Высшая математика. Шпаргалка. 9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности (Аурика Луковкина, 2009)

9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а₁, а₂, а_n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а_n называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{a_n},a_n= f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_n} и {y_n} называются соответственно следующие последовательности: {x_n + y_n}, {x_n – y_n}, {x_n × y_n}, {x_n / y_n}, в случае частного y_n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 > a_n (a_n+1 < a_n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 ≤ a_n (a_n+1 ≥ a_n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a_n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_n– A| < ε. Обозначение предела последовательности: .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если , то:

, где с – постоянная;