Магия математики: Как найти x и зачем это нужно. Глава номер два. Магия алгебры (Артур Бенджамин, 2015)

Вступление с чудесами

Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве – мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:

– Сын, – сказал он мне. – Алгебра – все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?

– Вроде, понимаю.

– Очень хорошо, – сказал он. – А сколько тогда будет 3β + 4β?

– 7β, – уверенно ответил я.

– Что-то я тебя не слышу, – посетовал папа. – Можешь погромче?

– СЕМЬБЕТА!!! – заорал я.

– И ни одного ответа! – с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.

Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк – сейчас расскажу, какой.

Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).

Шаг 2. Умножьте это число на 2.

Шаг 3. Добавьте 10.

Шаг 4. Разделите на 2.

Шаг 5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число.

Уверен, получилось 5. Правильно?

Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.

Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:

Правила алгебры

Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5.

Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение – 3х. Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение

3
x
=
x
+ 5

Уберем по одному х из обеих его частей и получим

2
x
= 5

(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x – то же, что и 3x – 1x, то есть 2x). Разделим обе части уравнения на 2:

x
= 5/2 = 2,5

Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.

Отступление

А вот еще один фокус, в сути которого можно легко разобраться с помощью алгебры. Запишите любое трехзначное число, цифры в котором идут по убывающей (например, 842 или 951). Затем запишите эти числа в обратном порядке и вычтите второе число из первого. Какой бы ответ у вас ни получился, запишите в обратном порядке и его, а затем сложите эти два числа. Вот пример с числом 853:

Попробуйте другое число. Что вышло? А то, что, если четко и правильно выполнять все инструкции, вы всегда будете получать 1089! Как так?

Алгебра, помоги! Итак, начинаем мы с трехзначного числа abc, в котором a > b > c. Точно так же, как и 853 = (8 × 100) + (5 × 10) + 3, число abc равняется 100a + 10b + c. Записав его справа налево, получим число cba, равное 100c + 10b + a. Вычитание дает нам

(100
a
+ 10
b
+
c
) – (100
c
+ 10
b
+
a
) = (100
a – a
) + (10
b
– 10
b
) + (
c
– 100
c
) = 99
a
– 99
c
= 99(
a – c
)

Другими словами, нам надо умножить полученную разность на 99. А раз в изначальном нашем числе цифры идут по убыванию, a – c даст нам как минимум 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Следовательно, выполнив вычитание, мы гарантированно получим

198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 или 891.

И каждое из этих чисел, если мы прибавим его к его «зеркальному» двойнику, даст

198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1089

– пару, неизбежно дающую в сумме 1089.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

Конец ознакомительного фрагмента.