Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор. Глава 4. От механики Ньютона до электродинамики Максвелла (А. Н. Петров, 2013)

Сейчас нам придется отвлечься от понятий, связанных непосредственно с теорией тяготения. Дело в следующем: чтобы подойти к обсуждению общей теории относительности (теории тяготения) необходимо понимать, что представляет собой ее предшественница – специальная теория относительности, не имеющая прямого отношения к описанию тяготения. Это связано с тем, что одна теория в определенном смысле «вырастает» из другой. Действительно, специальную теорию относительности можно мыслить как теорию плоского пространства-времени, в то время как общая теория относительности – это теория искривленного пространства-времени. В этой главе мы обсудим предпосылки создания специальной теории относительности, а в следующей – принципы ее построения, интерпретацию и интересные эффекты.

Протяженность и длительность. Методы измерений

Чтобы прийти к замечательным выводам, ставшими впоследствии законами механики, Галилей, Ньютон и многие другие ученые, экспериментируя с материальными телами на Земле и изучая движение небесных тел, должны были производить измерения. Определяли размеры тел и расстояния между ними (протяженности), положения тел и пройденные ими расстояния при движении. Особое место в механике занимает изучение последовательности событий, продолжительности событий (длительности), частоты возникновения событий. Все это осуществляется путем измерений момента каждого события по часам.

Говоря о пространственных измерениях, нельзя не вспомнить Декарта и Ферма, внесших неоценимый вклад в систематизацию этого процесса. Декарт был убежденным материалистом, а одним из главных свойств материальных вещей считал протяженность, которая может проявляться по-разному. Декарт отрицал существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяженность, которую можно измерить, есть материя. Один из его тезисов: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления». Эти философские убеждения повлияли на выбор проблем, которые ему было интересно исследовать. Он стал одним из создателей аналитической геометрии, которую разрабатывал одновременно с французским математиком Пьером Ферма (1601–1665). Геометрические задачи стало возможно исследовать как алгебраические с помощью метода координат.

По мнению историков, Ферма, как математик, был более одаренным, чем Декарт. Он восхищался греками и был продолжателем их традиций. Ферма задавал положение точки на плоскости с помощью значений длин двух отрезков – абсциссы и ординаты, а кривая определялась уравнением, связывающим длины этих отрезков. Эта идея активно использовалась древними греками. Архимед, например, описывает конические сечения через их «симптомы», – пропорции, связывающие абсциссы и ординаты точек. Однако древние греки применяли лишь словесное описание пропорций, а Ферма представляет свои формулировки в виде уравнений, хотя тоже не символизированных. Это, конечно, значительно облегчает анализ проблем, но подход остается чисто геометрическим, пространственным.

Ферма изложил результаты своих исследования в трактате «Введение в изучение плоских и телесных мест». Книга была опубликована только в 1679 году, уже после его смерти, хотя в основном французские математики узнали о ее идеях и выводах значительно раньше, в 1630-х годах. Дело в том, что Ферма был юристом, и массу времени у него отнимала служба. Параллельно он занимался математикой и вел активную переписку с учеными того времени, его результаты были известны всему сообществу. Известно, что был он очень доброжелательным в своих письмах, иногда одно и то же объяснял много раз с разных позиций, не реагируя на возможно недоброжелательный тон оппонента.

Рене Декарт в детстве отличался хрупким здоровьем, но был чрезвычайно любознательным. Начальное образование он получил в иезуитском колледже. Учителя отбили, казалось, его природное стремление к познанию. Некоторое время он вел разгульный образ жизни, играл в карты. Однако религиозное образование сыграло и свою положительную роль в становлении ученого. Оно только укрепило в молодом Декарте недоверие к тогдашней философии и настроило на поиск своих ответов на вопросы, которые он сам для себя определял. Позже Декарт сформулировал свой метод познания как дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов. Достаточно времени было отдано Декартом военной службе, на которую он поступил, чтобы больше и не понаслышке узнать мир. Сначала он был в революционной Голландии, затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Затем – еще участие в осаде Ла-Рошели. Все это время он продолжал заниматься философией и математикой, как ее частью, и другими науками – от медицины до метеорологии. Он вел обширную переписку с лучшими учеными Европы. Свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт в 1628 году переезжает в Голландию, где проводит 20 лет. В 1634 году он закончил свою первую, очень важную книгу под названием «Мир». Но момент для издания был неудачным – годом ранее инквизиция судила Галилея. Теория Коперника, принятая и в книге Декарта, была официально запрещена. Поэтому Декарт решил не печатать этот труд.

Известная всем «Геометрия» Декарта была опубликована в 1637 году. Вряд ли он испытывал влияние Ферма, его метод сложился задолго до выхода «Геометрии», еще в 1620-х годах. Тем не менее собственно геометрические идеи Декарта и Ферма практически тождественны. Заслуга Декарта в том, что он создал новую алгебру, основанную на понятии отношения геометрических величин. Ферма был подвержен влиянию геометрической алгебры греков. У него и математиков, которым он следовал, можно складывать и вычитать только однородные величины, а в коэффициенты обязательно включается указание на их геометрическую природу. При этом простое алгебраическое уравнение раздувается неимоверно. Декарт, прежде всего, был философом, основоположником рационализма, утверждающего неограниченную способность человека познавать мир. Отношения, с которыми имеет дело алгебра Декарта, не геометрические пространственные объекты, а умозрительные понятия – «числа», мало того, выраженные «буквами». Его символика мало чем отличается от современной. Он следует некоторому набору интуитивно ясных истин и использует определенные правила или методы.

Именно Декарт впервые ввел координатную систему, которая является прообразом принятой в наши дни, но идеологически несколько отличается. Он далеко не всегда использовал прямоугольную систему координат. Кривая на плоскости рассматривалась относительно некоторой прямой с делениями. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, перпендикулярных или наклонных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направление отсчета от начала координат. Современное представление координатной системы, получившее имя Декарта, сформировалось только в XVIII веке. В ней для каждой из координат обычно вводят взаимно перпендикулярные оси, расстояния на которых градуированы одинаково. Тогда, например, легко вычисляется длина радиус-вектора в трехмерном пространстве (рис. 4.1):

Рис. 4.1. Система координат Декарта

r² = x² + y² + z² = a² + b² + c².

В итоге, появилось ясное понимание, как определить положение тела (точки) как на плоскости, так и в 3-мерном пространстве.

Абсолютные пространство и время

Итак, мы отметили два ключевых понятия: протяженность и длительность. Возникает вопрос: по отношению к чему производить их измерение? Один из ответов, кажущийся наиболее естественным, состоит в признании существования абсолютного пространства и времени. Тогда и протяженность, и длительность, и абсолютные пространство и время приобретают самостоятельный физический смысл, становятся частью всего физического учения.

Как определял «абсолютное» пространство Ньютон? Он говорил: «Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».

Поскольку гелиоцентрическая система стала общепризнанной, то в качестве абсолютного он определял пространство, привязанное к центру тяжести Солнечной системы. Абсолютное пространство представлялось фоном для всей Вселенной, являлось состоянием абсолютного покоя. По отношению к нему в принципе можно определить абсолютное движение тела – от одной абсолютно покоящейся точки к другой.

Аналогично абсолютному пространству, Ньютон постулировал существование абсолютного времени. Он писал в своих «Началах»: «Абсолютное частное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». Другими словами, время идет с неизменной скоростью от одного абсолютного момента к следующему, независимо от того что происходит во Вселенной. Или – для любого наблюдателя, находящегося в любом состоянии движения и в любой точке пространства, время представляется ровным, непрерывным, одинаковым (одним и тем же) потоком, определяющим смену событий.

Инерциальная система отсчета. Принцип относительности Галилея

Если в рамках точности измерений времени той эпохи можно было согласиться, что часы с одними и теми же (лучшими) техническими характеристиками идут одинаково у всех возможных наблюдателей, а время, измеренное ими, можно считать абсолютным, то с измерениями абсолютных положений ситуация требовала осмысления. Если принципиально возможно определить координаты (положение) какой-либо точки относительно системы, связанной с центром тяжести Солнечной системы, то осуществить это практически на обращающейся вокруг Солнца Земле сложно.

Чтобы разобраться с ситуацией, необходимо ввести несколько определений. Под системой отсчета обычно понимают строго заданный способ измерения положения и времени. Такие измерения можно осуществлять с помощью системы декартовых координат (трех взаимно перпендикулярных осей) – для измерения положения и расстояний и с помощью часов – для отсчета времени. Инерциальной системой называется система отсчета, в которой тела при отсутствии внешних воздействий движутся равномерно и прямолинейно, то есть система, в которой работает первый закон Ньютона. Тогда, как минимум, абсолютное пространство вместе с абсолютным временем может мыслиться как инерциальная система отсчета.

Возникает вопрос: есть ли еще инерциальные системы и как они относятся к абсолютному пространству? Обратимся к так называемым преобразованиям Галилея (термин был введен в 1909 году). Они определяют связь между координатами для двух систем отсчета, движущихся относительно друг друга. Если скорость V направлена вдоль оси x, то координаты x в двух системах для постоянной скорости связаны соотношением: x′ = x + Vt. Время t, определенное в механике Ньютона как абсолютное, является одинаковым для всех систем отсчета. Для преобразований Галилея скорость движения частицы v′ в одной системе определяется как простая сумма скорости этой частицы в другой системе и скорости относительного движения систем V, если скорость частицы и относительная скорость систем имеют одно направление: v′ = v + V. Например, если в поезде выстрелят в направлении его движения, то для наблюдателя на перроне скорость пули будет определяться как сумма скорости поезда и скорости пули относительно оружия. Если скорости не параллельны, то используется векторная сумма. Таким образом, преобразования Галилея ясно показывают, что любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы (скажем, абсолютного пространства), также является инерциальной. Это и есть ответ на вопрос.

Возвратимся к измерениям на Земле. Обычно они производятся в ограниченном пространстве (малом, по сравнению с размерами Земли) и ограничены во времени – малые длительности по сравнению с периодом обращения вокруг Солнца (годом). Такая «лаборатория» с большой степенью точности движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютного (по Ньютону) пространства. Если с ней связаны пространственные и временные координатные системы, то она будет инерциальной системой отсчета.

Теперь уместно привести утверждение (постулат), который часто именуется принципом относительности Галилея. По Галилею он звучит так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно и прямолинейно относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть в двух инерциальных системах законы механики одинаковы. Рассмотрим законы Ньютона в рамках этого принципа. Что касается первого закона, то он справедлив для любой инерциальной системы отсчета просто в силу определения этих систем. Далее, если относительная скорость систем постоянна, то из преобразований Галилея следует также, что ускорение какого-либо тела относительно обеих систем отсчета будет одинаковым (одним и тем же). Тогда, в силу выполнения второго закона Ньютона в любой инерциальной системе отсчета (здесь мы используем принцип), действующие на частицу силы в обеих системах одинаковы. А раз силы одинаковы, то работает и третий закон. Хотя он должен действовать во всех инерциальных системах отсчета и непосредственно, в силу самого принципа.

Итак, в механике Ньютона все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой и одинаково относятся к абсолютному пространству. В рамках каждой из них работают одни те же законы Ньютона, а динамические характеристики – сила и ускорение – одинаковы. А какие физические свойства приписывались самому абсолютному пространству? Ньютон считал, что абсолютное пространство «безразлично» к равномерному прямолинейному движению, но оказывает сопротивление ускорению тел. То есть инерционные свойства тел возникают вследствие воздействия на них абсолютного пространства, на которое, в свою очередь, материальные тела воздействовать не могут. Стоит заметить, что последнее утверждение находится в противоречии с самой философией механики Ньютона. Действительно, это означает, что при взаимодействии с абсолютным пространством не работает третий закон Ньютона, и следовательно, разрушается единая система законов.

Концепция абсолютного пространства и интерпретация свойств инерции вызывали возражения, как современников Ньютона, так и следующих за ними исследователей. Для нас наиболее интересна гипотеза австрийского физика и философа Эрнста Маха (1838–1916). В 1872 году им была высказана идея, что свойство инерции возникает как результат взаимодействия каждого отдельного тела сразу со всеми остальными массами во Вселенной и не имеет ничего общего с абсолютным пространством Ньютона. Идеи Маха в большой степени стимулировали Эйнштейна в исследовании проблем теории тяготения. Именно Эйнштейн назвал эту гипотезу принципом Маха, хотя в реальности она не вошла в структуру общей теории относительности, созданной им позднее. Идея Маха до сих пор не получила ни основательного подтверждения, ни опровержения. Надо сказать, и в наше время она пересматривается после каждого значимого открытия в космологии или в рамках модифицированных теорий гравитации.

Электродинамика. Скорость света

Изменить представление о пространстве и времени решающим образом стало возможным только после успехов в исследовании природы электричества и магнетизма. Пропуская имена ряда замечательных ученых, совершивших открытия в этой области, остановимся на теоретических результатах английского математика и физика шотландского происхождения Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879), рис. 4.2. Немного фактов его биографии. Отец Джима был членом адвокатской коллегии, владел поместьем в Южной Шотландии, мать была дочерью судьи Адмиралтейского суда и умерла, когда сыну было 8 лет. Сначала, когда нужно было начинать обучение, приглашали учителей на дом, но хороших найти не удалось. Поэтому отец отправил сына в Эдинбургскую академию.

