Глава 3
Волшебники: наставник и еретик
Наука, в отличие от десяти заповедей, попала в руки человечества не в виде надписей на внушительных каменных скрижалях. История науки – это история взлетов и падений многочисленных теорий, умозаключений и моделей. Многие идеи, на вид весьма многообещающие, оказались фальстартами или вели в тупик. Многие теории, казавшиеся в свое время незыблемыми, впоследствии разваливались, не пройдя суровых испытаний дальнейших экспериментов и наблюдений, и оказывались забыты навеки. Даже незаурядный ум авторов некоторых концепций не гарантировал, что эти концепции не будут смещены со сцены. Например, великий Аристотель был убежден, что камни, яблоки и прочие тяжелые предметы падают вниз, поскольку ищут свое естественное место, а оно – в центре Земли. Когда эти тела приближаются к Земле, утверждал Аристотель, они ускоряются, поскольку рады вернуться домой. А вот воздух (и огонь) поднимаются вверх, поскольку естественное место воздуха – в небесных сферах. Каждому предмету приписывалась своя природа на основании того, к какой стихии, как считалось, они ближе всего – к земле, огню, воде или воздуху. Как говорил сам Аристотель (Aristotle ca. 330 BCa, b; см. также Koyré 1978).
Из существующих [предметов] одни существуют по природе, другие – в силу иных причин. … Простые тела, как-то: земля, огонь, воздух, вода – эти и подобные им, говорим мы, существуют по природе. Все упомянутое очевидно отличается от того, что образовано не природой: ведь все существующее по природе имеет в самом себе начало движения и покоя… … Природа есть некое начало и причина движения и покоя для того, чему она присуща первично, сама по себе… Согласно с природой [ведут себя] и эти [предметы], и все, что присуще им само по себе, например огню нестись вверх… (Пер. В. Карпова.)
Аристотель даже попытался сформулировать количественный закон движения. Он утверждал, что чем тяжелее предмет, тем быстрее он падает, причем его скорость прямо пропорциональна весу (то есть предмет вдвое тяжелее и падать будет со вдвое большей скоростью). Хотя житейский опыт и показывал, что это вполне разумно – ведь и правда кирпич ударяется о пол раньше, чем перышко, если бросить их с одной высоты, – однако Аристотель так и не подверг свое количественное утверждение более тщательной проверке. То ли ему это не приходило в голову, то ли он не считал необходимым проверить, действительно ли два кирпича, связанные вместе, падают вдвое быстрее, чем один кирпич. Галилео Галилей (1564–1642) придавал гораздо больше значения математике и эксперименту, а благополучие падающих яблок и кирпичей не слишком его заботило, и он первым заметил, что Аристотель глубоко заблуждался. При помощи хитроумного мысленного эксперимента Галилею удалось показать, что закон Аристотеля не имеет никакого смысла, поскольку логически непоследователен (Galileo 1589–92). Рассуждал Галилей следующим образом. Предположим, мы свяжем вместе два предмета, один легче, другой тяжелее. С какой скоростью упадет получившийся составной предмет по сравнению с двумя предметами, из которых он состоит? С одной стороны, согласно закону Аристотеля, можно сделать вывод, что упадет он с какой-то средней скоростью, поскольку более легкий предмет задержит падение более тяжелого. С другой, если учесть, что составной предмет на самом деле тяжелее каждой из своих частей, падать он должен даже быстрее, чем более тяжелый из двух компонентов, а это приводит к очевидному противоречию. Перо на Земле падает медленнее кирпича по одной простой причине – из-за сопротивления воздуха: если бы перо и кирпич падали с одной и той же высоты в вакууме, то коснулись бы пола одновременно. Это показали самые разные эксперименты, самый зрелищный из которых провел Дэвид Рэндольф Скотт, астронавт с «Аполлона-15» и седьмой человек, чья нога ступала на Луну: он одновременно выпустил из одной руки молоток, а из другой перо. Поскольку никакой существенной атмосферы у Луны нет, молоток и перо коснулись поверхности одновременно.
Но самое удивительное в ошибочном законе Аристотеля не то, что он неправильный, а то, что в нем за две тысячи лет никто не усомнился. Как удалось очевидно неверной идее достичь такого примечательного долголетия? Перед нами пример «идеального шторма» – уникального стечения неблагоприятных обстоятельств: совокупное действие трех сил обеспечило создание незыблемой догмы. Во-первых, налицо простой факт: в отсутствие точных средств измерения закон Аристотеля вроде бы соответствует жизненному опыту: листы папируса и правда парили в воздухе, а куски свинца – нет. Нужен был гений Галилея, чтобы заявить, что жизненный опыт и здравый смысл могут наталкивать на неверные выводы. Во-вторых, надо учесть, каким колоссальным весом обладала практически непревзойденная репутация и авторитет Аристотеля как ученого. Ведь именно он и не кто иной заложил основы западной интеллектуальной культуры. Аристотель буквально сказал все обо всем – будь то исследование всех природных явлений или фундамент этики, метафизики, политики и искусства. Мало того – Аристотель в некотором смысле научил нас, как именно следует думать, поскольку первым начал исследовать формальную логику. Сегодня с революционной и, можно сказать, совершенной системой логических выводов – силлогизмов – Аристотеля знаком, наверное, каждый школьник.
1. Всякий грек – человек.
2. Всякий человек смертен.
3. Следовательно, всякий грек смертен.
(Подробнее о таких логических конструкциях мы поговорим в главе 7.)
Третья причина невероятной жизнестойкости ошибочной теории Аристотеля заключается в том, что христианская церковь включила ее в свою систему догматов. А это надежно защищало предположения Аристотеля от любых попыток их оспорить.
Несмотря на значительный вклад в систематизацию дедуктивной логики, Аристотеля чтят не за достижения в математике. Пожалуй, достойно удивления, что человек, который, в сущности, основал науку, поскольку догадался, что к ней нужен систематический подход, так мало думал о математике (гораздо меньше Платона) и был настолько не силен в физике. Хотя Аристотель признавал важность численных и геометрических соотношений в науках, математику он по-прежнему считал абстрактной дисциплиной, никак не связанной с физической реальностью. Следовательно, хотя интеллектуальная мощь Аристотеля не подлежит сомнению, в мой список «математиков-волшебников» он не входит.
«Волшебниками» я буду называть тех уникумов, которые способны вытаскивать кроликов из буквально пустых шляп, тех, кто открыл связи между математикой и природой, которые раньше никому не приходили в голову, тех, кто способен наблюдать сложные природные феномены и вычленять из них кристально чистые математические законы. В иных случаях эти мыслители высшего порядка продвигали математику вперед даже благодаря своим наблюдениям и экспериментам. Вопрос о непостижимой эффективности математики при объяснении природных явлений и не возник бы, если бы не подобные волшебники. Загадка могущества математики прямо и непосредственно порождена чудесными озарениями этих исследователей.
Чтобы воздать должное всем великолепным физикам и математикам, благодаря которым сформировалась наша картина мироздания, одной книги не хватит. В этой и следующей главе я расскажу лишь о четырех титанах минувших веков – о научных звездах самой что ни на есть первой величины, которых без малейших сомнений можно назвать волшебниками. Первый волшебник в моем списке запомнился человечеству довольно странным поступком: он пробежал по улицам родного города в чем мать родила.
Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю
Когда историк математики Эрик Темпл Белл был вынужден принять решение, кого включить в число трех своих любимых математиков, то пришел к следующему выводу.
В любой список трех «величайших» математиков в истории обязательно вошел бы Архимед. Остальные два имени, которые обычно ставят в один ряд с Архимедом, – это Ньютон (1642–1727) и Гаусс (1777–1855). Если же принять в расчет относительное богатство – или бедность – математики и естествознания в соответствующие исторические периоды, когда жили эти титаны, и оценить их достижения в контексте того времени, многие, пожалуй, отдадут пальму первенства Архимеду.
Архимед (287–212 гг. до н. э.; на рис. 10 приведен бюст, который считают портретом Архимеда, но на самом деле это, вероятно, бюст какого-то спартанского царя) и в самом деле был Ньютоном и Гауссом своего времени – и отличался таким блестящим умом, живым воображением и поразительной интуицией, что и современники, и последующие поколения произносили его имя с почтением и благоговением. И хотя Архимед больше известен инженерными изобретениями, прежде всего он был математиком, и как математик он опередил свое время на века. К сожалению, о детстве и юности Архимеда и о его семье нам почти ничего не известно. Первую его биографию написал некто Гераклид, до нас она не дошла, и то немногое, что нам известно о его жизни и гибели, восходит к сочинениям римского историка Плутарха[21]. А Плутарх (ок. 46–120) больше интересовался победами римского военачальника Марцелла, который в 212 году до н. э. завоевал город Сиракузы, где жил Архимед (Plutarch ок. 75). К счастью для истории математики, Архимед во время осады Сиракуз доставил Марцеллу столько хлопот, что три величайших историка того времени – Плутарх, Полибий и Тит Ливий – не могли его не упомянуть.
Рис. 10
Архимед родился в Сиракузах – в то время это была греческая колония на Сицилии[22]. По его собственным словам, он был сын астронома Фидия, о котором почти ничего не известно, кроме того, что он оценил соотношение диаметров Солнца и Луны. Вероятно, Архимед был в каком-то родстве и с царем Гиероном II, который и сам был незаконнорожденным сыном одного аристократа (от рабыни-наложницы). Какие бы узы ни связывали Архимеда с царским родом, и сам Гиерон, и его сын Гелон относились к ученому с большим уважением. В юности Архимед прожил некоторое время в Александрии (свидетельства об этом обсуждаются в Dijksterhuis 1957), где изучал математику, а затем вернулся в Сиракузы и посвятил свою жизнь научным изысканиям в разных областях знания.
Архимед был математиком из математиков. Согласно Плутарху, он, «считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни» (здесь и далее пер. С. Маркиша). Увлечение абстрактной математикой и поглощенность ею выходили далеко за рамки восторга, с которым относились к этой науке другие ученые. Вернемся к Плутарху.
И нельзя не верить рассказам, будто он был тайно очарован некоей сиреной, не покидавшей его ни на миг, а потому забывал о пище и об уходе за телом, и его нередко силой приходилось тащить мыться и умащаться, но и в бане он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом, проводил пальцем какие-то линии – поистине вдохновленный Музами, весь во власти великого наслаждения.
При всем презрении к прикладной математике и пренебрежении, с каким сам Архимед относился к собственным инженерным идеям, поразительные изобретения стяжали ему даже большую славу, чем математический гений.
Самая известная легенда об Архимеде лишь дополняет образ типичного рассеянного математика. Эту забавную историю первым рассказал римский архитектор Витрувий в I веке до н. э. Царь Гиерон пожелал посвятить бессмертным богам золотой венец. Когда венец доставили царю, вес его равнялся весу золота, выделенного на его создание. Тем не менее царь заподозрил, что некоторое количество золота заменили серебром того же веса. Поскольку сам он не мог обосновать свои подозрения, то обратился за советом к великому математику Архимеду. Легенда гласит, что в один прекрасный день Архимед улегся в ванну, поглощенный размышлениями, как же разоблачить мошенничество с венцом. И вот, погрузившись в воду, он вдруг понял, что его тело вытесняет определенный объем воды – вода выплеснулась за край ванны. И у него мгновенно созрело решение[23]. Архимед вне себя от радости выскочил из ванны и нагим пробежал по улицам города с криком: «Эврика, эврика!» («Я нашел, я нашел!»)
Другое известное высказывание Архимеда – «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю» – в наши дни в той или иной форме цитируется более чем на 150 000 веб-страниц, согласно поисковику «Google». Это смелое заявление, похожее на девиз крупной корпорации, приводили и Томас Джефферсон, и Марк Твен, и Джон Кеннеди, оно встречается даже в поэме лорда Байрона[24]. Архимед много занимался исследованием задачи о перемещении тела заданного веса с помощью заданной силы, и его крылатая фраза, очевидно, знаменует кульминацию этих изысканий. Плутарх рассказывает, что царь Гиерон потребовал, чтобы Архимед продемонстрировал свою способность манипулировать тяжелым грузом при помощи малой силы, и тогда Архимед, задействовав составной блок, спустил на воду судно с полным грузом. Плутарх восхищенно добавляет, что корабль шел «так медленно и ровно, точно… плыл по морю». Эту же легенду с незначительными вариациями мы встречаем и в других источниках. Конечно, Архимед едва ли сумел и в самом деле передвинуть целый корабль при помощи доступных в то время механических устройств, однако легенды не оставляют места для сомнений, что ученый и вправду устроил эффектную демонстрацию какого-то изобретения, позволявшего перемещать тяжелые грузы.
Архимеду принадлежит множество других мирных изобретений – например, гидравлический винт для подъема воды и планетарий, где показывалось движение небесных тел, – однако в древности он больше всего славился своей ролью в обороне Сиракуз от римских завоевателей.
Историки всегда любили войны. Именно поэтому события, связанные с осадой Сиракуз римскими войсками в 214–212 гг. до н. э. подробнейшим образом описаны в трудах целого ряда историков. Римский военачальник Марк Клавдий Марцелл (ок. 268–208 гг. до н. э.), к тому времени стяжавший себе изрядную славу, предвкушал скорую победу. Однако он, очевидно, не принял в расчет упрямства царя Гиерона, которому к тому же помогал гений математики и инженерного дела. Плутарх живо и ярко описывает, какой хаос посеяли в рядах римских воинов боевые машины Архимеда.
Но тут Архимед пустил в ход свои машины, и в неприятеля, наступающего с суши, понеслись всевозможных размеров стрелы и огромные каменные глыбы, летевшие с невероятным шумом и чудовищной скоростью, – они сокрушали всё и всех на своем пути и приводили в расстройство боевые ряды, – а на вражеские суда вдруг стали опускаться укрепленные на стенах брусья и либо топили их силою толчка, либо, схватив железными руками или клювами вроде журавлиных, вытаскивали носом вверх из воды, а потом, кормою вперед, пускали ко дну либо, наконец, приведенные в круговое движение скрытыми внутри оттяжными канатами, увлекали за собою корабль и, раскрутив его, швыряли на скалы и утесы у подножия стены, а моряки погибали мучительной смертью. Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесенными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались.
Архимедовы изобретения вселяли такой ужас, что «римляне… едва заметив на стене веревку или кусок дерева… поднимают отчаянный крик и пускаются наутек в полной уверенности, будто Архимед наводит на них какую-то машину». Эти механизмы произвели сильнейшее впечатление и на самого Марцелла, который сказал своим военным инженерам: «Не довольно ли нам воевать с этим Бриареем [сторуким великаном, сыном Урана и Геи] от геометрии, который вычерпывает из моря наши суда, а потом с позором швыряет их прочь и превзошел сказочных сторуких великанов – столько снарядов он в нас мечет!»
Согласно другой популярной легенде, которая впервые изложена в трудах великого греческого врача Галена (ок. 129–200), Архимед при помощи системы зеркал фокусировал солнечные лучи и жег римские корабли.[25]
Рис. 11
Эту фантастическую историю пересказывают и византийский зодчий VI века Анфимий из Тралл, и сразу несколько историков XII века, хотя неясно, возможно ли такое на практике. И все же собрание полулегенд-полусказок об Архимеде дает нам достаточно свидетельств того, с каким благоговением к этому «мудрецу» относились поколения потомков.
Как я уже отмечал, сам Архимед, высокочтимый «Бриарей от геометрии», не слишком ценил свои военные игрушки и в основном считал их отступлениями от главного – геометрической науки. К несчастью, эта надменность в конце концов стоила Архимеду жизни. Когда римляне все же захватили Сиракузы, Архимед был так поглощен геометрическими чертежами на подносе с песком, что даже не заметил, что кругом кипит бой. Согласно некоторым историкам, когда римский воин приказал Архимеду следовать за ним к Марцеллу, старый геометр возмущенно ответил: «Не трогай мои чертежи!» Этот ответ привел воина в такую ярость, что он нарушил приказ командира, выхватил меч и убил величайшего математика древности[26]. На рис. 11 приведена сделанная в XVIII веке предполагаемая репродукция мозаики, обнаруженной в Геркулануме, на которой запечатлены последние мгновения жизни «наставника».
Гибель Архимеда в некотором смысле знаменовала конец необычайно плодотворной эпохи в истории математики. Вот что отметил английский математик и философ Альфред Норт Уайтхед.
Гибель Архимеда от рук римского солдата – это символ перемен первой величины в масштабе всего мира. Римляне – великий народ, однако их проклятием стала выхолощенность, прислужница практичности. Они не были мечтателями – и не могли потому встать на иную точку зрения, что могло бы дать им более фундаментальную власть над силами природы. Ни один римлянин не поплатился жизнью за то, что был поглощен созерцанием математического чертежа.
К счастью, несмотря на скудость сведений о жизни Архимеда, до нас дошли многие (правда, не все) его поразительные сочинения. Архимед имел обыкновение писать о своих математических открытиях в письмах нескольким друзьям-математикам или уважаемым людям. В список его корреспондентов, помимо всех прочих, входили и астроном Конон Самосский, математик Эратосфен Киренский и царевич Гелон. После смерти Конона Архимед послал несколько писем его ученику Досифею Пелузийскому. Труды Архимеда касаются самых разных вопросов математики и физики[27]. Вот лишь немногие из его великих достижений. Он разработал общий метод вычисления площадей самых разных плоских фигур и объема пространств, ограниченных самыми разными кривыми поверхностями. В их число входили площадь круга, сегментов параболы и спирали и объемы сегментов цилиндров, конусов и других тел, полученных путем вращения парабол, эллипсов и гипербол. Он доказал, что число p, отношение длины окружности к ее диаметру, должно быть больше 310/71 и меньше 31/7. В те времена, когда еще не существовало методов описания очень больших чисел, Архимед изобрел систему, позволявшую не просто записывать числа любой величины, но и манипулировать ими. В физике Архимед открыл законы, управляющие плаванием тел, таким образом заложив основы современной гидростатики. Кроме того, он определил центры тяжести многих объемных тел и сформулировал законы механики рычагов. Архимед проводил астрономические наблюдения, чтобы определять продолжительность года и расстояния до планет.
