8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений
Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, равное
Свойства определителя:
1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;
2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;
3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.
Минором Mik элемента aik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.
Алгебраическим дополнением Aik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k, A = (–1)i+kMik.
Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.
Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А–1, которая удовлетворяет условиям АА–1= А–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.
Теорема. Матрица
где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik невырожденной матрицы А, является обратной для А.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: