Глава 2
Мистики: нумеролог и философ
Жажда понять устройство мироздания двигала человечеством с самого начала времен. Попытки наших собратьев добраться до дна с вопросом «Что все это значит?» выходили далеко за рамки необходимого для простого выживания, улучшения экономической ситуации или качества жизни. Из этого не следует, что все и всегда активно участвовали в поисках каких-то закономерностей в природе или в метафизике. Тот, кто тратит все силы, чтобы свести концы с концами, редко может позволить себе роскошь размышлять о смысле жизни. А в череде тех, кто искал закономерности в головокружительно сложной на первый взгляд структуре Вселенной, выделяется несколько гигантов – на голову выше прочих.
Для многих из нас символом начала современной эпохи в философии науки стало имя французского математика, философа и естествоиспытателя Рене Декарта (1596–1650). Декарт был среди тех, кто добился перехода от описания мира природы с точки зрения качеств, воспринимаемых нашими органами чувств, к объяснению природных явлений при помощи численных величин, полученных на основе точных математических методов (о вкладе Декарта в научный прогресс мы поговорим подробнее в главе 4). Вместо ощущений, запахов и цветов, которые можно было охарактеризовать лишь расплывчато, Декарт потребовал научных объяснений, которые доходили бы до самого фундаментального микроуровня и были бы сформулированы на языке математики (Descartes 1644).
…Мне неизвестна иная материя телесных вещей, как только… та, которую геометры называют величиной и принимают за объект своих доказательств… И так как этим путем… могут быть объяснены все явления природы, то, мне думается, не следует в физике принимать других начал, кроме вышеизложенных, да и нет оснований желать их (пер. С. Шейнман-Топштейн, Н. Сретенского).
Интересно, что Декарт исключил из своей общей научной картины мира царства «мышления и разума»: он считал, что они независимы от материального мира, который можно описать математически. Хотя не приходится сомневаться, что Декарт входит в число самых влиятельных мыслителей последних четырех столетий, не он первый отвел центральное место математике. Хотите верьте, хотите нет, но обобщенные представления о космосе, пронизанном и управляемым математикой, заходившие временами даже дальше декартовских, высказывались, пусть и с сильным уклоном в мистицизм, за две с лишним тысячи лет до Декарта. Легенды гласят, что не кто иной, как загадочный Пифагор, считал, что душа человека, занимающегося чистой математикой, «напоена музыкой».
Пифагор
Пифагор (ок. 572–497 гг. до н. э.) был, вероятно, первым человеком, которому удалось одновременно быть и авторитетным естествоиспытателем, и харизматическим главой философской школы, и ученым, и религиозным мыслителем. В сущности, считается, что именно он и ввел понятия «философии» – любви к мудрости – и «математики» – совокупности научных дисциплин, подлежащих изучению (Iamblichus ca. 300 ADa, см. Guthrie 1987). Хотя до нас не дошло ни одного подлинного сочинения Пифагора (если они вообще записывались, поскольку его учение распространялось в основном устно), в нашем распоряжении есть три подробные, пусть и не вполне достоверные биографии Пифагора, созданные в III веке (Laertius ca. 250 AD; Porphyry ca. 270 AD; Iamblichus ca. 300 ADa, b.). Четвертая, анонимная, пересказана в трудах византийского патриарха и философа Фотия (ок. 820–891 гг.). При изучении наследия Пифагора основная трудность заключается в том, что его последователи и ученики, пифагорейцы, неизменно приписывали ему все свои идеи. В результате даже Аристотелю (384–322 гг. до н. э.) было сложно определить, какие принципы пифагорейской философии можно без опасений приписывать самому Пифагору, поэтому он обычно ссылается на «пифагорейцев» или «так называемых пифагорейцев» (Aristotle ca. 350 гг. до н. э.; см. Burkert 1972). Тем не менее, если учесть, как часто Пифагор упоминается в позднейшей традиции, в целом принято считать, что по крайней мере часть пифагорейских теорий, оказавших сильное влияние на Платона и даже на Коперника, восходят к самому Пифагору.
Нет практически никаких сомнений, что Пифагор родился в начале VI века до н. э. на острове Самос, неподалеку от побережья современной Турции. Вероятно, в юности он много путешествовал, особенно в Египет и, возможно, в Вавилон, где и получил первоначальное математическое образование. Затем он эмигрировал в маленькую греческую колонию Кротон у южной оконечности Италии, где вокруг него быстро собралась группа энтузиастов – учеников и последователей.
Греческий историк Геродот (ок. 485–425 гг. до н. э.) назвал Пифагора «величайшим эллинским мудрецом» (Herodotus 440 гг. до н. э.), а поэт и философ-досократик Эмпедокл (ок. 492–432 гг. до н. э.) восхищенно добавил (Porphyry ca. 270 AD)/
Жил среди них некий муж, умудренный безмерным познаньем,
Подлинно мыслей высоких владевший сокровищем ценным,
В разных искусствах премудрых свой ум глубоко изощривший.
Ибо как скоро всю силу ума напрягал он к Познанью,
То без труда созерцал любое, что есть и что было,
За десять или за двадцать провидя людских поколений.
Однако не на всех учение Пифагора производило такое сильное впечатление. Философ Гераклит Эфесский (ок. 535–475 гг. до н. э.) в комментариях, в которых явственно прослеживается личное соперничество, признает широкие познания Пифагора, однако тут же пренебрежительно добавляет: «Многознание не научает быть умным, иначе бы оно научило Гесиода (греческого поэта, жившего около 700 г. до н. э. – М. Л.) и Пифагора» (пер. М. Дынника).
Пифагор и ранние пифагорейцы не были ни математиками, ни учеными в строгом смысле слова. Скорее, в основе их учения лежит метафизическая философия значения чисел. В глазах пифагорейцев числа были и актуальными сущностями, практически живыми, и универсальными принципами, которые охватывали все, от небес до человеческой этики. Иначе говоря, числа рассматривались с двух разных, хотя и взаимосвязанных сторон. С одной стороны, они существовали вполне осязаемо, физически, с другой – это были абстрактные рецепты, на основании которых строилось все остальное. Скажем, монада (число 1) понималась и как генератор всех прочих чисел, сущность, столь же реальная, сколь и вода, огонь и воздух, играющая свою роль в структуре физического мира, и как идея, метафизическая единица, стоящая у источника всего творения[8]. О двойном значении, которое придавали числам пифагорейцы, писал (на прелестном языке XVII века) и английский историк философии Томас Стэнли (1625–1678).
Число двояко – его можно понимать либо как нечто умственное (то есть нематериальное), либо как нечто научное. Умственное число есть та вечная сущность числа, которую пифагорейцы в своих рассуждениях о богах называли тем самым первоначалом, на котором и зиждется и земля, и небо, и заключенная меж ними природа… Именно его называют первоначалом, источником и корнем всего сущего… Научное же число Пифагор определяет как расширение и претворение в действие продуктивных первопричин, заключенных в монаде или в скоплении монад (Stanley 1687).
Итак, числа – не просто инструменты для обозначения количества или объема. Нет, их надо было открыть – и именно они служат основными движущими силами в природе. Все во Вселенной, от материальных объектов вроде Земли до абстрактных понятий вроде справедливости, – это числа и только числа.
В принципе, числа вполне могут заинтересовать и увлечь кого угодно, в этом нет ничего удивительного[9]. Ведь даже самые заурядные числа, с которыми мы сталкиваемся изо дня в день, и те обладают занятными свойствами. Возьмем, к примеру, число дней в году – 365. Нетрудно убедиться, что 365 – это сумма трех последовательных квадратов: 365 = 102 + 112 + 122. Мало того, это число также равно сумме двух следующих квадратов (365 = 132 + 142). Или рассмотрим число дней в лунном месяце – 28. Это число – сумма всех своих делителей (чисел, на которые его можно делить без остатка): 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Числа, обладающие этим особым свойством, называются совершенными числами (первые четыре совершенные числа – 6, 28, 496, 8218). Отметим также, что 28 – это сумма кубов первых двух нечетных чисел: 28 = 13 + 33. Свои странности есть даже у такого широкоупотребительного в нашей десятичной системе числа, как 100: 100 = 13 + 23 + 33 + 43.
В общем, ясно, что в числах много интересного. И все же вполне можно задаться вопросом, каков источник пифагорейского учения о числах. Откуда появилась идея, что не просто всему на свете можно приписать число – что все на свете суть числа? Поскольку, либо пифагорейцы ничего не записывали, либо все их сочинения были уничтожены, ответить на этот вопрос нелегко. Мы имеем возможность составить впечатление о пифагорейской логике на основании небольшого числа доплатоновских фрагментов и гораздо более поздних и менее надежных суждений, принадлежащих в основном философам-последователям Платона и Аристотеля. Картина, которую удается воссоздать из этих разрозненных отрывков, наталкивает на мысль, что подобная одержимость числами, вероятно, объясняется тем, что пифагорейцы увлекались двумя занятиями, на первый взгляд не связанными, – музыкальными экспериментами и наблюдением над небесами.
Чтобы понять, как образовались все эти таинственные взаимосвязи между числами, небесами и музыкой, придется начать с интересного наблюдения: пифагорейцы придумали способ представлять числа в виде фигур из точек или камешков. Например, натуральные числа 1, 2, 3, 4,… они представляли в виде треугольников (как на рис. 1). В частности, треугольник, выстроенный из первых четырех целых чисел (треугольник из десяти камешков), называется тетрактида (тетрактис, тетрада, «четверица») и в глазах пифагорейцев символизировал совершенство и составляющие его элементы. Это нашло отражение в рассказе о Пифагоре, который приводит греческий сатирик Лукиан (ок. 120–180 гг.) Пифагор просит собеседника начать считать (цит. по Heath 1921). Тот считает: «Один, два, три, четыре…» Пифагор перебивает его: «Видишь? То, что ты принимаешь за четыре, на самом деле десять, идеальный треугольник и наша клятва». Философ-неоплатоник Ямвлих (ок. 250–325 гг.) говорит, что пифагорейцы и правда клялись особой клятвой (Iamblichus ca. 300 ADa; разбор см. у Guthrie 1987).
Именем клятву даю открывшего нам четверицу,
Неиссякаемой жизни источник.
Рис. 1
За что же так почитали тетрактиду? Дело в том, что в глазах пифагорейцев VI века до н. э. она воплощала в себе всю природу Вселенной. В геометрии – которая послужила трамплином для эпохальной древнегреческой научной революции – число 1 соотносилось с точкой , число два – с отрезком или линией, число 3 – с плоскостью или поверхностью , а 4 – с трехмерным телом, тетраэдром . Поэтому тетрактида, по всей видимости, охватывала все пространственные измерения, доступные органам чувств.
Однако это только начало. Тетрактида неожиданно проявилась даже в музыковедении. Считается, что именно Пифагор и пифагорейцы открыли, что если разделить струну так, чтобы длины частей относились как соседние натуральные числа, получаются гармоничные созвучные интервалы – это заметно, когда слушаешь выступление струнного квартета. Когда две подобные струны звучат одновременно, звук получается приятным, если отношения длин этих струн представляют собой простую пропорцию (Strohmeier and Westbrook 1999; Stanley 1687). Например, струны равной длины (соотношение 1:1) звучат в унисон, при соотношении 1:2 получается октава, 2:3 – чистая квинта, 3:4 – чистая кварта. Выходит, что тетрактида не только охватывает все пространственные измерения, но еще и может считаться воплощением математических соотношений, которые лежат в основе музыкальной гаммы. Этот волшебный на первый взгляд союз музыки и пространства стал для пифагорейцев важнейшим символом, дарующим чувство гармонии («взаимного соответствия частей») космоса («прекрасного порядка вещей»).
Где же тут место небесам? Пифагор и пифагорейцы сыграли в истории астрономии роль пусть не главную, однако существенную. Они одними из первых предположили, что Земля имеет форму шара (возможно, потому, что считали сферу совершенной с математико-эстетической точки зрения). Возможно, они также первыми установили, что планеты, Солнце и Луна независимо, сами по себе движутся с запада на восток, в направлении, противоположном ежедневному (очевидному) движению сферы неподвижных звезд. Энтузиасты-наблюдатели ночного неба не пропустили и бросающиеся в глаза основные свойства созвездий – количество звезд и общие очертания. Каждое созвездие характеризовалось числом входящих в него звезд и геометрической фигурой, которую они образуют. И именно эти характеристики лежат в основе пифагорейской доктрины чисел, что ясно видно на примере тетрактиды. Пифагорейцы были под таким впечатлением от того, что геометрические фигуры, созвездия и музыкальные гармонии зависят от чисел, что числа стали для них и строительным материалом Вселенной, и первоначалом самого ее существования. Неудивительно, что девиз Пифагора гласил: «Все есть число».
О том, насколько серьезно воспринимали эту максиму сами пифагорейцы, можно судить по двум замечаниям Аристотеля. В компилятивном трактате «Метафизика» Аристотель пишет: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего» (здесь и далее пер. А. Кубицкого). В другом месте Аристотель живо описывает, как пифагорейцы почитали числа, и упоминает об особой роли тетрактиды: «Эврит [ученик пифагорейца Филолая] устанавливал, какое у какой вещи число (например, это вот – число человека, а это – число лошади); и так же как те, кто приводит числа к форме треугольника и четырехугольника (курсив мой. – М. Л.), он изображал при помощи камешков формы животных и растений». Выделенная фраза – «кто приводит числа к форме треугольника и четырехугольника» – отсылает и к тетрактиде, и к другому интереснейшему пифагорейскому понятию: к идее гномона.
Слово «гномон» (в сущности, «маркер») происходит от названия вавилонского астрономического устройства для определения времени, похожего на солнечные часы[10]. Похоже, что этот аппарат привез в Грецию учитель Пифагора, естествоиспытатель Анаксимандр (ок. 611–547 гг. до н. э.). Не приходится сомневаться, что геометрические представления наставника и их применение в космологии – науке о Вселенной в целом – произвели на ученика сильное впечатление. Впоследствии слово «гномон» стало обозначать и чертежный угольник, и фигуру в виде двух полос, состыкованных под прямым углом, – если приложить ее к квадрату, получится квадрат большего размера (рис. 2). Обратите внимание, что если добавить, например, к квадрату 3 × 3 семь камешков, выложенных в форме прямого угла (гномона), получится квадрат 4 × 4, состоящий из 16 камешков. Это фигурное изображение следующего свойства: в последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9,… сумма любого количества последовательных членов (начиная с 1) всегда дает квадрат. Например, 1 = 12, 1 + 3= 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 и так далее. Такие тесные отношения между гномоном и квадратом, который он «обнимает», пифагорейцы считали символом познания в целом: знание «обнимает» познанное. Следовательно, по мнению пифагорейцев, числа не просто описывали физический мир, но и лежали в основе умственных и эмоциональных процессов.
Рис. 2
Квадраты целых чисел, которые ассоциируются с гномонами, вероятно, привели Пифагора и к формулировке его знаменитой теоремы. Это прославленное математическое утверждение гласит, что у любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, достроенного на самой длинной стороне – гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, достроенных на двух других сторонах – катетах (рис. 3). Карикатуристы под псевдонимом «Франк и Эрнест» посвятили истории открытия теоремы смешную картинку (рис. 4). Как видно на рис. 2, если добавить к квадрату 4 × 4 гномон 9 = 32, получится новый квадрат 5 × 5, то есть 32 + 42 = 52. Поэтому числа 3, 4, 5 могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Наборы целых чисел, обладающие этим свойством (например, 5, 12, 13, поскольку 52 + 122 = 132), называются пифагоровыми тройками.
Рис. 3
Рис. 4
Мало какие математические теоремы могут похвастаться такой «узнаваемостью», как теорема Пифагора. В 1971 году, когда республика Никарагуа выбирала «десять математических формул, изменивших облик планеты» для коллекционной серии марок, теорема Пифагора появилась на второй марке (рис. 5); на первой значилось «1 + 1 = 2»).
Однако был ли Пифагор первым, кто сформулировал широкоизвестную теорему, которую ему приписывают? Некоторые древнегреческие историки в этом не сомневались. В комментарии к «Началам» Евклида (ок. 325–265 гг. до н. э.) – пространному труду по геометрии и теории чисел – греческий философ Прокл (ок. 411–485) писал: «Если мы захотим послушать тех, кто любит записывать древности, мы узнаем, что они приписывают эту теорему Пифагору и сообщают, что он принес в жертву быка за свое открытие» (здесь и далее пер. А. Щетникова)[11]. Однако пифагоровы тройки изображены и на вавилонской клинописной табличке Plimton 322, которая датируется куда более ранним временем – приблизительно династией Хаммурапи (ок. 1900–1600 гг. до н. э.). Более того, геометрические конструкции, основанные на теореме Пифагора, обнаружены и в Индии, где этим соотношением пользовались при строительстве алтарей. Несомненно, о них знал и автор «Шатапатха-брахманы», комментария к древнеиндийским священным текстам, созданного, вероятно, по меньшей мере за несколько веков до Пифагора (Renon and Felliozat 1947, van der Waerden 1983). Впрочем, не так уж важно, первым ли Пифагор сформулировал теорему, получившую его имя, – главное, что постоянно обнаруживавшая себя разного рода взаимосвязь между числами, формами и Вселенной еще на шаг приблизила пифагорейцев к детальной метафизике порядка.
Рис. 5
Важнейшую роль в пифагорейском мире играла и другая идея – понятие о космических противоположностях. Поскольку система противоположностей была основным принципом ранней ионийской научной школы, было естественно, что ее приняли пифагорейцы с их одержимостью порядком. Более того, Аристотель рассказывает, что с идеей, что все на свете уравновешено, поскольку организовано в пары, соглашался даже врач по имени Алкмеон, живший в Кротоне в те годы, когда там существовала знаменитая школа Пифагора. Главная пара противоположностей состояла из предела, выраженного нечетными числами, и беспредельного, выраженного четными. Предел есть сила, наводящая порядок и гармонию в диком необузданном беспредельном. И хитросплетения Вселенной в целом, и перипетии человеческой жизни на уровне микрокосма, как полагали пифагорейцы, состоят из пар противоположностей, которые так или иначе соотносятся друг с другом, и управляются этими противоположностями. Эта несколько черно-белая картина мира описывалась «таблицей противоположностей», которая приведена в «Метафизике» Аристотеля:
Философская концепция, выраженная в этой таблице, была распространена отнюдь не только в Древней Греции[12]. Китайские инь и ян, где инь – это отрицание и тьма, а ян – утверждение и свет, отражают такое же мировоззрение. Примерно такие же идеи проникли и в христианство, где есть понятия рая и ада (и даже в заявления американских президентов наподобие «Вы или с нами, или с террористами»). У противоположностей есть и более общий смысл – всегда считается, что смерть оттеняет и подчеркивает смысл жизни, а знание особенно заметно по сравнению с невежеством.
Не все принципы пифагорейского учения имеют непосредственное отношение к числам. Стиль жизни замкнутого сообщества пифагорейцев был основан на вегетарианстве, убежденности в метемпсихозе – переселении бессмертных душ – а также на несколько загадочном запрете употреблять в пищу бобы. Существует несколько объяснений, почему пифагорейцам нельзя было есть бобы: то ли бобы напоминают видом детородный орган человека, то ли есть бобы – все равно что есть живую душу. Приверженцы последней версии считали, что когда человек, поевший бобов, испускает ветры, то это погибшая душа словно бы испускает дух.
В книге «Philosophy for Dummies» («Философия для чайников», Morris 1999) учение пифагорейцев кратко изложено следующим образом: «Все состоит из чисел, и не ешь бобы, потому что за это получишь по первое число».
Самая старая дошедшая до нас история о пифагорейцах довольно-таки поэтична и связана с представлением о переселении души в другие живые существа (Joost-Gaugier 2006). Она сохранилась в стихах поэта Ксенофана Колофонского, жившего в VI веке до н. э.
Как-то в пути увидав, что кто-то щенка обижает,
Он [Пифагор], пожалевши щенка, молвил такие слова:
«Полно бить, перестань! Живет в нем душа дорогого
Друга: по вою щенка я ее разом признал».
Влияние Пифагора явно прослеживается не только в учении древнегреческих философов – его непосредственных последователей, – но и в том, как строился учебный план средневековых университетов. Семь предметов, которые там преподавали, делились на тривиум – диалектику, грамматику и риторику – и квадривиум, в который входили любимые темы пифагорейцев – геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Небесная «гармония сфер» – музыка, которую якобы исполняли планеты на орбитах и которую, по свидетельствам учеников, слышал один лишь Пифагор, – вдохновляла равным образом и поэтов, и ученых. Знаменитый астроном Иоганн Кеплер (1571–1630), открывший законы движения планет, назвал один из своих революционных трудов «Harmonices Mundi» – «Гармонии мира». И вполне в пифагорейском духе сочинил даже музыкальные «мотивы» разных планет (это же проделал три века спустя композитор Густав Холст).
Однако вернемся к теме нашей книги: если снять с пифагорейской философии мистический покров, обнаружится каркас, по которому можно сделать множество важнейших выводов касательно математики, ее природы и ее связи как с физическим миром, так и с человеческим разумом[13]. Пифагор и пифагорейцы – первопроходцы на пути поисков вселенского порядка. Их можно считать основателями чистой математики, поскольку, в отличие от своих предшественников – вавилонян и египтян, – они подходили к математике абстрактно, в отрыве от каких бы то ни было практических целей. А вот ответить на вопрос, пифагорейцы ли поставили математику на службу естественным наукам, уже сложнее. Да, пифагорейцы связывали все природные явления с числами, однако предметом их изучения были числа как таковые, а не природные явления или их причины. Для научного исследования такой путь не слишком перспективен. И все же в основе пифагорейского учения лежало общее представление о существовании универсальных законов природы. Это представление, ставшее краеугольным камнем современной науки, вероятно, коренится еще в идее Рока в древнегреческой трагедии. Вплоть до конца эпохи Возрождения твердая вера в реальность совокупности законов, которые способны объяснить все природные явления, далеко опережала данные любых наблюдений и экспериментов, и лишь Галилей, Декарт и Ньютон обратили ее в гипотезу, которую можно обосновать методом логической индукции.
Пифагорейцам принадлежит и другая заслуга – они сами обнаружили, что их «культ числа», к сожалению, не проходит проверку реальностью. Это открытие, конечно, спустило их с небес на землю. Целых чисел 1, 2, 3,… не хватало даже для того, чтобы вывести из них математику, не говоря уже об описании Вселенной.
Рис. 6
Рассмотрим квадрат на рис. 6, сторона которого принята за единицу, а длину диагонали мы обозначили d. Мы без труда найдем d при помощи теоремы Пифагора, применив ее к любому из двух прямоугольных треугольников, на которые поделен квадрат. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали (гипотенузы) равен сумме квадратов двух катетов (коротких сторон): d 2 = 12 + 12, то есть d 2 = 2. Поскольку мы знаем, что квадрат – это положительное число, его легко найти, если взять квадратный корень (например, если x 2 = 9, то положительное число x = √9 = 3) Поэтому из d 2 = 2 следует, что d = √2 единиц. Итак, соотношение длины диагонали к длине стороны квадрата – это число √2. И вот тут-то пифагорейцев и ждало страшное потрясение – открытие, которое не оставило камня на камне от тщательно сконструированной пифагорейской концепции дискретных чисел. Один пифагореец (возможно, это был Гиппас из Метапонта, живший в первой половине V века до н. э. (Fritz 1945)) сумел доказать, что квадратный корень из двух нельзя выразить в виде отношения каких бы то ни было целых чисел. Иначе говоря, даже если мы располагаем бесконечным множеством целых чисел, поиски такой их пары, отношение которой даст нам √2, изначально обречены на провал.
Если число можно выразить в виде отношения двух целых чисел (например, 3/17, 2/5, 1/10, 6/1), его называют рациональным числом (собственно, латинское слово ratio и означает «отношение»). Пифагорейцы доказали, что √2 – не рациональное число. Более того, вскоре после этого открытия обнаружилось, что и √3, √17 и вообще квадратный корень любого числа, которое не представляет собой точный квадрат (16, 25 и т. д.), – тоже не рациональные числа. Последствия были самые серьезные: пифагорейцы доказали, что к бесконечному множеству рациональных чисел придется добавить бесконечное множество чисел другой разновидности – сегодня мы называем их иррациональными числами. Важность этого открытия для дальнейшего развития математического анализа невозможно переоценить. Помимо всего прочего, оно привело и к тому, что в XIX веке признали существование счетных и несчетных бесконечностей[14]. Однако на самих пифагорейцев это открытие произвело настолько ошеломляющее впечатление, что философ Ямвлих пишет, что тот, кто открыл иррациональные числа, «вызвал, как говорят, такую ненависть, что его не только изгнали из общины и отлучили от пифагорейского образа жизни, но и соорудили ему надгробие, как будто действительно ушел из жизни тот, кто некогда был их товарищем».
Однако пифагорейцам принадлежит заслуга, вероятно, даже более важная, чем открытие иррациональных чисел, – то, что именно они первыми стали настаивать на математическом доказательстве, процедуре, основанной исключительно на логических рассуждениях, при помощи которой можно было раз и навсегда установить истинность любого математического предположения, исходя из некоторых постулатов. До древних греков даже сами математики не считали, что кому-то хоть сколько-нибудь любопытно, какие умственные упражнения привели их к тому или иному открытию. Если какой-то математический рецепт можно было с успехом применять на практике, скажем, чтобы распределять участки земли, иного доказательства не требовалось. А вот греки захотели объяснить, почему его можно с успехом применять на практике. Хотя саму идею доказательства первым предложил философ Фалес Милетский (ок. 625–547 гг. до н. э.), именно пифагорейцы превратили эту привычку в совершенный инструмент, позволявший удостовериться в истинности математических утверждений. Значение этого прорыва в логике колоссально. Когда математика стала прибегать к доказательствам, основанным на постулатах, сразу же оказалось, что она покоится на куда более прочном фундаменте, чем любая другая научная дисциплина, которую обсуждали философы того времени. Как только удавалось представить строгое доказательство, основанное на последовательности умозаключений, где не было никаких логических оплошностей, истинность соответствующего математического утверждения становилась незыблемой навечно. Особый статус математического доказательства признавал даже Артур Конан Дойл, создатель самого знаменитого сыщика в мире. В «Этюде в багровых тонах» Шерлок Холмс объявляет, что его выводы «безошибочны, словно теоремы Эвклида» (пер. Н. Треневой).
Для Пифагора и пифагорейцев не было никаких сомнений, изобретают они математику или открывают: математика для них была реальна, незыблема, вездесуща и гораздо более совершенна, чем любое мыслимое творение жалкого человеческого разума. Пифагорейцы буквально воплотили вселенную в математике. В сущности, пифагорейцы не считали, что Бог – математик, они считали, что математика есть Бог (см. разностороннее обсуждение этого тезиса в Netz 2005)!
Значение пифагорейской философии выходит далеко за рамки ее конкретных достижений. Пифагорейцы подготовили почву и в определенном смысле составили перечень важнейших вопросов для следующего поколения философов – в частности для Платона – и заложили основное направление развития западной мысли.
Во глубину платоновской пещеры
Знаменитый английский математик и философ Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) однажды заметил, что «самое надежное обобщение, которое можно сделать при изучении истории западной философии, – что вся она представляет собой примечания к Платону» (Whitehead 1929).
И в самом деле, Платон (ок. 428–347 гг. до н. э.) первым свел воедино самые разные темы – от математики, науки и лингвистики до религии, этики и искусства – и понял, что нужно подходить к ним одинаково, в результате чего, собственно, и появилась философия как научная дисциплина. Философия для Платона была не каким-то отвлеченным предметом, который стоит особняком от повседневной жизни, а общим руководством, как нужно проживать жизнь, как отличать истину ото лжи и как строить политику. В частности, Платон считал, что философия способна открыть перед нами царство истин, которое простирается далеко за пределы того, что мы воспринимаем при помощи органов чувств, и даже того, что мы можем вывести на основании простого здравого смысла. Кто же был этот неутомимый искатель чистого знания, абсолютного блага и вечных истин?[15]
Платон, сын Аристона и Периктионы, родился в Афинах или в Эгине. На рис. 7 приведена герма Платона – скорее всего, копия с более раннего греческого оригинала, созданного в IV веке до н. э. Платон был весьма родовит и по отцовской, и по материнской линии: среди его предков были прославленные исторические деятели, в частности великий законодатель Солон и последний царь Аттики Кодр. Дядя Платона Хармид и двоюродный брат Критий были старыми друзьями знаменитого философа Сократа (ок. 470–399 гг. до н. э.) – многие исследователи полагают, что это знакомство в основном и сформировало взгляды юного Платона. Поначалу Платон хотел стать политиком, однако партия, взгляды которой ему тогда импонировали, была замешана в насильственных действиях, и это отвратило его от политического поприща. Именно нелюбовь к политике, вероятно, и побудила Платона в последующие годы изложить свои представления о том, каким должно быть фундаментальное образование государственных мужей будущего. Он даже попытался быть наставником правителя Сиракуз Дионисия II, впрочем, к успеху это не привело.
Рис. 7
После казни Сократа в 399 году до н. э. Платон отправился в длительное путешествие, которое завершилось лишь с основанием его легендарной научно-философской школы, Академии, около 387 года до н. э. Платон возглавлял Академию (был ее схолархом) до самой своей смерти; на посту его сменил Спевсипп, приходившийся ему племянником. Академия, в отличие от современных научно-образовательных учреждений, была скорее неформальным клубом интеллектуалов, которые под руководством Платона изучали самые разные предметы. Не было ни платы за обучение, ни устоявшегося учебного планая – не было даже преподавателей в привычном нам смысле слова. Однако же те, кто хотел поступить в Академию, должны были удовлетворять одному довольно необычному требованию. Согласно речи императора Юлиана Отступника, правившего в IV веке (уже нашей эры), над входом в Академию Платона висела массивная доска с надписью. Надпись гласила: «Не геометр да не войдет!»[16]. Поскольку с основания Академии до первого описания ее девиза прошло не меньше 800 лет, нет никакой уверенности, что надпись вообще существовала. Однако не приходится сомневаться, что выраженная в этом требовании идея отражает личное мнение Платона. В одном из своих знаменитых диалогов «Горгий» Платон пишет: «… Как много значит и меж богов, и меж людей равенство, – я имею в виду геометрическое равенство» (пер. С. Маркиша).
«Студенты» Академии по большей части сами себя обеспечивали, и некоторые, в том числе, например, великий Аристотель, оставались там лет по двадцать. Платон считал, что такое длительное общение творческих умов – лучшее средство для порождения новых идей в самых разных сферах, от отвлеченной метафизики и математики до этики и политики. Чистота помыслов и божественная возвышенность учеников Платона прекрасно отражены на картине «Школа Платона» бельгийского художника-символиста Жана Дельвиля (1867–1953). Чтобы подчеркнуть духовное совершенство учеников, Дельвиль изобразил их обнаженными, с андрогинными телами, поскольку именно таковы должны были быть первые люди.
Когда я узнал, что археологи не смогли найти никаких следов Академии Платона, то очень огорчился[17]. Летом 2007 года я побывал в Греции и решил найти какой-нибудь заменитель. Платон упоминает, что его излюбленным местом для бесед с друзьями была Стоя Зевса (крытая галерея, выстроенная в V веке до н. э.). Я нашел развалины этой стои в северо-западной части древней афинской агоры, которая была центром общественной жизни города (рис. 8). Признаться, даже при сорокапятиградусной жаре меня пробрал холодок, когда я шагнул на те же каменные плиты, где сотни и даже тысячи раз ступала нога этого великого человека.
Рис. 8
Легендарная надпись над входом в Академию прямо и недвусмысленно говорит об отношении Платона к математике. Более того, львиная доля значительных математических исследований, которые велись в IV веке до н. э., были так или иначе связаны с Академией. Однако сам Платон не обладал ни математическими талантами, ни какими-либо существенными инженерными задатками, и непосредственный его вклад в развитие математических наук был, пожалуй, совсем невелик. Платон был скорее восторженным зрителем, вдохновителем и руководителем, поставщиком интересных задач и образованным критиком. Философ и историк Филодем, живший в I веке, рисует ясную картину: «В то время математика стремительно двигалась вперед, причем Платон, словно главный зодчий, ставил задачи, а математики усердно исследовали их» (см. Cherniss 1945, Mekler 1902). А математик и философ-неоплатоник Прокл добавляет: «…И геометрия, равно как и прочие математические науки, получила его [Платона] стараниями величайшее развитие: известно, сколь часто он использует в своих сочинениях математические рассуждения и повсюду пробуждает ими восторг в преданных философии» (Cherniss 1945, Proclus ca. 450). Иначе говоря, Платон, чьи познания в математике были достаточно широкими для своего времени, беседовал с математиками на равных и ставил им задачи, хотя его личные заслуги в развитии математики были незначительны.
Еще один яркий пример любви Платона к математике мы находим в его, пожалуй, лучшей книге – «Государство», где этика, эстетика, политика и метафизика сведены в единую систему головокружительной красоты. Главный герой «Государства» – Сократ, однако в книге VII именно Платон предлагает смелый план воспитания и образования будущих правителей утопических государств. Это строгая, пусть и несколько идеализированная программа предполагает обучение с самых ранних лет посредством игр, путешествий и физических упражнений. Затем подающих надежды детей отбирают и не менее десяти лет учат математике и пять лет – диалектике, после чего они в течение пятнадцати лет набираются практического опыта, то есть служат военачальниками и предаются другим занятиям, подобающим молодежи. Платон подробно объясняет, почему он считает, что именно так следует воспитывать и обучать будущих политиков (Plato ca. 360 ВС.).
Однако не следует, чтобы к власти приходили те, кто прямо-таки в нее влюблен. А то с ними будут сражаться соперники в этой любви… Кого же иного заставишь ты встать на страже государства, как не тех, кто вполне сведущ в деле наилучшего государственного правления, а вместе с тем имеет и другие достоинства и ведет жизнь более добродетельную, чем ведут государственные деятели? (Здесь и далее пер. А. Егунова.)
Освежает, правда? По правде говоря, такая строгая и трудоемкая программа обучения во времена Платона была, пожалуй, неосуществима, однако Джордж Вашингтон тоже считал, что будущих политиков хорошо бы обучать математике и философии.
Мало того, что без науки о числах в той или иной степени невозможно сделать ни шагу в цивилизованной жизни, – исследование математических истин приучает ум к методу и точности выводов; подобное занятие весьма подобает существу разумному. Когда бытие затуманено и растерянному исследователю столь многое представляется неясным – именно тогда находит себе опору дар рационального мышления. С прочной позиции математического и философского доказательства мы незаметно переходим к куда более благородным умозаключениям и тонким раздумьям (Washington 1788).
Что же касается вопроса о природе математики, Платон-философ сыграл здесь даже более важную роль, чем Платон-математик. Здесь его идеи, оставившие ярчайший след, не просто ставят его выше всех математиков и философов его поколения, но и делают самой влиятельной фигурой последующих тысячелетий.
Представление Платона о том, что такое на самом деле математика, имеет прямое отношение к его знаменитой «аллегории Пещеры». Платон подчеркивает, как опасно доверять сведениям, полученным посредством органов чувств человека. Он утверждает, что то, что мы воспринимаем как реальный мир, на самом деле не более реально, чем тени, отбрасываемые на стены пещеры[18]. Приведу этот примечательный отрывок из «Государства».
…Посмотри-ка: ведь люди как бы находятся в подземном жилище наподобие пещеры, где во всю ее длину тянется широкий просвет. С малых лет у них там на ногах и на шее оковы, так что людям не двинуться с места, и видят они только то, что у них прямо перед глазами, ибо повернуть голову они не могут из-за этих оков. Люди обращены спиной к свету, исходящему от огня, который горит далеко в вышине, а между огнем и узниками проходит верхняя дорога, огражденная – глянь-ка – невысокой стеной вроде той ширмы, за которой фокусники помещают своих помощников, когда поверх ширмы показывают кукол… Так представь же себе и то, что за этой стеной другие люди несут различную утварь, держа ее так, что она видна поверх стены; проносят они и статуи, и всяческие изображения живых существ, сделанные из камня и дерева… Разве ты думаешь, что, находясь в таком положении, люди что-нибудь видят, свое ли или чужое, кроме теней, отбрасываемых огнем на расположенную перед ними стену пещеры?
Согласно Платону, все мы – все человечество – не слишком отличаемся от этих узников в пещере, которые принимают тени за реальность (на рис. 9 приведена гравюра Яна Санредама, иллюстрирующая эту аллегорию (1604)). В частности, подчеркивает Платон, математические истины относятся не к окружностям, треугольникам и квадратам, которые можно нарисовать на клочке папируса или начертить палочкой на песке, а к абстрактным объектам, которые пребывают в идеальном мире – вместилище подлинных форм и совершенств. Этот платоновский мир математических понятий отделен от мира физического, и именно там, в этом первом мире, верны математические суждения наподобие теоремы Пифагора. Прямоугольный треугольник, который мы чертим на бумаге, лишь несовершенная копия, приближение к истинному, абстрактному треугольнику.
Рис. 9
Другая фундаментальная проблема, которую Платон подробно исследовал, – это природа математического доказательства как процесса, основанного на аксиомах и постулатах. Аксиомы – это основополагающие утверждения, истинность которых считается самоочевидной. Например, первая аксиома евклидовой геометрии гласит: «Между любыми двумя точками можно провести прямую». В «Государстве» Платон прекрасно сочетает понятия о постулатах и о мире математических форм.
…Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения… Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором (курсив мой. – М. Л.).
Представления Платона заложили основу платонизма – такое название получили его идеи в философии вообще и в проблеме природы математики в частности[19]. Платонизм в самом широком смысле слова предполагает веру в некие вечные, незыблемые абстрактные объекты, абсолютно независимые от эфемерного мира, которые мы воспринимаем посредством органов чувств. Согласно платонизму, реальное существование математических понятий – столь же объективный факт, сколь и существование самой Вселенной. Существуют не только натуральные числа, окружности и квадраты, но и мнимые числа, функции, фракталы, неевклидовы геометрии, бесконечные множества, а также самые разные теоремы, которые их описывают. Короче говоря, каждое математическое понятие или «объективно истинное» суждение (подробнее об этом чуть позже), когда бы то ни было сформулированные или возникшие в чьем-то воображении, и бесконечное количество понятий и утверждений, еще не открытых, – все это абсолютные сущности, или универсалии, которые нельзя ни создать, ни уничтожить. Они существуют независимо от наших знаний о них. Нет нужды говорить, что это не физические объекты, они обитают в автономном мире вечных сущностей. Математики для платонизма – исследователи неведомых земель, они могут лишь открыть математические истины, но не изобрести их. Америка существовала задолго до того, как ее открыл Колумб (или Лейф Эриксон), – так и математические теоремы существовали в платоновском мире задолго до того, как вавилоняне приступили к математическим изысканиям. Для Платона подлинно, в полной мере существуют лишь эти абстрактные математические формы и идеи, поскольку лишь в математике, по его мнению, можно обрести совершенно точные и объективные познания. Следовательно, по Платону, математика тесно связана с божественным (подробнее об этом см. Mueller 2005). В диалоге «Тимей» бог-творец формирует мир при помощи математики, а в «Государстве» знание математики становится главным шагом на пути к познанию божественных форм. Платон не применяет математику для формулировки некоторых законов природы, которые можно проверить экспериментально. Для него математический характер мира – всего лишь следствие того, что «Бог всегда остается геометром».
Платон распространил идеи «истинных форм» и на другие дисциплины, в особенности на астрономию. Он считал, что при изучении подлинной астрономии «мы должны оставить небеса в покое»[20] и не пытаться рассчитывать взаимное положение и видимое движение звезд. Платон полагал, что истинная астрономия – это наука, изучающая законы движения в некоем идеальном математическом мире, движения, для которого наблюдаемые небеса – лишь иллюстрация (в том же смысле, в каком геометрические фигуры, начерченные на папирусе, лишь иллюстрируют истинные фигуры).
Представления Платона об астрономических исследованиях казались противоречивыми даже некоторым самым убежденным платоникам. Сторонники его идей утверждали, что на самом деле Платон считает не что подлинная астрономия должна заниматься какими-то идеальными небесами, не имеющими отношения к наблюдаемым, но что ее задача – изучать реальное движение небесных тел, а не искаженное, какое мы наблюдаем с Земли. Однако многие мыслители указывают, что, если понимать максиму Платона слишком буквально, это сильно затруднило бы развитие наблюдательной астрономии как науки. Впрочем, как бы мы ни толковали отношение Платона к астрономии, во всем, что касается основ математики, платонизм играет ведущую роль.
Но существует ли платоновский мир математики на самом деле? И если да, то, собственно, где? И что это за «объективно истинные» утверждения, которые населяют этот мир? Или же математики, которые придерживаются платонизма, просто выражают те же романтические представления, каких, как говорят, придерживался великий художник Возрождения Микеланджело? Согласно легенде, Микеланджело был убежден, что его великолепные скульптуры уже существуют в глубине мраморных глыб, а его задача – лишь стесать все лишнее.
Современные платоники (да-да, они есть, и их представления мы подробно опишем в следующих главах) настаивают, что платоновский мир математических форм совершенно реален, и предлагают конкретные, по их мнению, примеры объективно истинных математических утверждений, которые обитают в этом мире.
Рассмотрим следующее простое и понятное утверждение. Каждое четное целое число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел (делящихся только на себя и единицу). Это несложное на первый взгляд утверждение называется проблемой Гольдбаха, поскольку именно в такой формулировке обнаружено в письме прусского математика-любителя Кристиана Гольдбаха (1690–1764) Леонарду Эйлеру от 7 июня 1742 года. Убедиться в верности этого утверждения для первых нескольких четных чисел совсем не трудно: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 (или 5 + 5); 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 (или 7 + 7); 16 = 5 + 11 (или 3 + 13) и так далее. Утверждение это до того просто, что британский математик Г. Г. Харди объявил, что «любой дурак мог бы догадаться». Более того, французский математик и философ Рене Декарт высказал это предположение еще до Гольдбаха. Однако выяснилось, что сформулировать проблему легко, а вот доказать – совсем другое дело. В 1966 году китайский математик Чэнь Цзинжунь сделал существенный шаг по пути к доказательству. Он сумел показать, что всякое достаточно большое четное число представляет собой сумму двух чисел, одно из которых простое, а второе имеет не более двух простых делителей. К концу 2005 года португальский ученый Томаш Оливейра э Сильва показал, что это утверждение верно для чисел, не превышающих 3 × 1017 (до трехсот тысяч триллионов). И все же, несмотря на колоссальные усилия многих талантливых математиков, на сегодняшний день, когда я пишу эти строки, общее доказательство так и не удалось найти. К желаемому результату не привел даже дополнительный стимул в виде миллиона долларов, которые предложили в виде награды всякому, кто найдет доказательство в срок с 20 марта 2000 года по 20 марта 2002 года (в рамках рекламной кампании романа А. К. Доксиадиса «Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха» [Doxiadis 2000]).
Тут-то перед нами и встает вопрос о значении «объективной истины» в математике. Предположим, что в 2016 году все же будет представлено строгое доказательство проблемы Гольдбаха. Можно ли будет тогда сказать, что это утверждение было верным уже тогда, когда о нем задумался Декарт? Многие, наверное, согласятся, что это глупый вопрос. Ясно, что если истинность утверждения доказана, значит, оно всегда было истинным, даже до того, как мы в этом убедились. Или рассмотрим другой невинный на вид пример – гипотезу Каталана (подробнее см. Ribenboim 1994). Числа 8 и 9 – последовательные целые числа, и каждое из них равно степени натурального числа – 8 = 23 и 9 = 32. В 1844 году бельгийский математик Эжен Шарль Каталан (1814–1894) предположил, что среди всех возможных степеней целых чисел лишь одна пара последовательных чисел, за исключением 0 и 1, представляет собой степени других целых чисел, и это 8 и 9. Иными словами, можно хоть всю жизнь записывать все целые степени, однако не найдешь другой пары таких чисел, которые различаются на 1. На самом деле, еще в 1342 году франко-еврейский философ и математик Леви бен Гершом (1288–1344) доказал малую часть этой гипотезы: он показал, что 8 и 9 – это единственные степени 2 и 3, которые различаются на 1. Большой шаг вперед был сделан математиком Робертом Тейдеманом в 1976 году. И все же доказательство гипотезы Каталана в общем виде ставило в тупик лучшие математические умы вот уже более 150 лет. Но вот наконец 18 апреля 2002 года румынский математик Преда Михайлеску представил полное доказательство гипотезы. Оно было опубликовано в 2004 году и на сегодня полностью принято математическим сообществом. И снова можно задаться вопросом: когда гипотеза Каталана стала истинной: в 1342 году? В 1844? В 1976? В 2002? В 2004? Разве не очевидно, что это утверждение всегда было истинным, хотя мы не знали, что оно истинно? Именно такого рода утверждения платоники и называют «объективными истинами».
Некоторые математики, философы, специалисты по когнитивной психологии и другие «потребители» математики, например программисты, считают платоновский мир плодом воображения чересчур мечтательных умов (такую точку зрения и другие догмы мы еще обсудим подробнее на страницах этой книги, в главе 9). Более того, в 1940 году знаменитый историк математики Эрик Темпл Белл (1883–1960) сделал вот какое предсказание (Bell 1940).
Согласно пророкам, последний приверженец платоновских идеалов разделит участь динозавров к 2000 году. И тогда к математике, лишившейся мифического покрова этернализма, будут относиться именно как к той науке, какой она была всегда, – к языку, изобретенному людьми с определенной целью, которую они сами себе поставили. Последний храм абсолютной истины исчезнет, а вместе с ним исчезнет и ничто, которое в нем свято оберегали.
Предсказание Белла не сбылось. Хотя в науке и появились догмы, диаметрально противоположные платонизму (правда, противоположные, если можно так выразиться, с разных сторон), им не удалось полностью завоевать умы (и сердца!) всех математиков и философов, и раскол между ними в наши дни остался прежним.
Однако давайте предположим, что в один прекрасный день платонизм победил, и все мы стали убежденными платониками. Объясняет ли платонизм «непостижимую эффективность» математики при описании нашего мира? Не совсем. Почему физическая реальность ведет себя в соответствии с законами, обретающимися в абстрактном платоновском мире? Ведь в этом, в сущности, и состоит одна из загадок Пенроуза, а Пенроуз – убежденный платоник. Так что пока придется нам смириться с фактом, что даже если бы все мы стали сторонниками платонизма, тайна могущества математики осталась бы тайной. По словам Вигнера: «Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не менее удивительно, чем чудо, состоящее в способности человеческого разума нанизывать один за другим тысячи аргументов, не впадая при этом в противоречие».
Чтобы вполне оценить масштабы этого чуда, нам придется углубиться в жизнь и наследие самих чудотворцев – блистательных умов, которым мы обязаны открытием множества неимоверно точных математических законов природы.