Оригинальность мышления и внимание к мелочам характерны для трудов многих греческих математиков. И, тем не менее, методы рассуждений и поиска решения, которые разработал Архимед, выделяют его из рядов всех ученых того времени. Приведу лишь три показательных примера, дающие возможность оценить масштабы изобретательности Архимеда. Один на первый взгляд кажется всего лишь забавным курьезом, однако при более пристальном рассмотрении показывает всю глубину пытливого ума Архимеда. Остальные два примера показывают, насколько методы Архимеда опережали время – вот почему я считаю, что именно они возвышают Архимеда до положения «волшебника».
Судя по всему, Архимед очень увлекался большими числами. Однако очень большие числа неудобно записывать обычным способом, они слишком громоздкие (попробуйте хотя бы выписать чек на 8,4 триллиона долларов, национальный долг США на июнь 2006 года, и втиснуть это число в строчку, выделенную под сумму). Поэтому Архимед разработал систему, позволявшую записывать числа длиной до 80 000 триллионов знаков. Затем он применил эту систему в оригинальном трактате под названием «Псаммит» («Исчисление песчинок»), где доказал, что общее количество песчинок в мире не бесконечно.
Даже введение в трактат столь гениально, что я приведу здесь отрывок из него (все сочинение посвящено Гелону, сыну царя Гиерона II) (Heath 1897).
Государь Гелон!
Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не говорю о песке в окрестности Сиракуз и других местах Сицилии, но о всем его количестве как в странах населенных, так и необитаемых.
Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего представить себе невозможно.
Если бы эти последние вообразили массу песку в объеме земного шара, причем им были бы наполнены все моря и пропасти до вершин высочайших гор, то, конечно, они еще меньше могли бы поверить, что легко назвать число, его превосходящее.
Я, напротив, постараюсь доказать с геометрической точностью, которая убедит тебя, что между числами, упоминаемыми мной в книге, написанной Зевксиппу [к сожалению, она утрачена], есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равном объему Земли, наполненной указанным выше способом, но и целого мира.
Ты знаешь, что, по представлению некоторых астрономов, мир имеет вид шара, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен длине прямой, соединяющей центры Земли и Солнца.
Но Аристарх Самосский в своих «Предложениях», написанных им против астрономов, отвергая это представление, приходит к заключению, что мир гораздо больших размеров, чем только что указано.
Он полагает, что неподвижные звезды и солнце не меняют своего места в пространстве, что Земля движется по окружности около Солнца, находящегося в ее центре, и что центр шара неподвижных звезд совпадает с центром Солнца, а размер этого шара таков, что окружность, описываемая, по его предположению, Землей, находится к расстоянию неподвижных звезд в таком же отношении, в каком центр шара находится к его поверхности (здесь и далее пер. Г. Попова).
Из этого введения тут же следует два вывода: (1) Архимед был готов оспорить даже самые популярные представления (вроде бесконечности числа песчинок) и (2) он с уважением относился к гелиоцентрической модели астронома Аристарха (правда, далее в трактате он уточнил одну из гипотез Аристарха). Во Вселенной Аристарха Земля и планеты вращались вокруг неподвижного Солнца, находящегося в ее центре (вспомним, что эту модель предложили за 1800 лет до Коперника!). После этих предварительных замечаний Архимед вплотную приступает к решению задачи о песчинках и делает для этого несколько последовательных логических шагов. Сначала он оценивает, сколько песчинок нужно положить в ряд, чтобы получился диаметр макового зернышка. Затем подсчитывает, сколько нужно маковых зернышек, чтобы выложить отрезок, равный толщине пальца, сколько пальцев составляют стадий (около 178 метров), а затем подсчитывает количество песчинок на десять миллиардов стадиев. По ходу дела Архимед изобретает систему обозначений и индексов, которые в сочетании позволяют ему классифицировать эти исполинские числа. Поскольку Архимед предположил, что сфера неподвижных звезд менее чем в десять миллионов раз больше сферы, в которую вписана орбита Солнца (как она видится с Земли), то обнаружил, что количество песчинок во Вселенной, набитой песком, меньше 1063 (единицы с 63 нулями). В заключение трактата он почтительно обращается к Гелону.
Государь! Сказанное мною покажется, конечно, невероятным многим из тех, кто не изучал математики, но будет достоверно, потому что доказано, для тех, кто ею занимался, если внимательно рассмотреть все сказанное мною о расстояниях и величине Земли, Солнца, Луны и всей Вселенной. Впрочем, я со своей стороны нахожу, что было бы полезно, если бы и другие расследовали этот предмет еще обстоятельнее.
Красота «Исчисления песчинок» заключается в той легкости, с какой Архимед переходит от повседневных предметов (маковых зернышек, песчинок, пальцев) к абстрактным числам и системе математических обозначений – а затем обратно к размерам Солнечной системы и Вселенной в целом. Очевидно, что Архимед обладал столь гибким умом, что безо всяких затруднений применял свою математику для открытия неизвестных свойств Вселенной, а свойства космоса – для развития арифметических концепций.
Вторая причина, по которой Архимед достоин звания волшебника, – метод, при помощи которого он формулировал и доказывал свои выдающиеся геометрические теоремы. До ХХ столетия об этом методе не было известно почти ничего, как и о мыслительном процессе Архимеда в целом. Свои соображения он излагает так сжато, что не оставляет практически никаких зацепок. А затем, в 1906 году, было сделано эпохальное открытие, позволившее разобраться, как был устроен разум этого гения. История открытия так похожа на исторические детективы итальянского писателя Умберто Эко, что я просто обязан вкратце изложить этот сюжет.[28]
Палимпсест Архимеда
В какой-то момент в Х веке (вероятно, в 975 году) некий безымянный писец переписал в Константинополе (ныне Стамбул) три важнейшие работы Архимеда – «Метод механических теорем», «Стомахион» и «О плавающих телах». Вероятно, это был результат общего интереса к греческой математике, который вспыхнул во многом благодаря византийскому ученому Льву Математику, жившему в IX веке. Однако в 1204 году участники Четвертого крестового похода соблазнились обещаниями награды и разграбили Константинополь. В последующие годы страсть к математике угасла, а раскол между западной католической церковью и восточной православной стал окончательным и бесповоротным. В какой-то момент до 1229 года манускрипт с работами Архимеда подвергся катастрофической переработке: рукопись разделили на отдельные листы пергамента и смыли все написанное, чтобы использовать его для христианской литургической книги. Писец по имени Иоанн Мирон завершил работу над литургической книгой 14 апреля 1229 года (Netz and Noel 2007). К счастью, в результате отмывания оригинальный текст не исчез бесследно. На рис. 12 приведена страница из манускрипта: горизонтальные линии – это текст молитв, а еле заметные вертикальные – математические трактаты Архимеда. К XVII веку палимпсест – переписанный документ – попал каким-то образом в Святую Землю, в монастырь Св. Саввы близ Вифлеема. В начале XIX века в библиотеке монастыря хранилось не меньше тысячи манускриптов. И все же по не вполне понятным причинам палимпсест Архимеда вернули в Константинополь. Затем, в 1840-е годы, подворье Иерусалимского храма Гроба Господня в Константинополе посетил знаменитый немецкий библеист Константин Тишендорф (1815–1874), первооткрыватель одного из самых ранних списков Библии, – и увидел там этот палимпсест. Судя по всему, Тишендофу показалось, что еле заметный математический текст представляет определенный интерес, поскольку он оторвал и выкрал один лист манускрипта. В 1879 году наследники Тишендорфа продали эту страницу библиотеке Кембриджского университета.
В 1899 году греческий ученый А. Пападопулос-Керамеус составил каталог всех манускриптов, хранившихся в подворье, и рукопись Архимеда значится в его каталоге как Ms. 355. Пападопулос-Керамеус сумел прочитать несколько строчек математического текста и привел их в каталоге, понимая, вероятно, что это может быть очень важное открытие. Это был поворотный момент в саге о манускрипте. Математический текст в каталоге привлек внимание датского филолога Йохана Людвига Гейберга (1854–1928). Гейберг понял, что текст принадлежит Архимеду, и в 1906 году приехал в Стамбул, изучил и сфотографировал палимпсест, а год спустя объявил о сенсационном открытии: в рукописи содержались два неизвестных ранее трактата Архимеда и один дошедший до нас лишь в латинском переводе. Но хотя Гейберг сумел прочитать и впоследствии опубликовал отрывки из манускрипта в своей книге о трудах Архимеда, остались большие пробелы. К несчастью, в какой-то момент после 1908 года манускрипт исчез из Стамбула при загадочных обстоятельствах – а когда всплыл снова, оказалось, что им владеет некое парижское семейство, которое утверждает, что приобрело его еще в 20-е годы. Палимпсест хранили в неподходящих условиях, и он был местами непоправимо поврежден плесенью, а три страницы, которые ранее перевел Гейберг, и вовсе пропали. Мало того, после 1929 года кто-то нарисовал на четырех страницах четыре миниатюры в византийском стиле. Впоследствии это французское семейство продало манускрипт владельцам аукциона «Кристи». Вопрос о праве собственности на манускрипт разбирался в 1998 году в нью-йоркском суде. Греческий православный патриархат Иерусалима заявил, что рукопись в 20-е годы похитили из одного из его монастырей, однако судья вынесла решение в пользу аукциона «Кристи». Вскоре после этого, 29 октября 1998 года, манускрипт был продан на аукционе «Кристи»; покупатель, пожелавший остаться неизвестным, заплатил за него 2 миллиона долларов. Новый владелец поместил манускрипт в Художественный музей Уолтерса в Балтиморе, где рукопись подвергли интенсивной консервации и тщательному исследованию. В арсенале современных ученых появились инструменты по распознаванию изображений, недоступные исследователям прошлого.
Рис. 12
Рис. 13
Ультрафиолетовый свет, многозональная съемка и даже направленные рентгеновские лучи (ими манускрипт облучали на Стэнфордском линейном ускорителе) уже позволили расшифровать части рукописи, которые раньше были не видны. Сейчас, когда я пишу эти строки, тщательное научное изучение рукописи Архимеда идет полным ходом. Мне выпала честь познакомиться с группой криминалистов, которые изучают палимпсест, и на рис. 13 я стою рядом с экспериментальной установкой, в которой каждую страницу палимпсеста облучают в разных диапазонах.[29]
Драма вокруг палимпсеста по своим масштабам вполне соответствует значению документа, который наконец-то позволил нам изучить научный метод великого геометра.
Метод
Когда читаешь любой древнегреческий геометрический трактат, невольно восхищаешься лаконичностью стиля и точностью формулировок и доказательств теорем, которым уже более двух тысяч лет.
Но чего в этих книгах точно не найдешь – это объяснений, каким образом эти теоремы пришли в голову автору. Выдающийся трактат Архимеда «Метод механических теорем» заполняет этот загадочный пробел – там рассказано, как сам Архимед убеждался в истинности некоторых теорем еще до того, как придумывал, как их доказать. Приведу отрывок из его послания математику Эратосфену Киренскому (ок. 276–194 гг. до н. э.) во введении к трактату (Dijksterhuis 1957).
В этой книге я шлю тебе доказательства этих теорем. Поскольку, как я уже упоминал, я знаю, что ты человек усердный, прекрасный учитель философии и очень интересуешься любыми математическими исследованиями, какие только ни попадутся тебе, я решил, что будет полезно описать и передать тебе в этой же книге некий особый метод, который даст тебе возможность ставить определенные математические вопросы при помощи механики (курсив мой. – М. Л.). Я уверен, что этот же метод не менее полезен при поиске доказательств тех же теорем. В некоторых случаях мне сначала становилось понятно, что происходит, благодаря механическому методу, а затем уже это было доказано геометрически, поскольку изучение этих случаев вышеуказанным методом не позволяет вывести настоящее доказательство. Ведь гораздо проще предоставить доказательство, когда мы уже получили определенные знания посредством указанного метода, чем найти его безо всяких знаний.
Архимед затрагивает здесь один из важнейших принципов научного и математического исследования в целом: зачастую гораздо труднее формулировать вопросы и теоремы, которые стоит исследовать, чем искать ответы на известные вопросы и доказательства известных теорем. Так как же Архимед находил новые теоремы? Опираясь на тончайшее понимание механики, равновесия и принципов рычага, он мысленно взвешивал тела и фигуры, чьи площади и объемы пытался найти, и сравнивал их вес с весом уже известных тел и фигур. А когда ему удавалось таким образом найти неизвестную площадь или объем, было уже гораздо легче геометрически доказать истинность ответа. Именно поэтому «Метод» начинается с ряда утверждений относительно центров тяжести и лишь затем переходит к геометрическим предположениям и их доказательствам.
Метод Архимеда не имеет себе равных по двум причинам. Во-первых, Архимед, в сущности, ввел понятие мысленного эксперимента в строгих научных исследованиях. Название этому инструменту, воображаемому опыту, проводимому вместо реального, – Gedankenexperiment, то есть «опыт, производимый в мыслях» (нем.) – дал физик Ханс Кристиан Эрстед, живший в XIX веке. В физике, где эта идея оказалась крайне плодотворной, мысленные эксперименты применяются либо для того, чтобы обеспечить понимание процессов еще до экспериментов реальных, либо в случаях, когда реальные эксперименты невозможны. Во-вторых – и это самое главное – Архимед освободил математику от несколько искусственных ограничений, которые наложили на нее Евклид и Платон. По мнению этих ученых мужей, математикой можно заниматься одним и только одним способом. Надо начинать с аксиом, а затем выстраивать несокрушимую последовательность логических шагов при помощи строго определенных инструментов. Однако вольнолюбивый Архимед решил для постановки и решения новых задач задействовать весь мыслимый арсенал. И не остановился перед тем, чтобы ради развития математики изучать и использовать связи между абстрактными математическими объектами (платоновскими формами) и физической реальностью (реальными телами или плоскими фигурами). И последний пример, подкрепляющий статус Архимеда-волшебника, – его предсказание интегрального и дифференциального исчисления, отрасли математики, которую формально разработал Ньютон (и независимо от него немецкий математик Лейбниц) лишь к концу XVII века[30]
Основная идея процесса интегрирования довольно проста (если ее понятно объяснить, конечно). Предположим, вам нужно найти площадь сегмента эллипса. Можете разделить эту площадь на много маленьких прямоугольничков одинаковой ширины и сложить площади этих прямоугольничков (рис. 14). Очевидно, что чем больше прямоугольничков мы сделаем, тем ближе сумма их площадей будет к истинной площади сегмента. Иначе говоря, на самом деле площадь сегмента равна пределу, к которому стремится сумма прямоугольничков, если их число увеличивается до бесконечности. Поиск этого предела и называется интегрированием. Архимед применял вариант вышеописанного метода для поиска объема и площади поверхности сферы, конуса, эллипсоидов и параболоидов (тел, которые получаются, если вращать эллипсы или параболы вокруг оси).
Среди основных задач дифференциального исчисления – поиск угла наклона касательной к данной кривой в данной точке, то есть той линии, которая касается кривой только в этой точке. Архимед решил эту задачу для частного случая спирали, тем самым предвосхитив далекое будущее – работы Ньютона и Лейбница. Сегодня области дифференциального и интегрального исчисления и их дочерние отрасли закладывают основу большинства математических моделей – будь то физика, инженерное дело, экономика или динамика популяций.
Рис. 14
Архимед изменил мир математики, перевернул представления об отношениях математики с мирозданием. Поскольку у него были как теоретические, так и практические интересы – поразительное сочетание! – он самой своей деятельностью предоставил первые не мифологические, а эмпирические доказательства того, что структура мироздания, очевидно, основана на математике. Идея, что математика – это язык Вселенной, а следовательно, Бог – математик, родилась именно в трудах Архимеда. И все же одного Архимед не сделал – он никогда не говорил об ограниченности применения своих математических моделей в реальных физических обстоятельствах. Например, теоретические рассуждения о рычагах в его трактатах предполагают, что опоры бесконечно твердые, а сами рычаги ничего не весят. Тем самым Архимед в некотором смысле открыл дорогу толкованию математических моделей «с соблюдением внешних приличий». То есть получалось, что математические модели отражают лишь то, что наблюдают люди, а не описывают подлинную физическую реальность. Разницу между математическим моделированием и физическим объяснением применительно к движению небесных тел первым подробно описал греческий математик Гемин (ок. 10 г. до н. э. – 60 г. н. э.) [Heath 1921]. Он провел грань между астрономами (или математиками), которые, по его мнению, лишь предлагали модели, которые повторяли бы наблюдаемое в небесах движение, и физиками, которые должны были искать объяснения реальному движению. Именно этому разграничению предстояло достигнуть пика во времена Галилея, о чем мы еще поговорим в этой главе.
Сам Архимед, как ни странно, считал своим важнейшим достижением открытие, что объем сферы, вписанной в цилиндр (рис. 15), всегда составляет ровно 2/3 объема цилиндра, если его высота равна его диаметру. Архимед так гордился этим результатом, что потребовал, чтобы его высекли на его надгробии (Plutarch ca. 75 AD). Примерно через 137 лет после смерти Архимеда знаменитый римский оратор Марк Туллий Цицерон (ок. 106–43 гг. до н. э.) обнаружил могилу великого математика. Вот как сам Цицерон описывал это событие – довольно трогательно[31]:
Когда я был квестором, я отыскал в Сиракузах его [Архимеда] могилу, со всех сторон заросшую терновником, словно изгородью, потому что сиракузяне совсем забыли о ней, словно ее и нет. Я знал несколько стишков, сочиненных для его надгробного памятника, где упоминается, что на вершине его поставлены шар и цилиндр. И вот, осматривая местность близ Акрагантских ворот, где очень много гробниц и могил, я приметил маленькую колонну, чуть-чуть возвышавшуюся из зарослей, на которой были очертания шара и цилиндра. Тотчас я сказал сиракузянам – со мной были первейшие граждане города, – что этого-то, видимо, я и ищу. Они послали косарей и расчистили место. Когда доступ к нему открылся, мы подошли к основанию памятника. Там была и надпись, но концы ее строчек стерлись от времени почти наполовину. Вот до какой степени славнейший, а некогда и ученейший греческий город позабыл памятник умнейшему из своих граждан: понадобился человек из Арпина, чтобы напомнить о нем (пер. М. Гаспарова).
Описывая величие Архимеда, Цицерон отнюдь не преувеличивал. Более того, я преднамеренно задал такие высокие стандарты для получения титула «волшебника», что для того, чтобы перейти от титана Архимеда к следующему кандидату, мы должны будем перепрыгнуть на целых восемнадцать столетий вперед и лишь тогда найдем фигуру подобной величины. В отличие от Архимеда, который заявил, что сдвинет Землю, этот волшебник утверждал, что Земля уже движется.
Рис. 15
Лучший ученик Архимеда
Галилео Галилей (рис. 16) родился в Пизе 15 февраля 1564 года[32]. Его отец Винченцо был музыкантом, а мать Джулия Амманнати отличалась исключительно острым умом, правда, была женщина не очень добрая и не выносила глупости. В 1581 году Галилей по совету отца поступил в Пизанский университет на факультет изящных искусств, чтобы изучать медицину. Однако сразу после поступления интерес к медицине угас, сменившись страстью к математике. Поэтому во время летних каникул в 1583 году Галилей уговорил придворного математика Тосканы Остилио Риччи (1540–1603) побеседовать с его отцом и убедить его, что призвание Галилея – математика. И в ближайшем же будущем вопрос удалось уладить – восторженный юноша был совершенно очарован трудами Архимеда: «Тот, кто прочтет его труды, – писал Галилей, – увидит яснее ясного, насколько все остальные умы проигрывают Архимеду и как мало остается надежды открыть что-то подобное тому, что открыл он»[33].
Рис. 16
В то время Галилей и не подозревал, что и сам обладает редчайшим интеллектом, ничем не уступающим уму его греческого наставника. Вдохновленный легендой об Архимеде и золотом венце, Галилей в 1586 году опубликовал небольшой трактат под названием «La Bilancetta» («Маленькое равновесие») о гидростатических весах собственного изобретения. Впоследствии он воздал дань наследию Архимеда и в литературоведческой лекции, которую прочитал во Флорентийской академии; тема лекции была несколько необычной – местоположение и размеры Дантова ада по данным «Божественной комедии».
В 1589 году Галилей был назначен заведующим кафедрой математики в Пизанском университете, отчасти благодаря настойчивым рекомендациям Христофора Клавия (1538–1612), авторитетного римского астронома и математика, которого Галилей посетил в 1587 году. Звезда молодого математика явно находилась на подъеме. Следующие три года Галилей посвятил изложению своих первых идей о теории движения. Эти сочинения, несомненно, вдохновленные трудами Архимеда, содержат поразительную смесь интересных идей и ошибочных утверждений. Например, Галилею первому пришло в голову, что проверять теории относительно падающих тел можно при помощи наклонной плоскости, которая замедляет движение, – однако он ошибочно утверждает, что если сбросить тело с башни, то «древесина в начале движения падает быстрее свинца»[34]
Направление интересов Галилея и общий ход его мыслительного процесса на этом этапе жизни были несколько неправильно истолкованы его первым биографом Винченцо Вивиани (1622–1703). Вивиани нарисовал популярный образ дотошного упорного экспериментатора, который извлекал новые идеи исключительно из внимательного наблюдения над природными явлениями[35]. На самом деле до 1592 года, когда Галилей перебрался в Падую, и направление интересов, и методология у него были чисто математическими. Он полагался в основном на мысленные эксперименты и на архимедово описание мира в терминах геометрических фигур, которые подчиняются математическим законам. В те годы главная претензия к Аристотелю у Галилея сводилась к тому, что Аристотель «не подозревал не только о глубоких и достаточно сложных открытиях геометрии, но и о самых элементарных принципах этой науки»[36]. Также Галилей считал, что Аристотель слишком полагался на чувственный опыт, «поскольку он на первый взгляд дает некоторое подобие истины». Сам же Галилей, напротив, советовал «всегда приводить не примеры, а умозаключения (ибо мы ищем причины следствий, а опыт их не выявляет»).
В 1591 году у Галилея умер отец, и молодой человек, понимая, что теперь он должен содержать семью, принял предложение о работе в Падуе, где ему предложили жалованье втрое больше. Следующие восемнадцать лет были самыми счастливыми в жизни Галилея. Помимо всего прочего, в Падуе он познакомился с Мариной Гамба, с которой у него завязались длительные и прочные отношения; он так и не женился на Марине, однако она родила ему троих детей – Виргинию, Ливию и Винченцо[37]. Четвертого августа 1597 года Галилей написал личное письмо великому немецкому астроному Иоганну Кеплеру с признанием, что он «уже давно» придерживается идей Коперника, и добавил, что гелиоцентрическая модель Коперника дала ему возможность объяснить целый ряд природных явлений, которые геоцентрическая доктрина не объясняла. Однако Галилей сокрушался по поводу того, что Коперника «высмеяли и зашикали» и тот удалился со сцены. Это письмо знаменовало судьбоносный рубеж – отход Галилея от аристотелевой астрономии; с тех пор раскол становился все глубже. Началось формирование современной астрофизики.
