Высшая математика. Шпаргалка. 2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой (Аурика Луковкина, 2009)

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), А₃ (х₃, у₃), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х₂ – х₁) (у₃ – у₁) – (х₃ – x₁) (у₂ – у₁) = 0.

2. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х₂ – х₁)(у – у₁) – (х – х₁)(у₂ – у₁) = 0 или (х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁).

3. Пусть имеются точка М (х₁, у₁) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

у – у₁ = а(х – х₁).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у – у₁ = –(х – х₁) / а

или

а(у – у₁) = х₁ – х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х₁, у₁), описывается уравнением А (у – у₁) – В(х – х₁) = 0.

4. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А₁, А₂ лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А₁, А₂ лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А₁, А₂ лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах₁ + + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х₁, у₁), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у₁ = к (х – х₁) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y₁) = m(x – x₁), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L₁ и L₂ соответственно имеют вид (А₁х + В₁у + С₁) = 0 и (А₂х + В₂у + С₂) = 0, то уравнение пучка: m₁(А₁х + В₁у + С₁) + m₂(А₂х + В₂у + С₂) = 0. Если прямые L₁ и L₂ пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х₁, у₁) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой: