Свойство тензоров преобразовываться по определённому закону
В линейной алгебре и дифференциальной геометрии ковариантность описывает способ, которым компоненты вектора или тензора изменяются при переходе от одного базиса к другому. Ковариантные векторы (или 1-формы) преобразуются с использованием матрицы перехода, обратной к той, что используется для контравариантных векторов.
Близкие слова
- тензорный закон преобразованияболее общее понятие, включающее как ковариантные, так и контравариантные случаи
Градиент скалярной функции является ковариантным вектором, так как его компоненты меняются согласованно с изменением системы координат.
Инвариантность формы физических законов
В физике, особенно в теории относительности, ковариантность означает, что уравнения, описывающие природные явления, записаны в форме тензорных равенств. Это гарантирует, что если закон верен в одной системе отсчёта, он будет верен и в любой другой, даже если численные значения компонент изменятся.
Близкие слова
- формальная инвариантностьакцент на неизменности записи уравнений, а не самих величин
Уравнения Максвелла обладают лоренц-ковариантностью, что означает их справедливость во всех инерциальных системах отсчёта.
Различие между ковариантностью и контравариантностью
Часто эти термины путают, но они описывают взаимно обратные процессы. Представьте себе сетку координат на плоскости. Если вы растягиваете ось X в два раза, то компоненты обычного вектора (контравариантного) должны уменьшиться вдвое, чтобы сам вектор остался тем же самым геометрическим объектом. Напротив, ковариантные объекты (например, проекции на оси) ведут себя иначе: они изменяются так, чтобы компенсировать это растяжение при скалярном умножении с контравариантными векторами. В нотации Эйнштейна у ковариантных индексов нижнее положение, а у контравариантных — верхнее.
Роль в общей теории относительности
Принцип общей ковариантности является одним из постулатов Эйнштейна. Он требует, чтобы физические законы были записаны таким образом, чтобы они выглядели одинаково для всех наблюдателей, независимо от их движения и выбора системы координат (включая неинерциальные). Это достигается записью законов в виде тензорных уравнений. Если уравнение является тензорным равенством, оно автоматически ковариантно относительно любых гладких преобразований координат.