Звездный вестник
Вечером 9 октября 1604 года астрономы в Вероне, Риме и Падуе в изумлении обнаружили новую звезду, которая вскоре засияла так ярко, что затмила все остальные звезды в небе. Метеоролог Ян Бруновский, имперский чиновник из Праги, также видел ее 10 октября и в сильнейшем волнении тут же сообщил о ней Кеплеру. Из-за пасмурной погоды Кеплер смог пронаблюдать звезду только 17 октября, однако, начав наблюдения, тщательно записывал все, что видел, примерно в течение года, а затем, в 1606 году, выпустил книгу о «новой звезде». Сегодня мы знаем, что небесный спектакль, разыгравшийся в 1604 году, знаменовал вовсе не рождение новой звезды, а гибель старой в результате взрыва. Это событие, которое сейчас называется «сверхновой Кеплера», вызвало в Падуе настоящую сенсацию. Галилею удалось пронаблюдать новую звезду своими глазами в конце октября 1604 года, а в декабре и январе он прочитал три публичные лекции, на которые пришло очень много слушателей. Галилей призывал ставить знания выше суеверий и продемонстрировал, что отсутствие наблюдаемого сдвига (параллакса) в положении новой звезды (на фоне неподвижных звезд) доказывало, что новая звезда находилась дальше Луны. Значение этого наблюдения трудно преувеличить. В мире Аристотеля любые изменения в небесах были ограничены ближней стороной Луны, а сфера неподвижных звезд, расположенная гораздо дальше, считалась незыблемой и неизменной.
Впрочем, незыблемость этой неизменной сферы была нарушена еще в 1572 году, когда датский астроном Тихо Браге (1546–1601) пронаблюдал еще один звездный взрыв – теперь это называется «сверхновая Тихо».
Событие 1604 года вбило очередной гвоздь в крышку гроба аристотелевой космологии. Однако подлинный прорыв в понимании Вселенной опирался не на область теоретических умозаключений и не на наблюдения, сделанные невооруженным глазом. Скорее это был результат простых экспериментов с выпуклыми и вогнутыми стеклянными линзами: если правильно подобрать две линзы и держать их на расстоянии около 33 сантиметров друг от друга, далекие предметы покажутся гораздо ближе. К 1608 году подобные подзорные трубы появились по всей Европе, и на соответствующий патент претендовали одновременно один голландский и два фламандских изготовителя очков. Слухи о чудесном инструменте достигли ушей венецианского богослова Паоло Сарпи, который рассказал о нем Галилею примерно в мае 1609 года. Сарпи не терпелось удостовериться, что слухи не пустые, и он навел справки о подзорной трубе в письме своему другу, парижанину Жаку Бадоверу. Галилей, по своим собственным словам, «страстно мечтал об этой прелестной вещице». Впоследствии он описал эти события в трактате «Звездный вестник», который вышел в марте 1610 года[38].
Месяцев десять тому назад до наших ушей дошел слух, что некоторый нидерландец приготовил подзорную трубу, при помощи которой зримые предметы, хотя бы удаленные на большое расстояние от глаз наблюдателя, были отчетливо видны как бы вблизи; об его удивительном действии рассказывали некоторые сведущие; им одни верили, другие же их отвергали. Через несколько дней после этого я получил письменное подтверждение от благородного француза Якова Бальдовера из Парижа; это было поводом, что я целиком отдался исследованию причин, а также придумыванию средств, которые позволили бы мне стать изобретателем подобного прибора; немного погодя, углубившись в теорию преломления, я этого добился. (Здесь и далее пер. И. Веселовского.)
Здесь Галилей применяет совершенно такой же творчески-практический метод умозаключений, что и Архимед: как только он узнал, что телескоп в принципе можно построить, у него ушло совсем немного времени на то, чтобы взять и создать этот прибор самостоятельно. Более того, в период с августа 1609 по март 1610 года Галилей с его выдающейся изобретательностью сумел превратить телескоп из устройства, которое увеличивает предметы в восемь раз, в прибор, который сокращает видимое расстояние до них в двадцать раз. Это само по себе значительное техническое достижение, однако величие Галилея должно было проявиться не в практическом «ноу-хау», а в том, как именно он стал применять свою увеличительную трубу (которую он назвал «perspicillum»). Галилей не стал ни высматривать далекие корабли из венецианской гавани, ни разглядывать падуанские крыши, а нацелил телескоп в небеса. Последующие события не имели прецедента в истории науки. Как пишет историк Ноэл Свердлов[39]: «За два месяца – декабрь и январь [1609 и 1610 года соответственно] он совершил столько открытий, перевернувших мир, что ни до него, ни после такое никому не удавалось». В честь четырехсотлетней годовщины первых наблюдений Галилея 2009 год был даже назван Международным годом астрономии.
Чем же Галилей заслужил славу корифея науки? Вот лишь несколько из его поразительных достижений.
Направив телескоп на Луну и внимательно изучив так называемый терминатор – линию, разделяющую темную и освещенную части лунного диска – Галилей обнаружил, что поверхность этого небесного тела неровная, на ней есть горы, кратеры и обширные равнины[40]. Он смотрел, как на затянутой тьмой стороне диска возникают яркие пятна света и как эти точки расширяются и распространяются – в точности как свет восходящего солнца на вершинах гор. Он даже определил высоту одной горы, исходя из геометрии освещения, и оказалось, что она больше шести километров. Но и это не все. Галилей увидел, что темная часть Луны (в первой и четвертой четверти) тоже слабо освещена – и сделал вывод, что все дело в отраженном свете с Земли. Галилей утверждал, что не только Земля освещается полной Луной, но и лунная поверхность залита отраженным светом с Земли.
Многие из этих открытий не стали полной неожиданностью, однако данные Галилея были так убедительны, что вывели научные диспуты на абсолютно новый уровень. До Галилея земное и небесное, мирское и божественное были четко разделены. Разница была отнюдь не только научной и философской. На мнимой непохожести Земли и небес был построен мощный корпус мифологии, религии, романтической поэзии и эстетических принципов. А теперь Галилей утверждал нечто совершенно немыслимое. В пику аристотелевой доктрине Галилей рассматривал Землю и небесное тело – Луну – на одинаковых основаниях: у обеих, оказывается, плотная неровная поверхность и обе отражают солнечный свет.
Конец ознакомительного фрагмента.