максимальной дальности полета. Заданное по техническому заданию значение дальности полета (L) – это то ее значение, которое имеет место быть, когда математические модели, методы расчетов и проектирования не имеют погрешностей. Обозначим эту величину Lкр – критической, равной максимальному значению дальности полета ЛА.
При проектировании мы получаем расчетную величину дальности полета Lр. Если бы методы расчета и математические модели не обладали погрешностями, то Lр=Lкр. В реальности за счет погрешностей расчета δLр имеем Lр=Lкр+δLр, т. е. Lр ≠ Lкр. Равенство имеет место, когда M{δLр}=0, где M{δLр} – математическое ожидание случайной величины δLр. При этом имеем M{Lр}=Lкр.
При проектировании с целью обеспечения заданной (максимальной) дальности полета выбираются необходимые параметры самолета (обозначим их через А). За счет ошибок δLр мы можем выбрать параметр ЛА с ошибками δА. Прогнозирование и оценка такой ситуации важны для инвестора, так как расходы на работы в этом случае могут не окупиться. Они могут возрасти после проведения опытно-конструкторских работ, когда этот факт обнаружится.
Погрешность расчетов δLр представим в виде: δLр=δL1+δL2, где δL1 – погрешность, обусловленная расчетами аэродинамических сил Rx, Ry, Rz и другими факторами, влияющими на Rx, Ry, Rz; δL2 – погрешности, обусловленные несовершенством алгоритмов оптимизации, построенных на этапе научно-исследовательских работ, включающих погрешности контроля, стабилизации и управления. Отметим, что погрешности существующих методов расчета аэродинамических характеристик достигают 10 %.
На этапе опытно-конструкторских работ уточняется Lкр=Lmax, и после экспериментального полета получают величину, равную . При этом =Lp+δL0, где δL0 – погрешность дальности полета, обусловленная влиянием погрешностей опытных образцов бортового оборудования, двигателя, конструкции самолета.
В процессе производства каждая из подсистем: планер, двигатель, бортовое оборудование изготавливаются с погрешностью δn, и в результате для идеальных условий эксплуатации получаем Lп, которая включает в себя погрешность δLп, и тогда Lп=Lр+δLп.
При эксплуатации ЛА за счет влияния внешних δВ1 и внутренних δВ2 возмущающих факторов получаем эксплуатационную или фактическую дальность полета вида Lф=Lп+δLэ(δВ1, δВ2). Погрешности δLр, δLп, δLэ являются случайными, каждая из них характеризуется своей плотностью вероятности. При этом фактическое значение Lф совпадает со значением, полученным при эксплуатации.
При таких условиях технический риск, имеющий место при проведении опытно-конструкторских работ, будет связан с теми ситуациями, которые возникают в процессе их выполнения, а именно:
А1=(Lф < Lкр, Lр ≥ Lдоп), А2=(Lф ≥ Lкр, Lр < Lдоп),
А3=(Lф < Lкр, Lр ≤ Lдоп), А4=(Lф ≥ Lкр, Lр > Lдоп).
В результате искомые вероятности будут включать Р1=Р(А1); Р2=Р(А2); Р3=Р(А3), Р4=Р(А4). Вероятность Р2 соответствует тому, что мы отвергли экономически выгодную конструкцию (объект); Р1 – приняли к исполнению вариант ЛА, который не подтверждает возможность достижения поставленной цели; Р3 – получили отрицательный результат, что обусловило потери, связанные в данном случае с расходами проведения опытно-конструкторских работ; Р4 – принято правильное решение.
Пусть ставятся следующие задачи: обеспечение одновременно оптимизации режимов пилотирования с целью снижения потерь расхода топлива, а также предупреждение критических режимов пилотирования с целью минимизации потерь техники и расходов на ремонт ее в послеаварийный период.
Пусть контролю и ограничению подлежат n параметров х1, х2, …, хn траектории полета самолета и состояния внутренних систем. В этом случае с помощью системы предупреждения критических режимов мы планируем осуществить предупреждение режимов полета, при которых параметры хi принимают критические значения.
При этом финансовые (материальные) потери, обусловленные возникновением событий Bi=(xi > xiкр), где xiкр – критическое значение параметра xi, обозначим через αip. В процессе проектирования мы можем оценить стоимость Цi и массу mi такой системы. Управление расходом топлива будем осуществлять с помощью системы оптимизации режимов пилотирования. Суммарная стоимость (ЦΣ) СПКР, СОРП и их масса (mΣ) зависят от объема обрабатываемой информации, в том числе от количества контролируемых, ограничиваемых и управляемых параметров xj.
Итак, задача состоит в оптимизации ψ=(α*, , ЦΣ, mΣ). Трудность решения такой задачи заключается в том, что для минимизации (α*, ) необходимо контролировать все параметры хi траектории полета, в том числе возмущающие факторы, например ветер. С другой стороны, для минимизации (ЦΣ, mΣ) требуется ограничивать количество параметров хi . Это противоречие сегодня решается конструкторами ЛА, СПКР, СОРП путем анализа потребностей рынка и возможностей производственно-технологической базы авиастроения. Возможно, такой подход оправдан. Однако необходимо иметь аналитические методы, позволяющие проводить анализ технического риска.
