Геометрическая симметрия относительно окружности
Две точки A и B называются сопряжёнными (симметричными) относительно данной окружности с центром O и радиусом R, если они лежат на одном луче, исходящем из центра O, и выполняется равенство OA · OB = R². При этом одна точка находится внутри окружности, а другая — снаружи.
Близкие слова
- симметричные точки относительно окружности
- инверсные точки
В задаче на построение нужно найти точку, сопряжённую данной относительно единичной окружности.
Метод инверсии позволяет заменить сложную конфигурацию кругов системой сопряжённых точек.
Общее понятие взаимно связанных точек
В более широком математическом или физическом контексте термин может обозначать любые две точки, связанные между собой некоторой заданной зависимостью, отображением или свойством симметрии относительно оси, плоскости или другой геометрической фигуры.
Близкие слова
- взаимно связанные точки
- парные точки
В электростатике можно рассматривать систему сопряжённых точек заряда и его изображения в заземлённой сфере.
Геометрическое место точек, сопряжённых данным относительно гиперболы, образует новую кривую.
Свойства инверсии и сопряжённости
Понятие сопряжённых точек неразрывно связано с операцией инверсии. Инверсия — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку (кроме центра) в её сопряжённую относительно выбранной окружности. Важным свойством является то, что любая окружность, проходящая через пару сопряжённых точек, ортогональна исходной окружности инверсии.
Если точка лежит на самой окружности симметрии, то она совпадает со своей сопряжённой точкой. Если же одна из точек совпадает с центром окружности, то её сопряжённая уходит в бесконечность.
Отличие от других видов симметрии
Не следует путать сопряжённость относительно окружности с обычной осевой или центральной симметрией. При центральной симметрии точка и её образ равноудалены от центра, но лежат на противоположных сторонах (векторы направлены в разные стороны), а их произведение расстояний не обязательно равно квадрату радиуса фиксированной фигуры.
В комплексном анализе термин «сопряжённые числа» относится к отражению относительно вещественной оси, что является частным случаем симметрии, но геометрически сопряжённые точки в контексте окружности определяются именно через произведение отрезков.