Взаимно однозначное соответствие множеств
Функция или отображение, которое является одновременно инъекцией (разным элементам соответствуют разные образы) и сюръекцией (каждый элемент области значений имеет прообраз). Это означает, что множества «состоят» из одинакового числа элементов.
Близкие слова
- взаимно однозначное отображение
- биективное отображение
Между множеством натуральных чисел и множеством чётных чисел существует биекция: каждому n соответствует 2n.
Отражение точки относительно центра координат задаёт биекцию на плоскости.
Условия существования биекции
Биекция может существовать только между множествами одинаковой мощности. Для конечных множеств это означает равенство их количества элементов. Если в множестве A есть 5 элементов, а в множестве B — 6, то ни одна функция из A в B не будет биекцией: либо два элемента A перейдут в один элемент B (нарушение инъективности), либо один элемент B останется без прообраза (нарушение сюръективности).
Для бесконечных множеств ситуация сложнее и интереснее. Например, множество всех целых чисел и множество рациональных чисел находятся во взаимно однозначном соответствии, хотя интуитивно кажется, что дробей «больше». Биекция позволяет сравнивать размеры даже бесконечных множеств.
Отличие от инъекции и сюръекции
Инъекция требует, чтобы разные элементы области определения имели разные образы, но не гарантирует, что все элементы области значений будут задействованы. Сюръекция гарантирует, что каждый элемент области значений имеет хотя бы один прообраз, но допускает, что разным элементам области определения соответствует один и тот же образ.
Биекция объединяет оба условия: она строго «подгоняет» одно множество под другое без потерь и без наложений. В контексте функций часто говорят, что функция имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда она является биекцией.