О силе, движении, времени и бесконечном
Предшествующие отрывки подвели нас вплотную к основным проблемам механики, в первую очередь к проблеме движущей силы, силы – источника движения. Теоретические размышления о мере этой силы (91) параллельны практическим размышлениям о соотношении между силой артиллерийского орудия и дальностью полета ядра (92). Продолжая эти разыскания, Леонардо приходит к заключению, что есть разница между мысленным делением силы до бесконечности и физическим ее делением, доходящим до определенных «минимумов», далее неделимых (93—97). К проблемам бесконечной делимости Леонардо подходит и с другой стороны, анализируя понятие точки (98—99) и времени (100—101). С этим суждением о бесконечно малом связаны и его суждения о бесконечном (102), и отзвуки старых споров о minimum in quod sic, поднимавших вопросы о бесконечном приближении переменных величин к пределу (103).
91 F. 26 r.
1. Если сила двигает тело в известное время на известное расстояние, та же самая сила половину этого тела передвинет в то же время на двойное расстояние.
2. Или: та же самая сила передвинет половину этого тела на все расстояние в половину этого времени.
3. И половина этой силы передвинет половину этого тела на все расстояние в то же время.
4. И сила эта передвинет вдвое большее движимое на все расстояние в двойное время и в тысячу раз большее движимое в тысячу таких времен на все это расстояние.
5. И половина этой силы передвинет все тело на половину расстояния в течение всего времени и в сто раз большее тело на одну сотую расстояния в то же самое время.
6. И если две силы порознь движут два разных тела в определенное время на определенное расстояние, то те же силы вместе передвинут те же самые тела, соединенные вместе, на все расстояние в течение всего времени, потому что в этом случае первоначальные соотношения остаются те же.
Это различные варианты основной аксиомы перипатетической механики, где сила (ср. примеч. 87) является причиной не ускорения, а скорости.
След., вместо обычной формулы:
имеем f = mv или
Как нетрудно видеть, от Леонардо ускользает правильное соотношение между t, с одной стороны, f и m – с другой. Поэтому в положениях 1, 3 и 5, где t принимается постоянным, даны правильные соотношения между m и s, f и m, f и s, тогда как во втором случае времена относятся к действительности не как 2⁄1, а как √2⁄1, а в четвертом не как 1⁄2, а как 1⁄√2.
У самого Аристотеля аксиома выражена в виде:
или
или словами: «Скорость по весу меньшего относится к скорости большего, как более тяжелое тело к менее тяжелому» (De coelo, III, 2). Впрочем, есть и формулировка f ⁄ f 1 = v ⁄v 1:
«Если сила движет тело с известной скоростью, то потребуется вдвое бóльшая сила, чтобы двигать его с удвоенной скоростью» (ср. Phys. VI, 5; De coelo, III, 2).
Первое и третье положения буквально совпадают с первым и пятым заключениями в трактате о пропорциях Альберта Саксонского, на который Леонардо ссылается в I, 120 r., а также с положениями в гл. 5-й кн. 7-й Физики Аристотеля.
92 I. 130 r.
Если бомбарда выбрасывает с наибольшей своей силой ядро в 100 фунтов на 3 мили, то на какое расстояние выбросит она ядро в 200 или 300 или другой какой груз, больший или меньший 100?
Если бомбарда 4 фунтами пороха выбрасывает 4-фунтовое ядро с наибольшей своей силой на 2 мили, то сколько следует прибавить пороху, чтобы выстрелить им на 4 мили? Если бомбарда 4 фунтами пороха гонит ядро в 4 фунта на 2 мили, на какое расстояние будут гнать его 6 фунтов пороха?
Внимательно изучая условия взрыва в орудии, Леонардо, в сущности, ориентируется на предыдущую аксиому.
93 F. 51 v.
Если сила движет тело в известное время на известное расстояние, не обязательно, чтобы такая сила двигала двойную тяжесть в течение двойного времени на двойное расстояние [?]; потому что, может быть, такая сила не способна будет двигать движимое.
Если сила движет тело в определенное время на определенное расстояние, не обязательно, чтобы половина этой силы двигала то же движимое в то же время на половину этого расстояния, потому что может случиться, что она не способна будет двигать его вовсе.
Приведенный отрывок дает ограничение предыдущей аксиоме. Ср. у Аристотеля (Физика, VII, 5): «Если Е движет Z в течение D на [расстояние] Т, не необходимо, чтобы Е в равное время двигало вдвое большее Z на половину Т… Ибо может случиться, [что] вообще двигать не будет… Иначе [и] один [человек] двигал бы корабль, если [только совокупные] силы волочащих корабль разделить на число [людей] и [так же] длину, на которую передвигали все» (т. е. силу и путь разделить на число двигавших).
…На двойное расстояние – очевидная ошибка, вместо «на то же расстояние».
