14. Степенные ряды. Тригонометрический ряд. Ряды Фурье
Степенным рядом называется функциональный ряд вида а0 + а1(х – х0) + а2(х – х0)2 +…+ аn(x – x0)n +… = ak(x – x0)k. Числа ai (i = 0, 1, 2…) называются коэффициентами ряда. Число R называется радиусом сходимости.
Свойства степенных рядов.
Теорема 1. Если степенной ряд ak(x – x0)k имеет радиус сходимости R, то в любом круге комплексной плоскости (или на любом отрезке вещественной оси) вида |x – x0| < r, r < R он равномерно сходится.
Теорема 2. Если для степенного ряда ak (x – x0)k существует предел , то он равен радиусу сходимости данного ряда, т. е. L = R.
Следствие.
1. На множестве {x| |x – x0| < r}, r < R сумма степенного ряда является непрерывной функцией.
Конец ознакомительного фрагмента.