Математическое определение (в десятичной системе)
Вещественное число, для которого в его записи по основанию b каждая возможная последовательность цифр длины k встречается с предельной частотой b^(-k). Проще говоря, цифры ведут себя как результат бесконечных случайных испытаний.
Близкие слова
- число с равномерным распределением цифр
- статистически случайное число
Число 0.123456789101112... (последовательность натуральных чисел) является нормальным по основанию 10, так как содержит все комбинации цифр равномерно.
Можно предположить, что число π является нормальным, хотя строгого доказательства этого факта до сих пор не существует.
Обобщенное понятие (по основанию b)
Число может быть нормальным по одному основанию системы счисления, но не обязательно по другому. Если число нормально в двоичной системе, оно также будет нормальным в любой системе, основание которой является степенью двойки.
Существуют числа, которые нормальны по основанию 2, но не являются нормальными по основанию 10.
История и свойства
Понятие было введено французским математиком Эмилем Борелем. Он доказал, что почти все вещественные числа (в смысле меры Лебега) являются нормальными. Однако найти конкретный пример такого числа оказалось нетривиальной задачей.
Важно различать просто случайную последовательность и математическую строгость определения. Число считается нормальным, если относительная частота появления любой конечной комбинации цифр стремится к теоретической вероятности при увеличении длины записи числа до бесконечности.
Примеры и нерешенные задачи
Первый явный пример нормального числа был предложен Вацлавом Серпинским в 1917 году. Это число, образованное последовательным перечислением всех целых чисел: 0.12345678910111213... (так называемая константа Шампернауна).
Одна из самых известных открытых проблем математики — вопрос о том, являются ли классические математические константы, такие как π (пи), e (число Эйлера) или ln(2), нормальными числами. Большинство математиков верят, что да, но строгого доказательства не получено.