Лекция № 4. Реляционная алгебра. Унарные операции
Реляционная алгебра, как нетрудно догадаться, – это особая разновидность алгебры, в которой все операции производятся над реляционными моделями данных, т. е. над отношениями.
В табличных терминах отношение включает в себя строки, столбцы и строку – заголовок столбцов. Поэтому естественными унарными операциями являются операции выбора определенных строк или столбцов, а также смены заголовков столбцов – переименования атрибутов.
1. Унарная операция выборки
Первой унарной операцией, которую мы рассмотрим, является операция выборки – операция выбора строк из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо принципу, т. е. выбор строк-кортежей, удовлетворяющих определенному условию или условиям.
Оператор выборки обозначается σ<P>, условие выборки – P<S>, т. е., оператор σ берется всегда с определенным условием на кортежи P, а само условие P записывается зависящим от схемы отношения S. С учетом всего этого сама операция выборки над схемой отношения S применительно к отношению r будет выглядеть следующим образом:
σ<P>r(S) ≡ σ<P>r = {t(S) |t ∈ r & P<S>t} = {t(S) |t ∈ r & IfNull(P<S>t, False};
Результатом этой операции будет новое отношение с той же схемой отношения S, состоящее из тех кортежей t(S) исходного отношения-операнда, которые удовлетворяют условию выборки P<S>t. Понятно, что для того, чтобы применить какое-то условие к кортежу, необходимо подставить значения атрибутов кортежа вместо имен атрибутов.
Чтобы лучше понять принцип работы этой операции, приведем пример. Пусть дана следующая схема отношения:
S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка).
Условие выборки возьмем такое:
P<S> = (Предмет = ‘Информатика’ and Оценка > 3).
Нам необходимо из исходного отношения-операнда выделить те кортежи, в которых содержится информация о студентах, сдавших предмет «Информатика» не ниже, чем на три балла.
Пусть также дан следующий кортеж из этого отношения:
t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};
Применяем наше условие выборки к кортежу t0, получаем:
P<S>t0 = (‘Базы данных’ = ‘Информатика’ and 5 > 3);
На данном конкретном кортеже условие выборки не выполняется.
А вообще результатом этой конкретной выборки
σ<Предмет = 'Информатика' and Оценка > 3 > Сессия
будет таблица «Сессия», в которой оставлены строки, удовлетворяющие условию выборки.
2. Унарная операция проекции
Еще одна стандартная унарная операция, которую мы изучим, – это операция проекции. Операция проекции – это операция выбора столбцов из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо признаку. А именно машина выбирает те атрибуты (т. е. буквально те столбцы) исходного отношения-операнда, которые были указаны в проекции.
Оператор проекции обозначается [S'] или π<S'>. Здесь S' – подсхема исходной схемы отношения S, т. е. ее некоторые столбцы. Что это означает? Это означает, что у S’ атрибутов меньше, чем у S, потому что в S' остались только те из них, для которых выполнилось условие проекции. А в таблице, представляющей отношение r(S' ), строк столько же, сколько их у таблицы r(S), а столбцов – меньше, так как остались только соответствующие оставшимся атрибутам. Таким образом, оператор проекции π< S'> применительно к отношению r(S) дает в результате новое отношение с другой схемой отношения r(S' ), состоящее из проекций t(S) [S' ] кортежей исходного отношения. Как определяются эти проекции кортежей? Проекция любого кортежа t(S) исходного отношения r(S) на подсхему S' определяется следующей формулой:
t(S) [S’] = {t(a)|a ∈ def(t) ∩ S’}, S' ⊆S.
Важно заметить, что дубликаты кортежей из результата исключаются, т. е. в таблице, представляющей новое, результирующее отношение повторяющихся строк не будет.
С учетом всего вышесказанного, операция проекции в терминах систем управления базами данных будет выглядеть следующим образом:
π<S'>r(S) ≡ π<S’>r ≡ r(S) [S’] ≡ r [S' ] = {t(S) [S’] | t ∈ r };
Рассмотрим пример, иллюстрирующий принцип работы операции выборки.
Пусть дано отношение «Сессия» и схема этого отношения:
S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);
Нас будут интересовать только два атрибута из этой схемы, а именно «№ зачетной книжки» и «Фамилия» студента, поэтому подсхема S' будет выглядеть следующим образом:
S' : (№ зачетной книжки, Фамилия).
Нужно исходное отношение r(S) спроецировать на подсхему S'.
Далее, пусть нам дан кортеж t0(S) из исходного отношения:
t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};
Значит, проекция этого кортежа на данную подсхему S' будет выглядеть следующим образом:
t0(S) S': {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’)};
Если говорить об операции проекции в терминах таблиц, то проекция Сессия [№ зачетной книжки, Фамилия] исходного отношения – это таблица Сессия, из которой вычеркнуты все столбцы, кроме двух: № зачетной книжки и Фамилия. Кроме того, все дублирующиеся строки также удалены.
