Математическое свойство операций
Свойство алгебраической операции, означающее инвариантность результата относительно расстановки скобок при последовательном применении одной и той же операции к трём и более элементам. Если операция ассоциативна, то (x * y) * z равно x * (y * z).
Близкие слова
- сочетательный закон
- ассоциативность
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), так как 5 + 4 = 9 и 2 + 7 = 9.
(a × b) × c = a × (b × c) для любых действительных чисел a, b и c.
Принцип в логике высказываний
Свойство логических связок «конъюнкция» (И) и «дизъюнкция» (ИЛИ), позволяющее переставлять скобки без изменения истинностного значения формулы. Это упрощает запись сложных логических выражений.
(A ∧ B) ∧ C эквивалентно A ∧ (B ∧ C).
(P ∨ Q) ∨ R можно записать как P ∨ Q ∨ R, опустив скобки.
Отличие от коммутативности
Часто возникает путаница между ассоциативностью и коммутативностью (переместительным законом). Коммутативность касается порядка самих операндов: a + b = b + a. Ассоциативность же касается порядка выполнения операций при группировке элементов: (a + b) + c = a + (b + c). Например, сложение обладает обоими свойствами, а вычитание не обладает ни одним из них в полной мере для тройки чисел (разница между (10 - 5) - 2 и 10 - (5 - 2) очевидна).
Где закон нарушается
Не все математические операции ассоциативны. Вычитание, деление, возведение в степень и векторное произведение не подчиняются этому закону. Например, для вычитания: (8 - 4) - 2 = 2, тогда как 8 - (4 - 2) = 6. В программировании это критически важно при проектировании операторов и парсеров выражений, так как нарушение ассоциативности требует явного указания порядка вычислений через скобки или приоритеты.