Высшая математика. Шпаргалка. 13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды (Аурика Луковкина, 2009)

13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды

Знакопеременный ряд – это ряд с произвольными вещественными числами.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится условно, то какое бы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма в точности оказалась бы равной А. Кроме этого, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что после перестановки ряд окажется расходящимся.

Ряд с вещественными членами называется знакочередующимся, если два любых его соседних члена имеют разные знаки. Его иногда записывают следующим образом: (–1)ⁿ⁺¹a_n (a_i > 0).

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда a_n удовлетворяют условиям |a_n| > |a_n +1 | (n = 1, 2…) и , то ряд сходится. При этом если a_n = S, то .

Ряд u_n(x) называется функциональным, если его члены являются функциями действительной переменной х.

Областью сходимости функционального ряда называется совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится. Если функциональный ряд сходится при х = х₀, то х₀ называется точкой сходимости. Если ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что ряд сходится на этом множестве.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве М к функции S(x), если для всякого положительного ε найдется такое число N, что для всех n > N и для всех х, принадлежащих множеству М, справедливо неравенство:

Теорема. Если члены ряда u_n(x) – непрерывные функции и ряд на множестве М сходится равномерно, то и S(x) = u_n(x) является непрерывной функцией.