Математический смысл: функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа высших порядков
Функция называется полигармонической (или гармонической высшего порядка), если она является решением уравнения Δᵏu = 0, где Δ — оператор Лапласа, а k > 1. При k=1 функция является обычной гармонической. Полигармонические функции обладают свойством среднего значения и играют ключевую роль в теории потенциала.
Близкие слова
- гармонический высшего порядка
- би- или мультигармонический (в зависимости от степени)
В задаче о изгибе упругой пластины прогиб описывается бигармонической (частный случай полигармонической) функцией.
Исследование свойств полигармонических функций позволяет находить решения для многомерных физических полей.
Общий контекст: состоящий из нескольких гармонических составляющих
В более широком, иногда менее строгом техническом или инженерном употреблении может означать систему или сигнал, включающий несколько различных гармоник (синусоидальных колебаний) разной частоты и амплитуды. Однако в строгой математической терминологии для этого чаще используют термины «полигармонический сигнал» или «многочастотный».
Близкие слова
- многочастотный
- содержащий несколько гармоник
Анализ полигармонического сигнала помогает выделить основные частотные компоненты сложного колебания.
Различие между гармоническими и полигармоническими функциями
Гармоническая функция (Δu = 0) описывает стационарные процессы, такие как установившаяся температура в однородной среде без источников тепла или электростатический потенциал в вакууме. Полигармоническая функция (Δᵏu = 0 при k>1) возникает там, где физическая модель сложнее: например, в теории упругости для описания деформаций толстых пластин или оболочек. Если гармоника зависит от «простого» потенциала, то полигармоника учитывает изгибные напряжения и моменты, что делает её более гибким инструментом моделирования.
Примеры употребления в науке
Термин чаще всего встречается в специализированной литературе по математической физике. Устойчивые сочетания: «полигармоническая функция», «полигармонический потенциал», «полигармонические координаты». Важно не путать этот термин с музыкальными или акустическими понятиями, где «полигармония» может означать одновременное звучание нескольких гармонических рядов, но там обычно используется существительное, а не прилагательное в строгом математическом смысле.