5
Немного о методе
Для греческих математиков возможность доказать теорему становится ключевым моментом. Ни одна теорема не может считаться состоятельной, если ее не сопровождает доказательство, иными словами, логичное и точное подтверждение. Крайне важным было суметь предметно продемонстрировать доказательство, т. к. в противном случае оставалось сомнение в совершенстве теоремы и были бы возможны неожиданные сюрпризы. Некоторые методы, несмотря на то что широко известны и повсеместно используются, не всегда хорошо работают.
Вот пример. Помните, в папирусе Ахмеса описывалось, как начертить квадрат и круг с одинаковой площадью? В этих рассуждениях, без сомнения, есть ошибка. Отклонения незначительные, тем не менее они есть. При измерении площадей фигур оказывается, что разница составляет приблизительно 0,5 %! Ну что же, для землемеров такая точность достаточна, однако для теоретиков математики недопустима.
Даже среди гипотез Пифагора были ошибочные суждения. Одно из таких заблуждений касалось соизмеримости длин. Пифагор полагал, что в геометрии любые величины соизмеримы, т. е. всегда можно найти достаточно малую величину для измерения любых двух длин. Представьте два отрезка длиной 9 и 13,7 см соответственно. В Древней Греции еще не использовались десятичные значения для измерений, и, таким образом, второй отрезок нельзя было измерить в сантиметрах. Разумеется, нет ничего сложного в том, чтобы определить длину отрезка единицами в десять раз меньшими, чем сантиметры, соответственно, длины отрезков составят 90 и 137 мм. Пифагор был убежден, что любые два отрезка соизмеримы, и их длины можно определить в соответствующих единицах.
Это утверждение опроверг древнегреческий философ-пифагореец Гиппас из Метапонта. Ученому приписывают открытие существования несоизмеримых отрезков, а именно стороны и диагонали квадрата! Какую бы вы ни выбрали единицу измерения, сторона квадрата и его диагональ не будут соизмеримы в целых выбранных единицах. Гиппас привел логическое обоснование этой гипотезы и не оставил никакого сомнения в ее справедливости. Пифагор и его последователи были настолько сильно оскорблены этим, что исключили Гиппаса из школы. В некоторых источниках даже говорится о том, что ученого сбросили с обрыва в море его ученики!
Математикам эти истории могут показаться ужасающими. Можно ли когда-либо чувствовать себя полностью уверенным? Каково это, жить в постоянном страхе того, что в один прекрасный день математическое открытие оборвет вашу жизнь? И треугольник со сторонами 3–4–5 – в самом ли деле он прямоугольный? Нет ли вероятности, что в один из дней выяснится, что, казавшийся абсолютно прямым, он все же не идеален?
Даже сегодня нередки случаи, когда математики становятся жертвами ошибочных догадок. Именно поэтому, продолжая традиции своих древнегреческих предков, современные математики четко разграничивают суждения, которые могут быть однозначно доказаны, так называемые теоремы, и те из них, которые еще не доказаны, получившие название «гипотезы».
Одной из самых известных гипотез нашего времени является гипотеза Римана. Многие математики опираются на ее справедливость и основывают на ней свои исследования. Если когда-нибудь эта теорема будет доказана, их работа также окажется подтвержденной. Но если ее опровергнут, то и все их труды будут напрасны. Ученые XXI в. намного более благоразумны, чем их предшественники из Древней Греции, тем не менее можно предположить: если кому-то удастся опровергнуть гипотезу Римана, даже в текущих условиях на этого человека вполне предсказуемо обрушится гнев некоторых коллег.
Чтобы избежать этого постоянного страха ожидания опровержения, математикам требуется приводить доказательства. Нет, мы никогда не узнаем о том, что треугольник со сторонами 3–4–5 не является прямоугольным. Это точно. И эта уверенность проистекает из теоремы Пифагора, которая подтверждает это. Любой треугольник, сумма квадратов катетов которого равна квадрату гипотенузы, является прямоугольным. Это суждение было для математиков Месопотамии гипотезой, но благодаря древним грекам оно стало теоремой. Уф!
Так в чем же заключается доказательство? Теорема Пифагора – не только одна из самых известных теорем, она также имеет множество различных доказательств. Их насчитывается несколько десятков. Некоторые из них сделаны представителями цивилизаций, которые даже не слышали о Евклиде или Пифагоре – например, подтверждение встречается в китайском произведении «Математика в девяти книгах». Иные доказательства сформулированы уже после Пифагора – с той лишь целью, чтобы остаться в истории и поупражняться в рассуждениях. Так, среди тех, кто сформулировал собственные доказательства теоремы Пифагора, – знаменитый итальянский изобретатель Леонардо да Винчи, а также двадцатый президент США Джеймс Абрам Гарфилд.
Конец ознакомительного фрагмента.