1
Математики поневоле
Вернемся в Париж, где в самом центре города, в Лувре, я и хочу начать рассказ. Математика и Лувр – и где же тут связь? Это может показаться нелогичным. Бывшая королевская резиденция, ставшая впоследствии музеем, очевидно, представляет интерес в первую очередь для художников, скульпторов, археологов и историков, а вовсе не для математиков. Тем не менее именно здесь я обнаруживаю первые «отпечатки» математики.
Как только я оказываюсь во дворе Наполеона, вижу в его центре стеклянную пирамиду Лувра – уже яркий пример из мира геометрии. Но сегодня я хочу обратиться к куда более ранней странице истории. Я вхожу в музей и начинаю путешествие на машине времени. Я миную эпоху королей Франции, прохожу сквозь Ренессанс и Средние века и попадаю прямиком в Античность. Залы сменяют один другой, мой путь лежит мимо нескольких римских статуй, греческих ваз и египетских саркофагов. Я двигаюсь дальше, оказываюсь в доисторической эпохе и, погружаясь в глубь веков, постепенно отрешаюсь от всего изведанного. Забудьте цифры. Забудьте геометрию. Забудьте правила правописания. В начале начал никто ничего не знал. Даже само понятие знания отсутствовало.
Первая наша остановка будет в Месопотамии за 10 000 лет до н. э.
Немного подумав, я бы отправился даже дальше, а именно на 1,5 млн лет назад, в эпоху палеолита. В то время еще не умели добывать огонь, а Homo sapiens («человек разумный») был еще в очень долгосрочном проекте. В это время в Азии обитал homo erectus («человек прямоходящий»), в Африке – homo ergaster («человек работающий») и, возможно, где-то жили подобные им прародители современного человека, следы которых пока не обнаружены. Это эпоха обтесанного камня, также называемого рубилом.
В углу лагеря расположились за работой камнетесы. Один из них держит еще не обработанный кремень, найденный несколькими часами ранее. Усевшись непосредственно, человек одной рукой устанавливает кремень на земле, а другой обтесывает его массивным камнем. Высекаются первые искры. Посмотрев на результат, камнетес поворачивает кремень и бьет по нему с другой стороны. Приходится повторять это снова и снова. В некоторых местах кремень слишком толст, а где-то – слишком широк, поэтому необходимо отделить крупные куски, чтобы придать ему желаемую форму.
Форма рубила не случайна и не может быть определена в процессе изготовления. Из поколения в поколение передается техника его обработки, сформировавшаяся в ходе исторического развития. В зависимости от места и времени изготовления выделяются различные виды данного орудия. Некоторые рубила изготавливались в форме капли с выступающим краем, другие, более округлые, напоминали яйцо, встречаются также экземпляры, по форме близкие к равнобедренному треугольнику с изогнутыми сторонами.
Рубило эпохи палеолита
Тем не менее все рубила имеют одну схожую черту – ось симметрии. Была ли продиктована такая геометрическая особенность соображениями практического применения или же это просто эстетическое предпочтение наших предков? Сегодня сложно ответить на этот вопрос. Очевидно, что это не совпадение. Камнетесы намеренно изготавливали орудия именно таким образом, явно задумываясь над тем, как должно выглядеть готовое изделие. Иными словами, в какой-то степени древние мастера занимались математикой.
Закончив обработку, камнетес внимательно изучает результаты своей работы: подносит получившееся орудие к свету, чтобы лучше рассмотреть его очертания, а затем отделяет оставшиеся два-три выступа, добиваясь идеальной формы. Что же испытывает наш предок в этот момент? Ощущает ли он волнение от соприкосновения с наукой, от воплощения идеи в жизнь, иными словами, от преобразования окружающей его среды? Это не так важно – времена великих открытий еще не наступили. В те времена все имело сугубо прикладной характер. Такие орудия могли использоваться для обработки дерева, разделки туш животных, выделки их шкур, а также копания.
Но все-таки не будем так углубляться в историю. Не станем тревожить те древние времена и их подчас слишком далекое от истины понимание и вернемся к отправной точке нашего путешествия, а именно в Месопотамию за 8000 лет до н. э.
Вдоль Плодородного полумесяца,[1] на территории современного Ирака, в это время происходил революционный переход к неолиту, который начнется уже совсем скоро. В северных районах люди переходили к оседлому образу жизни. В этом регионе возникали все наиболее продвинутые достижения человечества. Жилища из необожженной глины формировали первые поселения, а самые смелые строители уже возводили дополнительные этажи. Сельское хозяйство было новшеством. Мягкий климат позволял выращивать сельскохозяйственные культуры без искусственного орошения. Люди научились разводить домашних животных и выращивать культурные растения. Совсем скоро будет открыто гончарное ремесло.
Предлагаю поговорить именно о керамике, потому что на фоне всеобщей тенденции к безнадежной утрате исторического наследия археологам удается находить тысячи глиняных изделий, таких как горшки, вазы, кувшины, блюда, миски… В музее меня окружают доверху заполненные стеллажи. Самые ранние экспонаты датируются 9000 г. до н. э., и из зала в зал, словно следуя по камушкам, оставленным Мальчиком-с-пальчик, мы попадаем из одного века в другой. В витринах представлена посуда самых разных размеров, форм, по-разному украшенная, вылепленная, покрашенная или гравированная, на ножках и с ручками, в идеальном состоянии и с трещинами, разбитая и воссозданная. От некоторых вещей остались лишь небольшие фрагменты.
Керамика – это первое искусство с применением огня, появившееся раньше, чем технологии изготовления бронзы, стали и стекла. Из глины, которая в изобилии встречается в этой влажной климатической зоне, гончары могли изготавливать посуду на любой вкус. После того как мастер лепил посуду желаемой формы, нужно было только высушить ее в течение нескольких дней, а затем целиком обжечь в центре печи для придания прочности. Эта техника возникла очень давно. Еще за двадцать тысяч лет до этого времени люди научились обжигать небольшие глиняные статуи. И совсем в относительно недавнем прошлом, с переходом на оседлый образ жизни, люди начали делать таким способом предметы домашнего обихода. Новый образ жизни требовал большого количества средств хранения, изготовлением которого и начали активно заниматься наши предки.
Емкости из обожженной глины очень быстро стали неотъемлемой частью жизни в общине. При изготовлении такой посуды учитывались, в первую очередь, ее полезные свойства, а не внешний вид. Вскоре керамические изделия начали украшать. Позже стали выделяться целые школы гончарного мастерства. Некоторые с помощью ракушек или обыкновенной палочки наносили свои узоры на еще не застывшую глину, а уже потом обжигали. А другие наоборот – сначала обжигали посуду, а уже потом занимались украшением ее внешнего вида с помощью заостренного камня. Третьи рисовали на поверхности природными красками.
Прогуливаясь по залам кафедры восточных древностей, я был поражен богатством геометрических узоров, разработанных в Месопотамии. Что же до рубила, изготовленного нашим древним предком, то его форма слишком искусна, чтобы быть случайной. Мое внимание привлекли завитки, обрамляющие края сосудов. Завитки формируют узор, повторяющийся по всей окружности горшка. Наиболее распространены зигзагообразные узоры с треугольной насечкой. Также часто встречаются рисунки из двух линий, накладывающихся одна на другую. Есть и узоры елочкой, с кружками внутри, квадратные зубцы, ромбы с точкой, заштрихованные треугольники и т. д.
Переходя от одной зоны или эпохи к другой, вы заметите несколько разновидностей орнамента. Некоторые узоры очень распространены. Они перенимаются, видоизменяются, улучшаются в разной степени. Спустя несколько веков некоторые из них исчезают, уходят в прошлое, им на замену приходят другие рисунки в духе своего времени.
Я рассматриваю их один за другим, и во мне просыпается математик. Я обращаю внимание на симметрию, изгибы, геометрические узоры. Так, я невольно начинаю сортировать и упорядочивать их. Мне вспоминаются несколько теорем из моей юности. Классификация геометрических преобразований – это то, что я собирался сделать. Я достаю блокнот и карандаш и начинаю записывать.
Сначала поговорим об изгибах. Прямо передо мной узор, состоящий из S-образных линий, накладывающихся одна на другую. Я поворачиваю голову, чтобы убедиться. В самом деле, это симметричный рисунок: если взять кувшин в руки и перевернуть его, узор останется прежним.
Далее поговорим о симметрии. Есть несколько ее типов. Постепенно я заканчиваю составлять свой список и начинаю искать примеры. Я стараюсь найти пример каждого геометрического узора, перехожу из одного зала в другой, возвращаюсь. Некоторые предметы разбиты, и мне приходится щуриться, чтобы представлять недостающие элементы узоров на этих сосудах с тысячелетней историей. Если я нахожу что-то новое, делаю заметку. Я обращаю внимание на даты, чтобы проследить хронологию появления орнамента.
Сколько же всего типов узоров я найду? Немного поразмыслив, наконец останавливаюсь на известной теореме. Можно выделить всего семь типов узоров, семь групп – ни больше, ни меньше.
Конечно же, жители Месопотамии не знали этого. Теоретическое осмысление, без сомнения, началось только в эпоху Ренессанса. Тем не менее, не претендуя на что-то большее, чем просто украшение керамики, горшечники древности были на пороге первых открытий, которые тысячи лет спустя станут волновать умы всего математического сообщества.
Я просматриваю свои записи и нахожу практически все примеры. Практически? Для одного из этих семи типов узоров я все еще не нашел примера. Немного поколебавшись, прихожу к выводу, что он наиболее сложен из всего списка. Ищу узор, который при развороте по горизонтали выглядел бы так же, но был бы смещен на половину длины одного элемента узора. Сегодня это называется скользящей симметрией. Явное упущение жителей Месопотамии!
Но я просмотрел еще далеко не все залы, поэтому не теряю надежды и продолжаю свои поиски. Рассматриваю все до мелочей. Шесть других типов, примеры которых я уже нашел, отражены в моих записях с указанием даты, схематичными изображениями и т. д. Но, к сожалению, я до сих пор не могу найти примеры седьмого загадочного типа узора.
Внезапно чувствую приток адреналина. За стеклом я только что увидел небольшой простой фрагмент. Сверху вниз четыре различных рисунка накладываются один на другой, и один из них, а именно третий сверху, заинтересовал меня больше других. Этот узор состоит из частей прямоугольников, расположенных под наклоном в форме елочки. Я прищуриваю глаза, всматриваюсь, а затем быстро схематично зарисовываю узор в блокнот, как будто боюсь, что он может ускользнуть от меня. Геометрия идеальна. Это та самая скользящая симметрия – последний, седьмой тип узора.
Рядом с этим экспонатом размещена табличка с надписью: «Фрагмент кружки с горизонтальными полосами в виде ромбов с точками внутри. Середина V тысячелетия до н. э.».
Я мысленно возвращаюсь к своей хронологии. Середина V тысячелетия до н. э. То есть этот экземпляр относится еще к доисторическому периоду. За тысячу лет до изобретения письменности гончары Месопотамии уже, сами того не осознавая, использовали все варианты теоремы, которая будет доказана лишь спустя шесть тысяч лет.
Пройдя еще несколько залов, нахожу кувшин с тремя ручками, который также украшен орнаментом седьмого типа: узор немного закручен по спирали, но сама геометрическая структура остается прежней. Чуть дальше еще один пример. Я хотел бы продолжить, но внезапно рисунок меняется. Я подошел к концу восточных коллекций. Дальше уже находится экспозиция Древней Греции. Еще раз смотрю свои зарисовки узоров со скользящей симметрией, которые можно посчитать по пальцам одной руки. Я начинаю волноваться.
Как распознать семь типов узоров?Первый тип – это узор, у которого нет какой-либо геометрической особенности. Просто обычный повторяющийся мотив без симметрии или центра вращения. Это пример узора, не основанного на геометрических фигурах, в изображении которого используются изображения фигур, например животных.
Второй тип – это узор с горизонтальной осью симметрии посередине.
Третий тип узора включает в себя повторяющиеся по горизонтали элементы с осью симметрии по вертикали. В таком узоре элементы повторяются по горизонтали, каждый их данных элементов имеет оси симметрии по вертикали.
Четвертая категория – это орнаменты, которые выглядят одинаково при развороте на 180 градусов. Такие узоры не меняются, если на них смотреть сверху или снизу.
Пятый тип узоров построен на скользящей симметрии. Это тот самый знаменитый узор, который мне посчастливилось найти среди экспонатов из Месопотамии. Если вы развернете один из таких узоров по горизонтали (как во втором случае), то получится та же картинка, только сдвинутая на пол-элемента.
Шестой и седьмой типы орнаментов не являются какими-то новыми относительно пяти первых и сочетают в себе их особенности в различных вариациях. Так, шестой тип включает горизонтальную и вертикальную симметрию, а также центр вращения на пол-оборота.
Ну а седьмая категория сочетает узоры с вертикальной симметрией, центр вращения и скользящую симметрию.
Следует отметить, что эти категории относятся только к геометрическим особенностям и не ограничивают вариативность конкретных узоров. Так, узоры, изображенные далее, хотя и отличаются визуально, все относятся к последней, седьмой категории.
Все узоры, которые только возможно представить, можно отнести к одной из семи категорий. Создать иные узоры, с геометрической точки зрения, невозможно. Удивительно, но последние две категории наиболее распространены. Человеку интуитивно свойственно использовать узоры с большим количеством типов симметрии.
Гордый своими успехами в поисках примеров керамики из Месопотамии, я перехожу к эпохе Древней Греции. Не успел я перейти в соответствующий зал, как уже не знаю, на чем остановить свое внимание. Искать примеры узоров здесь проще простого. Я сделал всего несколько шагов, взглянул на несколько витрин, рассмотрел пару амфор – и уже нашел примеры всех семи типов орнаментов.
Оценив такое разнообразие, я сразу же перестал вести заметки, как делал это в отношении работ из Месопотамии. Творческие способности жителей Древней Греции меня потрясли. Новые мотивы, сложные и необычные, приковывают мое внимание. Иногда я останавливался и сосредоточивался, чтобы мысленно разделить эти сложные, переплетенные узоры.
Увидев в углу комнаты лутрофор с красными фигурами, теряю дар речи.
Лутрофор представляет собой вытянутый сосуд с двумя ручками. Он использовался для переноски воды для купания и достигал метра в высоту. Я начинаю подсчитывать виды узоров на лутрофоре. Один. Два. Три. Четыре. Пять. За несколько секунд нахожу примеры пяти из семи видов орнаментов. Сосуд прислонен к стене, но, немного наклонившись, я замечаю, что узор шестого типа расположен на его обратной стороне. Остался последний тип. Удивительно, но сегодня мне недостает уже не того узора, который я не мог найти вчера. В произведениях этой эпохи сложно найти не только примеры скользящей симметрии, но и сочетание вертикальной, вращательной и скользящей симметрии.
Я с рвением ищу малейший намек на искомые узоры, но не могу их найти. Уже немного разочаровавшись, хочу прекратить поиски, когда мой взгляд падает на одну деталь. В центре вазы изображена сцена с двумя персонажами. На первый взгляд, здесь отсутствуют узоры. Однако внизу, справа, один элемент привлекает мое внимание. Ваза, на которую облокотился главный изображенный персонаж. Ваза, изображенная на вазе! Такое применение рекурсии заставляет меня улыбнуться. Я щурюсь: изображение затерто, но, без сомнения, на этой вазе изображен тот самый недостающий узор!
Несмотря на мои последующие попытки, я не смог найти больше ничего подобного. Этот лутрофор, кажется, единственный в своем роде в коллекции в Лувре: только на нем я нашел все семь видов орнаментов.
Чуть дальше меня ждало еще одно открытие. Объемные узоры! Я всегда считал, что перспектива была открыта только в эпоху Ренессанса. Темные и светлые участки, умело разделенные художником, создают игру света и тени, создавая эффект объема геометрических форм, расположенных по ширине гигантского сосуда.
Иду дальше, и передо мной встают новые вопросы. Некоторые элементы вместо узоров украшены сплошной текстурой. Иными словами, в качестве изобразительного средства использовались не узоры, расположенные по кругу, а сплошное покрытие, что, таким образом, снижает вероятность найти геометрические орнаменты.
После работ древних греков идут произведения древних египтян, этрусков и римлян. Я любуюсь образами, созданными резьбой по камню. Прожилки переплетаются, находят одна на другую, создавая рисунок идеальной формы. После этого – как будто данных произведений недостаточно – всматриваюсь в архитектуру самого Лувра, в его своды, плиточный настил, дверные проемы.
Прихожу в себя и не могу больше остановиться. На улице обращаю внимание на балконы жилых домов, рисунок на дорожках для пешеходов, стены подземных переходов…
Этого достаточно, чтобы изменить свой взгляд на мир, чтобы констатировать существование в повседневности математики. Ее проявления можно искать бесконечно, и этот поиск невероятно увлекателен.
И наше приключение только начинается.