Высшая математика. Шпаргалка. 4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола (Аурика Луковкина, 2009)

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х² + у² = R², если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)² + (у – b)² = R².

Чтобы уравнение Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х² и у² были равны, чтобы В² + С² – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R² = (В² + С² – 4АD) / 4A².

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА₁ называется осью сжатия, отрезок АА₁ = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ₁ = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А₁, В, В₁ – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x² / a² + y² / b² = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же значение 2а (F₁M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F₁ называются фокусами эллипса, а отрезок FF₁ – фокусным расстоянием, обозначается FF₁ = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k² = 1 – ε².

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F₁M – FM| = 2a. Точки F, F₁ называются фокусами гиперболы, расстояние FF₁ = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х² / а² + у² / (а² – с²) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b² = c² – a²).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх.

Рис. 5