94 I. 120 v.
О движении. Говорит Альберт Саксонский в своем сочинении «О пропорциях», что если сила движет движимое с определенной скоростью, то половину его будет двигать с двойной скоростью, что, мне кажется, не так.
О «Трактате о пропорциях» и Альберте Саксонском см. примеч. к 8. Принцип Альберта есть тот же аристотелевский принцип (примеч. 91), но без оговорки 93.
95 I. 102 v.
И если некоторые говорили, что чем меньше приводимое в движение тело, тем более его гонит движущее, постоянно увеличивая скорость движения пропорционально уменьшению его до бесконечности, то отсюда следовало бы, что атом был бы почти столь же быстр, сколь воображение или глаз, который мгновенно достигает звездной высоты. Поэтому путь его был бы бесконечен, так как вещь, которая может уменьшаться бесконечно, делалась бы бесконечно быстрой и двигалась бы по бесконечному пути, поскольку всякая непрерывная величина делима до бесконечности. Мнение это отвергается разумом, а следовательно, и опытом.
Мысль о том, что физическое деление имеет естественные пределы, преступая которые мы разрушаем свойства данной вещи, т. е., иными словами, теория своего рода естественных минимумов (minima naturalia) определенно высказывалась и развивалась уже Эгидием Римским (1247–1316). Зачатки ее находим у Аверроэса (1126–1198) и у Роберта Большеголового (1175–1235), учителя Роджера Бэкона.
96 Е. 60 r.
То, что в акте делимо, делимо и в потенции; хотя это и не значит, что делимое в потенции делимо и в акте. И если деления, совершаемые потенциально в бесконечность, меняют субстанцию делимой материи, то деления эти вернутся к составу своего целого при воссоединении частей по тем же стадиям, по которым они делились. Возьмем, например, лед и будем делить в бесконечность: он превратится в воду, из воды в воздух, и если воздух опять уплотнится, то станет водой и из воды градом и т. д.
97 С. А. 119 v. b.
Хотя то, что делимо актуально, делимо и потенциально, однако не все величины, делимые потенциально, будут делимы актуально.
Уже в Средние века хорошо было известно, что потенциально до бесконечности делимый континуум (in infinitum divisibile) не является еще актуально разделенным или разделимым на актуально бесконечное число частей (divisibile in infinitum).
98 М. 87 v.
Если угол есть встреча двух линий, то, поскольку линии кончаются в точке, бесконечные линии могут иметь начало в такой точке и, наоборот, бесконечные линии могут вместе в этой точке кончаться; следовательно, точка может быть общей началу и концу бесчисленных линий.
И кажется здесь странным, что раз треугольник кончается точкой в вершине угла, противолежащей основанию, и можно его разделить с концов основания на бесконечное число частей, что точка, будучи общим пределом всех названных делений, вместе с треугольником окажется делимой до бесконечности.
Разделить с концов основания – разделить бесконечным числом линий, проходящих через все точки основания, расположенные между его концами.
99 Вr. М. 131 r.
Наименьшая физическая точка больше всех математических точек, и следует это из того, что физическая точка есть величина непрерывная, а все непрерывное делимо до бесконечности, а точка математическая неделима, потому что не есть величина.
Всякая непрерывная величина мысленно делима до бесконечности.
(Среди всех вещей, существующих меж нас, существование ничто занимает первое место, и ведение его простирается на вещи, не имеющие существования, и сущность его обретается во времени в прошлом и будущем и ничего не имеет от настоящего. В этом ничто часть равна целому, и целое части, и делимое неделимому, и дает оно при делении тот же результат, что при умножении, и при сложении тот же, что при вычитании, как видно это у арифметиков из десятой их цифры, изображающей ничто; и власть его не простирается на вещи природы.
То, что называется ничто, обретается только во времени и словах; во времени обретается оно среди прошлого и будущего и ничего не удерживает от настоящего; также и в словах – в том, о чем говорится, что его нет или что оно невозможно.)
Во времени ничто находится в прошлом и будущем, и ничего не имеет от настоящего, и в природе сближается с невозможным, отчего, по сказанному, не имеет существования, поскольку там, где было бы ничто, должна была бы налицо быть пустота.
Среди великих вещей, которые находятся меж нас, существование ничто – величайшее. Оно пребывает во времени и в прошлое и будущее простирает свои члены, коими захватывает все минувшие дела и грядущие, как [неодушевленной] природы, так и существ одушевленных, и ничего не имеет от неделимого настоящего. Оно не распространяется на сущность какой-либо вещи.
Обретается среди прошлого и будущего и т. д. – Дюэм неверно переводит: son essence réside entre le passé et le futur, et la grandeur nulle est en possession du présent, – сближая мысль Леонардо с мыслями Николая Кузанского и Бергсона: точка, настоящее, покой – чистые невозможности и с тем вместе единственно доступны интеллекту. Так как перевод неточен (ср. след. абзац), то отпадает и комментарий.
Члены – первоначально было «руки». В круглых скобках – зачеркнутое самим Леонардо.
100 Вr. М. 173 v.
Хотя время и причисляют к непрерывным величинам, однако оно, будучи незримым и без тела, не целиком подпадает власти геометрии, которая делит на фигуры и тела бесконечного разнообразия, как мы видим, что это делается с видимыми и телесными вещами; но совпадает оно только с первыми началами ее, то есть с точкой и линией: точка во времени должна быть приравнена мгновению, а линия имеет сходство с длительностью известного количества времени, и подобно тому как точки суть начало и конец вышеназванной линии, так мгновения суть предел и начало каждого данного промежутка времени, и если линия делима до бесконечности, то промежуток времени не чужд такого деления, и если части, на которые разделена линия, соизмеримы друг с другом, то также и части времени будут друг с другом соизмеримы.
101 Br. M. 176 r.
Напиши о свойстве времени отдельно от геометрии.
102 С. А. 131 v.
Что за вещь, которая не существует и которая, существуй она, не существовала бы? Бесконечное, которое, если бы могло существовать, было бы ограниченно и конечно, так как то, что может существовать, имеет пределы в вещи, которая окружает его границы, и то, что не может существовать, есть то, что не имеет пределов.
103 К. 62 (14).
Петр имеет силу в 12 [единиц], и, если ему дано 12 [единиц] веса, он их не движет, потому что равные между собою вещи не одолевают одна другую. Но 11 он понесет, потому что из неравных сил бóльшая одолевает меньшую, так что 12 будут двигать 11. И здесь имеет место замечательный случай, а именно: если эти 12 могут двигать 11, оказывается, что эти 12 будут двигать тяжесть бесконечно бóльшую 11, потому что всякая непрерывная величина делима до бесконечности. Единица между 11 и 12 может бесконечно делиться, ибо можно сказать, 12 способно двигать 11 и будет еще двигать 111⁄2, и затем 2/3, и затем 113⁄4, и так до бесконечности может в том же порядке возрастать, деля на новые части остаток, так что последним будет тот из наименьших грузов, которого он не сможет более нести, то есть тот, который дополняет до 12. Так что здесь выходят две вещи, которые, казалось, невозможно предположить, а именно что человек будет в силах нести на себе груза бесконечно больше, чем может нести, и что минимальный груз выше того, который он нести может, будет тот, который он нести не может. Пример: 4 на весах уравновешивают 4, но двигать не могут; однако с успехом будут они двигать 3 и бесконечно больше груза, чем три, но груз равный 4 никогда, потому что от 3 к 4 одна единица, которая непрерывна, а всякая непрерывная величина делима до бесконечности.
Бесконечно большую 11 – точнее: бесконечное число тяжестей, бóльших 11. Рассуждение упирается, таким образом, по Леонардо, в противоречие: в пределах 12 мы имеем бесконечный ряд тяжестей, которые Петр может нести. Поэтому, какой бы груз больше 11, но меньше 12 ни взять, всегда за ним окажется еще целый бесконечный ряд грузов, которые Петр также может нести, иными словами, за грузом, который он может нести, всегда находится другой, который он также может нести, а вместе с тем должен наконец найтись и такой, который он уже нести не сможет, т. е. 12. В этом отрывке – отражение схоластических споров, логически разрабатывавших основные понятия теории пределов. Вопрос заключается в том, чем измеряется сила – максимумом ли того, что она может (maximum in quod sic), или минимумом того, что она не может (minimum in quod nоn). В данном примере: сила Петра измеряется ли самым большим камнем, который он может поднять, или самым малым, который он уже поднять не может? Аргументация сводилась к следующему: в случае сопротивления, равного действующей силе, имеет место minimum in quod nоn; этот минимум является, следовательно, величиной постоянной, тогда как вместо maximum in quod sic мы имеем переменную величину, бесконечно приближающуюся к своему пределу, т. е. к этому самому minimum in quod nоn. Такой точки зрения держались Альберт Саксонский, Биаджо Пелакани (которого читал Леонардо), Павел Веницейский («Сумма» которого была широко распространена в Северной Италии в XV–XVI в.) и др. К концу XV и началу XVI в., когда сильная гуманистическая реакция против схоластики давала свои плоды, вкус к этим дистинкциям был потерян и теории эти привлекали все меньшее внимание. Леонардо обнаруживает близкое с ними знакомство. История вопроса подробно изучена Дюэмом, показавшим, как схоластические дистинкции, являющиеся своего рода «работой на холостом ходу», в новых условиях получили дальнейшее развитие и плодотворный смысл.