3. Унарная операция переименования
И последняя унарная операция, которую мы рассмотрим, – это операция переименования атрибутов. Если говорить об отношении как о таблице, то операция переименования нужна для того, чтобы поменять названия всех или некоторых столбцов.
Оператор переименования выглядит следующим образом: ρ<φ>, здесь φ — функция переименования.
Эта функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между именами атрибутов схем S и Ŝ, где соответственно S — схема исходного отношения, а Ŝ — схема отношения с переименованными атрибутами. Таким образом, оператор ρ<φ> в применении к отношению r(S) дает новое отношение со схемой Ŝ, состоящее из кортежей исходного отношения только с переименованными атрибутами.
Запишем операцию переименования атрибутов в терминах систем управления базами данных:
ρ<φ> r(S) ≡ ρ<φ>r = {ρ<φ> t(S)| t ∈ r};
Приведем пример использования этой операции:
Рассмотрим уже знакомое нам отношение Сессия, со схемой:
S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);
Введем новую схему отношения Ŝ, с другими именами атрибутов, которые мы бы хотели видеть вместо имеющихся:
Ŝ : (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);
Например, заказчик базы данных захотел в вашем готовом отношении видеть другие названия. Чтобы воплотить в жизнь этот заказ, необходимо спроектировать следующую функцию переименования:
φ : (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка) → (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);
Фактически, требуется поменять имя только у двух атрибутов, поэтому законно будет записать следующую функцию переименования вместо имеющейся:
φ : (№ зачетной книжки, Оценка) → (№ ЗК, Балл);
Далее, пусть дан также уже знакомый нам кортеж принадлежащий отношению Сессия:
t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};
Применим оператор переименования к этому кортежу:
ρ<φ> t0(S): {(№ ЗК: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Балл: 5)};
Итак, это один из кортежей нашего отношения, у которого переименовали атрибуты.
В табличных терминах отношение
ρ < № зачетной книжки, Оценка → «№ ЗК, Балл > Сессия —
это новая таблица, полученная из таблицы отношения «Сессия», переименованием указанных атрибутов.
4. Свойства унарных операций
У унарных операций, как и у любых других, есть определенные свойства. Рассмотрим наиболее важные из них.
Первым свойством унарных операций выборки, проекции и переименования является свойство, характеризующее соотношение мощностей отношений. (Напомним, что мощность – это количество кортежей в том или ином отношении.) Понятно, что здесь рассматривается соответственно отношение исходное и отношение, полученное в результате применения той или иной операции.
Заметим, что все свойства унарных операций следуют непосредственно из их определений, поэтому их можно легко объяснить и даже при желании вывести самостоятельно.
Итак:
1) соотношение мощностей:
а) для операции выборки: | σ<P>r |≤ |r|;
б) для операции проекции: | r[S'] | ≤ |r|;
в) для операции переименования: | ρ<φ>r | = |r|;
Итого, мы видим, что для двух операторов, а именно для оператора выборки и оператора проекции, мощность исходных отношений – операндов больше, чем мощность отношений, получаемых из исходных применением соответствующих операций. Это происходит потому, что при выборе, сопутствующему действию этих двух операций выборки и проекции, происходит исключение некоторых строк или столбцов, не удовлетворивших условиям выбора. В том случае, когда условиям удовлетворяют все строки или столбцы, уменьшения мощности (т. е. количества кортежей) не происходит, поэтому в формулах неравенство нестрогое.
В случае же операции переименования, мощность отношения не изменяется, за счет того, что при смене имен никакие кортежи из отношения не исключаются;
2) свойство идемпотентности:
а) для операции выборки: σ<P> σ<P>r = σ<P>;
б) для операции проекции: r [S’] [S’] = r [S'];
в) для операции переименования в общем случае свойство идемпотентности неприменимо.
Это свойство означает, что двойное последовательное применение одного и того же оператора к какому-либо отношению равносильно его однократному применению.
Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.
Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.
И последнее свойство, которое мы рассмотрим, – это свойство монотонности. Интересно заметить, что при любых условиях все три оператора монотонны;
3) свойство монотонности:
а) для операции выборки: r1⊆ r2 ⇒ σ<P> r1⇒ σ <P>r2;
б) для операции проекции: r1⊆ r2⇒ r1[S'] ⊆ r2 [S'];
в) для операции переименования: r1⊆ r2⇒ ρ<φ>r1 ⊆ ρ <φ>r2;
Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r1 и r2 были связаны между собой таким образом, что r ⊆ r2, то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.