Затем Джеймс поступает в Эдинбургский университет и успешно заканчивает его, а в 1850 году уезжает в Кембридж, несмотря на недовольство отца. О его напряженном режиме учебы, который, видимо, он сам себе устроил, свидетельствует следующий факт. После получения сообщения об обязательном посещении утреннего богослужения в Кембриджском университете он сказал: «Я в это время только ложусь спать».

Получив степень бакалавра, Максвелл остается в Тринити-колледже работать преподавателем. В этот период он занимается проблемой цветов, геометрией, электричеством. В 1854 году в письме одному из друзей Джеймс заявил о намерении «атаковать электричество». Это удалось – вскоре был опубликован труд «О фарадеевых силовых линиях» – одна из трех самых крупных работ

Максвелла. Главный труд этого периода жизни ученого – создание теории цветов. Он экспериментальным путем показал, как смешиваются цвета. Эти исследования впоследствии легли в основу цветной фотографии. Спустя сто лет компания «Кодак» доказала, что Максвеллу тогда просто повезло – его способом получить зеленое и красное изображения было нельзя, эти цвета образовались случайно. Тем не менее принципы все же были правильными.

Рис. 4.2. Джеймс Максвелл

В последующие годы он занимается расчетом движения колец Сатурна и издает трактат «Об устойчивости движения колец Сатурна». Затем разрабатывает кинетическую теорию газов. Уже после этого Максвелл сосредотачивается на исследовании электромагнетизма. Публикуются работы «О физических силовых линиях» и «Динамическая теория электромагнитного поля». С этого времени и до конца своей жизни ученый работает над проблемами электрических измерений. В 1873 году выходит главный труд всей его жизни – двухтомник «Трактат по электричеству и магнетизму».[2]

Одно из основных открытий состоит в том, что была установлена взаимосвязь электричества и магнетизма. Основываясь на результатах и идеях предшественников, Максвелл использовал и развил понятие поля. Согласно его теории каждая заряженная частица окружена полем – невидимым ореолом. Поле обладает силовой характеристикой – напряженностью – и тем самым воздействует на заряженные частицы, находящиеся в нем. Таким образом, одна заряженная частица через свое поле действует с некоторой силой на другие заряженные частицы.

Конечно, такие взгляды на природу взаимодействия отличаются от корпускулярной модели Декарта. Они отличаются и от точки зрения Ньютона на концепцию тяготения. Ньютон считал, что притяжение определяется силой прямого взаимодействия между разделенными пространством массами.

Хотя в нашем понимании это остается вопросом интерпретации. Силе Ньютона можно точно так же приписать потенциал, который представляет собой не что иное как поле. Разница будет в том, что, в отличие от электромагнитного взаимодействия, распространяющегося со скоростью света, гравитационное взаимодействие по Ньютону должно распространяться мгновенно (с бесконечной скоростью).

Самым интересным из результатов Максвелла для нас является следующее. Из уравнений электромагнитного поля следует, что движение заряженных частиц должно порождать электромагнитные волны, распространяющиеся в пространстве со скоростью света c = 300 000 км/с. Эти волны могут иметь любую длину – расстояние между двумя соседними гребнями волны.

По длине электромагнитные волны разделяются на разные диапазоны. Свет – это электромагнитная волна с довольно короткой длиной волны, у ультрафиолетового, рентгеновского и гамма-излучения длина волны еще короче, у инфракрасного, микроволнового и радиоизлучения – длиннее. Сегодня мы имеем возможность регистрировать электромагнитные волны длиной от 10^–12 м до многих километров.

Рис. 4.3. Схема измерений Рёмера

Впервые скорость света была определена датским астрономом Оле Рёмером (1644–1710) в 1676 году. Он анализировал нерегулярность видимых затмений спутника Юпитера Ио.

Было обнаружено, что выход Ио из тени Юпитера наблюдается со все большим запаздыванием по мере удаления Земли от орбиты Юпитера. Рёмер связал это с тем, что свет имеет конечную скорость, и поэтому для его достижения Земли каждый раз требуется разное время (рис. 4.3). А тогда, зная разность расстояний для разных моментов появления Ио и наблюдаемое время запаздывания, можно определить скорость преодоления светом этого дополнительного расстояния. Скорость по данным Рёмера оказалась равной 215 000 км/с. Вполне приличная по тем временам точность.

Эфир

Наш повседневный опыт, а также опыт научных достижений XIX века, не допускает распространения каких-либо колебаний без среды. То, что мы видим чуть не каждый день – это волны на поверхности воды. Звуковые волны представляют собой распространение уплотнений и разрежений в воздухе. Теория электромагнетизма не включает такого понятия, как некая специальная среда, в которой распространяются электромагнитные волны. Уравнения вполне справедливы и для вакуума. Поэтому Максвелл вернулся к старой идее о существовании эфира, заполняющего пространство. Именно эфиру отводилась роль носителя электромагнитных волн. Система отсчета, связанная с неподвижным эфиром, отождествлялась с абсолютным пространством, идея которого, в свою очередь, получила новую неожиданную поддержку.

Естественно, не заставили себя ждать попытки найти экспериментальное подтверждение существования эфира. Если таковой существует, то Земля, двигаясь сквозь него со скоростью 30 км/с (скорость движения по орбите вокруг Солнца), должна испытывать воздействие эфирного ветра. Как обнаружить это воздействие? Обычно приводят в пример эксперимент Майкельсона – Морли. На рис. 4.4 приведена его схема.

Рис. 4.4. Схема эксперимента Майкельсона-Морли

Предположим, что направление луча, испущенного источником, соответствует движению Земли по орбите, тогда в этом направлении должен «дуть» эфирный ветер. Свет из источника разделяется пластиной на луч, который отражается в направлении перпендикулярном движению, и луч, направление которого не изменилось. Затем лучи отражаются от зеркал и в конечном итоге встречаются на детекторе. Геометрические пути лучей одинаковы. Как рассчитать распространение луча? Если свет распространяется в среде (эфире), то в поперечном направлении нужно учитывать только скорость света в эфире, а в продольном направлении, следуя преобразованиям Галилея, скорости «ветра» и света нужно складывать, а после отражения – вычитать. Тогда окажется, что луч в направлении движения Земли запоздает, и это должно быть зарегистрировано на детекторе.

Впервые эксперимент был поставлен американским физиком Альбертом Майкельсоном (1852–1931) в 1881 году и повторен им на усовершенствованной установке совместно с Эдвардом Морли (1838–1923). Точность эксперимента в несколько раз превосходила ожидаемый результат, но эффект не был зарегистрирован. Многократные попытки в последующие десятилетия на усовершенствованных приборах так и не привели к успеху. Зарегистрировать наличие эфира не удалось.

Итак, пришлось смириться с тем, что эксперимент Майкельсона и Морли не в состоянии выявить факт движения Земли относительно эфира. Однако теоретические попытки спасти концепцию эфира продолжались.

Голландский физик Хендрик Лоренц (1853–1928) и ирландский ученый Джордж Фицджеральд (1851–1901) независимо друг от друга попытались объяснить, почему не удалось зарегистрировать эфир. Вспомним, что для расчета в опыте Майкельсона – Морли существенным образом используются преобразования Галилея, которые по сути своей очень просты. Теперь же выдвигалась гипотеза, что в результате движения сквозь эфир уменьшается длина вдоль движения и замедляется ход часов. Эти преобразования устраиваются как раз так, что движение относительно эфира остается незамеченным. Подводя итог на тот период, замечательный французский математик Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) отмечал, что если преобразования Лоренца (как их стали называть с его подачи) верны, то эфир, если он и существует, все равно не доступен наблюдению. А поскольку вопрос о существовании или отсутствии эфира не удается решить, то остается рассматривать только относительные (не абсолютные) движения.

Но если сохранить наличие эфира в принципе, то возникает другая проблема. В силу принципа относительности Галилея законы механики Ньютона имеют один и тот же вид и верны во всех инерциальных системах отсчета. Для электродинамики Максвелла это правило не выполняется, поскольку ее уравнения существенным образом содержат скорость света. Действительно, если использовать преобразования Галилея, то скорость света должна быть разной в разных инерциальных системах отсчета, а это недопустимо для уравнений Максвелла. С другой стороны, они оказались инвариантными относительно преобразований Лоренца!

Таким образом, на рубеже XIX и XX веков возникла критическая ситуация в понимании места механики и электродинамики в общей физической картине мира. Теоретические и опытные данные вступили в противоречие. Эта ситуация требовала разрешения.