Высшая математика. Шпаргалка. 11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности (Аурика Луковкина, 2009)

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {а_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_n} = {A + γ_n}, где {γ_n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n × b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ≠ 0, b_n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ≤ (≥) b_n, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ≤ b_n ≤ c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {a_n} a_n ≤ (і) В, то , где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.