Согласно приведенной схеме процесса создания и эксплуатации пассажирского самолета, необходимо обеспечить заданную величину прибыли Z5=Z (рис. 1.11). В качестве критической величины прибыли выступает Zкр=0, т. е. когда прибыль равна нулю. В рамках рассматриваемой задачи прибыль Z зависит от расхода топлива () и потерь техники (α) в процессе эксплуатации самолета:
Z=f(, α).
Часто последнюю зависимость можно представить в более простом виде:
Z=k1φ1()+k2φ2(α),
где f, φ1, φ2 – непрерывные функции своих аргументов.
Если отклонение фактического расхода от оптимального мало, то возможно дальнейшее упрощение зависимости:
Z=k3Δ+k4Δα,
где Δ= – ; Δα=α – αopt.
Отметим, что частота Pi выхода параметров траектории xi в критическую область позволяет вычислить αi=PiЦi, где Цi – стоимость работ по восстановлению техники, обусловленных выходом параметра xi в критическую область.
В процессе эксплуатации самолета, оборудованного СОРП и СПКР, возможны следующие события [18]:
где
При этом есть критическое значение расхода топлива, начиная с которого полет совершается без прибыли, бизнес несет финансовые потери, прибыль Z или равна нулю, или отрицательная; – допустимая величина расхода, отличающаяся от на некоторый запас, обусловленный влиянием погрешностей бортовых измерительных систем и систем оптимизации.
Введем событие A1(Z), которое происходит тогда, когда выполняются одновременно два события А1=(АX, ). Обозначим через Р1 вероятность такого события, и тогда
P1=P(AX, )=P(AX)+P()
в силу независимости АX и из соотношения (1.44).
Вероятность Р1(А1) является характеристикой безопасного состояния в полете по функционально-экономическому параметру. На практике возможны различные сочетания событий из соотношений (1.44) вида
Для части Аi характерно событие Z < Zкр, где прибыль Z в соответствующем режиме полета будет критической. Другие Аi включают события, при которых мы отказались от выгодного (оптимального) режима. Каждому событию Аi соответствует своя вероятность Pi=P(Ai). В силу независимости Ai между собой вероятность суммы всех событий Ai имеет вид
Задача проектировщика состоит в том, чтобы подобрать такой комплекс: ЛА, двигатель, СПКР, СОРП, для которого вероятность Р1 достигала бы максимума, а вероятность – минимума.
При расчете потерь прибыли следует включить стоимость по величине расхода q; стоимость восстановительных работ, обусловленных разрушениями при аварии самолета; стоимость работ по созданию самолета, СПКР, СОРП, двигателя; прибыль, полученную в процессе эксплуатации самолета. При этих условиях вероятность РΣ(А) представляет собой вероятность невыполнения поставленной цели, т. е. технический риск. С целью анализа, прогнозирования и управления риском необходимы математические модели, позволяющие установить явные зависимости между Pi(Ai) и параметрами контроля и управления на различных этапах жизненного цикла ЛА.
Возможности контроля потерь
Авиационная система представляет собой множество, каждый элемент которого является отдельной системой, подсистемой, объект состояния которых характеризуется случайным процессом ω(t) (в общем случае вектор-функцией времени), который может принадлежать области допустимых состояний Ωдоп, и тогда имеет место ω(t) Ωдоп, т. е. данная система находится в безопасной области. Если ω(t) Ωдоп, то он оказался в области опасных и критических состояний.
Выделим подобласти: Ω(1)кр, Ω(2)кр, Ω(3)кр, где Ω(1)кр – неисправность, так, например, в виде отказа, – легко восстанавливаемое рабочее состояние; Ω(2)кр – авария, когда восстановление требует значительных средств и времени, на которое объект выбыл из рабочего состояния; Ω(3)кр – катастрофа – объект не годен к эксплуатации, как правило, имеют место человеческие жертвы.
Выход в Ω(2)кр мы часто оцениваем вероятностью порядка P ≤ 10–4, выход в Ω(3)кр оцениваем в P ≤ 10–8. Можно ли нам характеризовать состояние ω(t) Ω(3)кр статистической мерой и относить к статистическим событиям? С практической и теоретической позиций, с учетом возможностей современных методов оценки таких вероятностей нам дано право наблюдать события количественно одно из 1010.
Тогда, возможно, точность наших оценок будет приемлема с позиций достоверности знаний.
Пусть – вероятность появления редкого события, характеризуемого частотой = / n=10–8. Нам нужно получить экспериментальную вероятность искомого события х2 вида = I n. При этом имеет место оценка
| – | < ε.
Пусть задана ошибка
Тогда =10–8 – 0,01 · 10–8=0,99 · 10–8. Если =1, то n=108, т. е. имеет место одно событие на 108 испытаний.
В связи со сказанным возникает проблема при изучении редких событий – катастроф, обусловленная достоверностью знаний [15]. Мы не можем ни подтвердить вероятность Р=10–8, ни отрицать ее.
Мы можем использовать методы математического моделирования, получая такие вероятности, однако получить их на практике невозможно. Даже если нам удалось на 108 часов полетов наблюдать событие A : A Ω(3)кр, то это вовсе не означает справедливость или достоверность наших знаний.
Наиболее реальный путь – полунатурное моделирование на полунатурных стендах. Однако и в этом подходе мы не исключаем ошибок, недопустимых, согласно требованиям практики.